数列求和方法汇编及典题训练
五一国际劳动节-
数列求和方法汇编
【教学目标】
一、
知
识目标
1
熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2.
能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法
进行求和运算；
3
.
熟记一些常用的数列的和的公式
.
二、
能
力目标
培
养学生的合情推理能力”、等价转化”和演绎归纳”的数学思想方法，以及
创新
意识，渗透运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想
.
三、
情
感目标
通
过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的
联系和差异，激发学生的学习兴趣
.
【教学重点】
1.
求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2.
求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3.
转化思想的运用；
【教学难点】
错位相减法、裂项相消法的应用
【知识点梳理】
1.
直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)
等差数列的求和公式：
S
n
n(a1
an)
nc
血
2 2
n
a
i
(q 1)
(2)
一定要讨
等比数列的求和公式
S
n
a
i
(1
q
n
)
(
1)
(
切记：公比含字母时
i
q
论
)
2
.
公式法
:
n
k
2
1
2
2
2
3
2
L
n
2
n(n 1)(2n
1)
k 1
6
3
.
错位相减法
:
如果一个数列的各项是由一
个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么这个数列的前
n
项和即可用此法来求，如等比数列的前
n
项和公式就是用
此法
推导的
.
比如
a<
/p>
n
等差
,
b
n
等比
,
求
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
的和
.
4
.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得其和
.
常见拆项公式：
111
n(n 1) n n 1
'
5
.
分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列
相加或相减组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减
.
6
.
并项求和法：
一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
.
形如
a
n
=
(
―
1)
n
f(n)
类型，可采用两项合并求解
.
例如，
S
n
=
100
2
—
99
2
+
98
2
—
97
2
+…+
2
2
—
1
2
=
(100
+
99)
+
(98
+
97)
+…+
(2
+
1)
=
5
050.
7.
倒序相加法：
如果一个数列
｛
a
n
｝
的前
n
项中首末两
n
项和
端等“距离”的两项的和相等或
等于同一个常数，那么求这个数列的前
即可用倒序相加法，如等差数列的前
和公式即是用此法推导的
.
n
项
8.
其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等
【典型例题】
题型一、公式法求和
例题
1
:
已知数列
｛
a
n
｝
是首项
a
i
=
4
,
公比
q
^l
的等比数列，
S
是其前
n
项和
,
且
4
a
i
，
a
5
，—
2
a
3
成等差数列
.
(1)
求公比
q
的值；
(2)
求
Tn
—
a
2
+
a
4
+
a
6
+ …+
a
2
n
的值
.
【解析】
(
1)
由题意得
2
a
5
—
4
a
1
—
2
a
3<
/p>
.
••• {
a
n
}
是等比数列且
< br>a
一
4
,
公比
q
z
1
,
4
2
4
2
••• 2a
i
q
=
4
a
i
—
2
ag
,
二
q
+
q
—
2
=
0
,
解得
q
2
=
—
2(
舍去
)
或
q
2
=
1<
/p>
,
「
.
q
=
—
1.
(2)
a
2
,
a
^
,
a<
/p>
6
,
…，是首项为
a
?
=
4
X
(
—
1)
=
—
4
,
公比为
q
2
=
1
的
等比数列，•••
T
n
=
na
2
=
—
4
n
.
【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、
等比数列的通项公式及前
n
项和公式
.
变式
1
:
已
知数列
a
n
满足
a
n
4n 21
,
(1)
证明
a
n
是等差数列；
(2)
求
a
1
a
2
a
3
a
.
.
解：
(
1
)
a
n+1
a
n
a
n
4(
n
1),
a
n
是以
<
/p>
1
7
为首项，公差为
a
n
-4
的等差数列
(2
)
显然
当
n
时，
是递减数列
，令
=
0
，得
n
21
4
a
n
6
6
>0,
当
n 6
时
,
a
当
n
a
n
<0,
设
S
n
a
1
a
n
a
2
当
n
时
，
2
a
1
a
2
a
2
a
n
a
n
a
〔
a
2
a
〔
a
2
(17+(-4
n+21))n
2
——
n
(19-2 n)
a
n
)
S
5
(S
n
S
5
)
当
n
时
，
6
a
1
a
5
(a
6
a
7
2
S
5
S
n
2n 19 n 90
【点评】对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段
求和来解决
题型二、
分
组求和
例题
2
:
求和：①&
1 11
111
11 1
n
个
②
S
n
(
X <
/p>
丄
)
2
(
X
2
2
)
2
X
X
10
2
【解
析】：①
a
k
11 1 1 10
(X
n
+
)
2
X
1
10
k
(10
k
1)
1
k
个
9
2n
(X
1
②
S
n
(X
2
1
2
2)
(x
4
1
4
2)
2n
2)
X
X
X
(1
)
当
(2
)
当
1
时，
S
n
1
时
,S
n
4n
X (x 1) X (x 1)
X 1
X 1
2 2n
2 2n
c (X
1)
(
X
2n
茹
2
x(x
2
2n
2n 2
1)
1) c
2n
【点评】
1
、通过分组，直接用公式求和。
2
、运用等比数列前
n
项和公式时，要注意公比
q 1
或
q
1
讨论。
变式
2
：已知数列
｛
x
< br>n
｝
的首项
X
< br>1
=
3
,
< br>通项
x
n
=
2
n
p
+
nq
（
n
€
N
*
,
p
,
q
为常
数
）
，且
X
1
,
X<
/p>
4
，
X
5
成等差数列
.
求：
(1)
p
，
q
的值；⑵数列
｛
X
< br>n
｝
前
n
项和
S
n
的公式
.
【解析】
(
1
)
由
X
1
=
3
,
得
2p
+
q
=
3
,
又因为
X
4
=
2
4
p
+
4q
,
X
5
=
2
5
p
+
5q
,
且
X
1
+
X
5
=
2x
4
，得
3
+
2
5
p
+
5q
=
2
5
p
+
8q
，解得
p
=
1
,
q
=
1.
(2)
由
(1)
，知
x
n
=
2
n
+
n
,
所以
S
n
=
(2
+
2
2
+ -+
2
n
)
+
(1
+
2
+-+
n)
=
2
n
1
-
2
+
+
n
n
+
1
T~
【点评】
对于不能由等差数列、等比数列的前
n
项和公式直接求和的问题，一般
<
/p>
需要
将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、
等比数列的求
和
.
题型三、裂项相消法求和
例题
3
:
数
列
a
n
的通项公式为
< br>a
n
1
n(n 1)
求它的前
n
项和
s
n
【解析】：
S
n
1
2
3
a
a
a
L
a
n 1
a
n
,1 1 1 1 1 | 1 1 1 1
1
2
2
3
3
4
L
n1n nn1
【点评】：裂项相消法求和的关键是数列的通
项可以分解成两项的差，且这两项是
同
一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同
2 2 2
变式
3
< br>：求和
Sn J
丄
」—
(2n 1)(2 n 1)
I
解析】
a
k
莎齐
(2k)
2
1
1
(2k 1)(2k 1)
丄
(
--------------
^)
2 2k 1 2k 1
1 2
变式
4
在数列
｛
a
n
｝
(2k 1)( 2k 1)
，求数列
｛
b
n
｝
，又
b
=
n
中
,
a
n
=
n
+
1
+
n
+
1
+
+
n
+
n
+
1
的
前
n
项和<
/p>
S
n
.
1
a
n
a
n
n
【解
1
2
析】
a
n
= <
/p>
n
+
1
+
n
+
1
十…十
n
+
1
1
+
2
+
・・・
+
n n n
+
1 n
=
=
2
n
+
1
n
+
1
=
2.
b
n
=
=
8 n n
+
•
1 2
a
n
a
n
+
1
1 n n
+
1
1 1
—一
++
—+■■■
+
8
2
3
n
n
+
1
n
<
/p>
变式
5
等比数列
a
n
的各项均为正数，
2a
4
,a
3
,4a
5
成等差数列，且
a<
/p>
3
2a
?
2
(1
)
求数列
a
n
的通项公式
;
(2
)
设
b
n
人
a
.
，求数列
0
2n
的前
n
项和
S
n
.
<
/p>
【解析】设等比数
耳的公比为
q
，依题意
,
列
a
2&
4
4&
5
3
2 a
a
2
3^4
3
2a
2
.
'
即
3
a
4
2a
5
,
所以
aQ
a
1
q
2a
1
q
,
a
a
3
2a
2
2
.
aQ
由于
由于
，
2
2 2
°
q 2a
1
q .
1
，解之得
2
a
1
，
1
1
2
2
1.
又
a
1
0,q
1
2
，
所以
数列
a
n
的通项公式为
q
a
n
(n
N
*
).
(
2
)
解：由
(
1
),
得
b
n
1 1
2n 3
1
2n 5
2n 1
2
n
2n
3
a
n
2n 5
2n 1 2n 3
2
n
1
n
故数列
0
的前
项和
5
n
1
2n
3 2
n
【点
评】
题型
四、
例题
4
：
aS
n
a
有时候需要根据实际情况自己去拼
凑。
错位相减法求和
已知数列
1,3a,5a
2
,
,(2n
1)a
1
(a
°
)
,
求前
n
项
和。
3a
2
5a
3 4
(2n
1)a
1
2a(1
a
」
(1
a)
2
n 1
(2n
1)a
n 1
1
1
时
,(1
a)S
n
1
时
,S
n
n
2
(2n
1)
n
S
1 a (2n
1)a
n
2
a)
(1
(2n 1)a
n 1
n
【点评】
1
、已知数列各项是等差数列
1
,
3
,
5
,
…
2n-1
与等比数列
对应项积，可用错位相减法求和。
2
、运用等比数列前
n
项和公式时，要注意公比
q 1
或
q
1
讨论。
C
n
的公比
q
:②
3<
/p>
、错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列
(2n 1)2
n 1
(2n 3)2
n
所以
S
n
0
b
2
L
b
n
1 1
3
2n 3
2
n
S
n
1 3a 5a
4
变式
5
已知
a
n
n?2
n
1
，求数列｛
的前
< br>n
项和
S.
①
②
【解析】
S
n
1g2
0
2g2
1
L
(n 1)g2
n 2
nd
n1
2S
n
1C2
1
2g2
2
L
(n 1)0
1
ng2
n
②一①得
【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法
题型五、倒序相加法求和
例题
5
:
求证：
Cn 3C
n
5C
：
【解
析】令
S
n
C
0
3c
n
5C
；
则
S
n
(2n 1)C
n
n
(2n
1)C
；
(2n
(n
1)2
n
1)C
；
0
C
(1)
(2)
(2n 1)C
；
1
5C
；
3C
：
C
n
m n
m
C
n
C
n
S
n
(n
1)[C
0
c
n
C
n
2
殆
(n
1) 2
n
毕
式成立
等
【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加
法
求和
.
变式
6
:
已知函数
f x
：
2
2
x
2
(
1
)
证明：
f x
1
(
2
)
求
f
—
f
10
f 1
x
1
；
2
10
L
8 f
f
-
的值
10
10
【解析】
：
两式相加得：
2S 9 f
1
10
f
10
9
所以
S
9
2
题型六、并项求和
例
6
：
S
n
=
100
2
—
99
2
+
2
2
2
—
97
+- +
2
—
1
2
98
<
/p>
【解析】
S
n
=
100
2
-
99
2
+
98
2
—
97
2
+-+
2
2
—
1
2
=
(1QQ
+
99)
+
(98
+
97)
+
-+
(2
+
1)
=
5
050.
【点评】一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
.
形
如
a
n
n
=
（
-
1
）
f
（
n
）
类型，可采用两项合并
求解
.
题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考）
例
7
:
已知数列
a
n
a
n
,a
n
2[n ( 1)
n
],
求
&
。
2m
k
【解
析】
n
2m
2n
2(
1)
n
，若
n
2m,
则
S
n
S
2m
2(1 2 3
2m)
2
( 1)
k 1
1,
则
S
n
S
2m
1
S
2m
a
2m
(2 m 1)2m
2[2m ( 1)
2m
]
(2m
1)2m 2(2m 1)
n
2
（
1<
/p>
）
，通过分组，对
n
分奇偶讨论求和
【点
2n
a
n
评】
6n
5
（
n
为奇数
变式
7
:
已
知数列
｛
a
n
｝
的通项
a
n
项和
”、，，求其刖
n
n
2
（
n
为偶数
【解析】：奇数项组成以
a
1
1
为首项，公差为
12
的等差数列，
a
2
偶数项组成以
a
?
< br>4
为首项，公比为
4
的等比数列
；
口项，偶数项
当
< br>n
为奇数时，奇数项有
有
...
（十
2
n 1
）
S
n
.
）
<
/p>
当
n
为偶数时，奇数项和偶数项分别有<
/p>
4~
）
1 4
n
n
(1 6n
4(1 4
2
)
n (3 n 2)
4(2
n
1)
5)
…
S *
3
2
n
1
4(2
1)
(n 1)(3n 2)
3
2
所以，
S
n(3n 2)
4(2
1)
2
3
例
8
:
借助导数求和
【解析】
P
n
（<
/p>
X
4(1
n 1
(n 1)(3n 2)
4(2
1)
3
，
（
n
为奇
数
）
（
n
为偶
数
）
1
）
X
2
L
X
n
)
(n 1)x nx (1
X)
2
（
X
【点评】本题可以用错位相减法完成，用导数法求和也可以
<
/p>
变式
8
:
借助导
数求和
c
n
2C
2
3C
；
L
nC
；
【解析】由二项式定理
(1
x)
n
C°
C
：
x
C
2
x
2
L
C
n
n
x
n<
/p>
。
求导得
n 1 x
n 5
C
：
2C
：
x
3C
；
x
2
L
nC
：
x
n
1
，令
x 1
得
C
1
2C
：
3C
3
L
nC
：
n 2
n
1
【方法与技巧总结】
1
数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式，根据通项选择适
当的
方法；
2.
求和过程中注意分类讨论思想的运用；
【巩固练习】
1
.
求下列数列的前
n
项和
S
n
:
(1)
5
,
55
,
555
,
5555
,
(2
)
,
,
1 3 2 4 3 5 n(n 2)
1
(3
)
a
n
、
n
、
n 1
L
9(10
n
1)
，…;
,L
2
3
n
(4
)
a, 2a ,3a ,L
, na ,L
;
(5
)
1 3,2
4,3 5
丄，
n(n 2),L
；
(6
)
sin 1
.2
°
2
sin
2
2
°
sin
3
°
L L
sin 89
.
2 o
5 1
1
+
2
+
4
，…<
/p>
,
2
、已知等
差数列
｛
a
n
｝
的前
3
项和为
6
,
前
8
项
和为一
4.
(1)
< br>求数列
｛
a
n
< br>｝
的通项公式；
⑵设
b
n
=
(4
—
a
n
)q^
1
(q
^<
/p>
0
,
n
€ <
/p>
N
*
)
，求数列
｛
b
n
｝
的前
n
项和
S
n
.
3
、
已知等
差数列
a
n
满足
a
2
7,
S
4
24
，求
a
a
?
a
3
a
*
•
4
、
设
｛
a
n
｝
是等差数列，
｛
b
n<
/p>
｝
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
b
1
1
,
比
bs
21
,
a
5
b
3
13
.
(I
)
求
｛
a
n
｝<
/p>
,
｛
b
n
｝
的通项公式
;
(7)
(II
)
求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
.
b
n
5
、已知
I
-
■'
1006
-
x
，求
(
1<
/p>
)
于
(0)+ /(1)+/(2)+
--^/(2011)+/(2012)
;
(2
)
：
「
匚
二…•
【课后作业】
1.
< br>等比数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和
S
亠
2
n
-
1,
则
a
2
a
；
af
2.
设
S,
1 3 5 7 L ( 1)
n
(2
n 1)
，则
S
n
=
3.
1
4 7
L
1
_____
(3n
2) (3n 1)
4.
1
2?4
3?5
4?6
(n 1)(n 3)
5.
数列
1,(1 2),(1 2
2
2
),L ,(1 2
2
2
L
2
n * 1
),L
的通项公式
a
.
9,
、
设数列
｛
a
n
｝
满足
a
1
+
3a
2
+
3
2
a
3
+
—
+
3
n
-
1
a
n
=
£
，
n
€
N
*
.
(1)
求数列
｛
a
n
｝
的通项公式
;
(2)
求数列乔的前
a
n
n
项和
.
2
a
n
=
，前
n
项和