高三数学一轮复习 3.2 数列求和及综合应用学案
励志师-
高三数学一轮复习
3.2
数列求和及综合应用学案
【最新考纲透析】
1
．了解数列求和的基本方法。
2
．能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知
识解决相应问题。
3
．了解等差数列
与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
【核心要点突破】
要点考向
1
：可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦：
1
．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。
2
．
该类问题出题背景选择面广，
易与函数方程、
递推数列等知识综合，
在知识
交汇点处命题。
3
．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。
考向链接：
某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1
．凑配、消项变换——如将递推公式
（
q
、
d
为常数，
q
≠
0
，≠
1
）
。通过凑配
变成
；或消常数转化为
2
．
倒
数
变
换
—
如
将
递
推
公
< br>式
（
c
、
d
为
非
零
常
数
）
取
倒
数
得
3
．对数变换——如将递推公式
4
．换元变换——如将递推公式
（
q
、
d
为非零常数，<
/p>
q
≠
1
，
d
≠
1
）变换成
取对数得
，令
，则转化为
的形式。
n
1
1
1
a
S
n
1<
/p>
S
n
a
n
S
n
3
3
例
1
：
（
2010
·
福建高考文科·
Ｔ１
7
）<
/p>
数列
{
}
中<
/p>
＝
，
前
n
项和
满足
-
＝
（
n
N
）
.
( I )
求数列
{
*
a
n
}
的通项
公式
a
n
以及前
n
项和
S
n
；
（<
/p>
II
）若
S1, t ( S1+S2
), 3( S2+S3 )
成等差数列，求实数
t
的值。
【命题立意】本题考查数
列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数方程思想
、化归转化思想。
【思路点拨】<
/p>
第一步先求
a
n
的通项，
可知
a
n
为等比数列，
利用等比数列的前
n
项和求解出
S
n
；
用心
爱心
专心
- 1 -
第二步利用等差中项列出方程求出
t
1
S
n
1
S
n
3
< br>
【
规
范
解
答
】
(
I
)
由
n
n
1
1
a
n
1
3
< br>得
n
1
n
N
，
又
a
1
1
3
，
故
n
1
1
< br>
1
S
1
n
N
n
a
n
< br>
n
N
2
3
3
，从而
1
4
13
S
1
,
S
2
,
S
3
,
3
9
27
从而由
< br>S1,
t
(
S1+S2
),
3(
S2+S3
)
成等差数列可得
（
II
）由
(
I
)
1
4<
/p>
13
1
4
3
2
< br>
t
,
3
9
27
3
9
<
/p>
解得
t
2
。
【方法技巧】要求数列通项公式，由题
目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数
列的通项。题目要求的是项的问题，
这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，
S<
/p>
1
,
n
1
a
n
S
n
S
n
S
n
1
,
n
2
化“和”为“项”
含有
的递推关系式，一般利用
。
要点考向
2
：错位相减法求和<
/p>
考情聚焦：
1
．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考
查内容。
2
．该类问题背景选择面广，可与等
差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点
处命题。
3
．多以解答题的形式出现，属于中、高档题。
考向链接：几种求通项及求和方法
（
1
）已知
，求
可用叠加法，即
（
2
）已知
，求
可用叠乘法，即
（
3
）设
{
}
为等差数列，
为等比数列，求数列<
/p>
的前
n
项和可用错位相减法。
例
2
：
（
2010
·海南宁夏高考·理科
< br>T17
）设数列
（Ⅰ
)
求数列
（Ⅱ）令
a
n
满足
a
1
2
，
a
n
的通项公式：
，求数列
b
n
na
n
b
n
<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
.
用心
爱心
专心
- 2 -
< br>【命题立意】
本题主要考查了数列通项公式以及前
n
项和的求法，
解决本题的关键是仔细观察
形
式，找到规律，利用等比数列的性质解题
.
【思路点拨】由给
出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前
n
项和
.
【规范解答】
（Ⅰ
)
由已知，当
n
1
时，
a
< br>n
1
(
a
n
1
a
n
)
(
a
n
a
n
1
)
< br>
3(2
2
n
< br>
1
2
2
n
3
而
(
a
2
a
1
)
a
1
2)
2
2
2(
n
1)
1
a
1
2
，满足上述公式，
a
n
< br>a
n
2
2
n
1
所以
的通项公式为
.
（Ⅱ）由
b
n
na
n
n
•
2
2
n
1
可知，
s
n
1
•
2
2
•<
/p>
2
3
3
•
2
5
从而
①
②得
<
/p>
n
•
2
2
n
1
①
2
2
s
n
1
•
2
3
2
•
2
5
< br>
3
•
2
7
n
•
2
2
n
1
②
2
3
5
(1
2
)
s
2
2
2
n
2
2
n
1
n
•
2
2
n
< br>1
1
2
n
1
S
n
(3
n<
/p>
1)2
2<
/p>
9
即
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和
.
要点考向
3
：裂项相消法求和
考情聚焦：
1
．裂项
相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点
考查内容。
2
．该类问题背景选择面广，可与等差、
等比数列、函数
、不等式等知识综合，在知识交汇点
处命题。<
/p>
3
．多以解答题的形式出现，属中、高
档题目。
考向链接：裂项求和的几种常见类型
（
1
）
；
<
/p>
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）
；
用心
爱心
专心
- 3 -
< br>（
5
）若
是公差为
d
的等差数列，则
；
（
6
）
（
7
）
（
8
）
；
。
例
3
：
（
2010
·山东高考理科·Ｔ
18
）已知等差数列
的前
n
项和
为
（
1
）求
a
n
满足：
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，
a
n
S
n
．
；
a
n
及
S
n
1<
/p>
T
b
n
a
n
2
1
b
（
2
）令
< br>
(n
N*)
，求数列
n
的前
n
项和
n
．
【命题立意】
本题考查等差数列的通项公式与前
n<
/p>
项和公式的应用、
裂项法求数列的和
,<
/p>
考查
了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力
.
【思路点拨】
(1)<
/p>
设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求
a
n
及
S
n
；
(2)
由
(1)
求出
b
n
< br>的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法
.
<
/p>
【规范解答】
（
1
）设等差数列
a
n
的公差为
d
，因为
a
3
7
，
a
5
< br>a
7
26
，所以有
a
< br>1
2
d
7
2
a
1
10<
/p>
d
26
，解得
a
1
3,<
/p>
d
2
，
a
n
3
（
2
n
1)=2n+1
所以
；
S
n
3n+
=
n(n-1)
2
2
2
=
n<
/p>
+2n
.
1
1
1
1
1
1
1
=
(
-
)
2
2
a
n
< br>2n+1
a
1
（
2n+1)
1
4
n(n+1)
n
4
n
n+1
（
2
）由（
1
）知
，所
以
bn=
=
=
，
1
1
1<
/p>
1
(1-
+<
/p>
+
T
n
4
2
2
3
所以
=
n
1
1
1
1
+
< br>-
)
(1-
< br>)=
n
n+1
=
4
n+1
4(n+1)
，
n
T
b
即数列
n
的前
n
项和
n
=
4(n+1)
.
【方法技巧】数列求和的常用方法：
用心
爱心
专心
- 4 -
< br>1
、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比
q
1
的讨论
.
2
、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对
应项相乘所得的数列的求和，即等
比数列求和公式的推导过程的推广
.
3
、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化
为几个等差、等比数列，再求解
.
4
、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾
若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同
.
5
、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加
(
即
等差数列求和公式的推导过程的推广
).
要点考向
4
：与不等式有关的数列问题
< br>考情聚焦：
1
．
数列综合问题，
特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。
2
．该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识
交汇，综合命题。
3
．多以解答题的
形式出现，属高档题。
例
4
：
（
2010
·
天津高考文科·
Ｔ
22
）
在数列
成等差数列，其公差为
2k
.
（Ⅰ）证明
a
< br>n
中，
a
1
=0
，
且对任意
k
N
*
，
a
2k
1
,a
2k
,a
2k+1
a
4
,a
5
,a
6
成等比数列；
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项公式；
2
2
3
2
n
2
3
T<
/p>
n
2n
T
n
（
2
n
2
< br>）
a
a
a
2
3
n
，证明
2
（Ⅲ）记
.
【命题立意】本小题
主要考查等差数列的定义及前
n
项和公式、等比数列的定义、数
列求和
等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨
论的思想
方法．
【思路点拨】
（Ⅰ）
（Ⅱ）应用定义法证明、求解；
（Ⅲ）
对
n
分奇数、偶数进行讨论．
【
规
范
解
答
】
（
I
）
由
题
设
可
知
，
a
2
a
1
<
/p>
2
2
，
a
3
a
2
2
4
，
a
4
a
3
4
8
，
a<
/p>
6
a
5
3
a
5
a
4
4
12
a
< br>6
a
5
6
18
a
a
4
2
，所
以
a
4
，
a<
/p>
5
，
a
6
成等比数列．
，
。
从而
5
（
II
）由题设可得
所以
a
2
k
1
a
2
k
1
4
k
,<
/p>
k
N
*
a
2
k
1
a
1
a
2
k
1
a
2
k<
/p>
1
a
2
k
1
a
2
k
3
...
a
3
a
1
由
4
k
4
k
1
...
4
1
< br>
2
k
k
1
,
k
N
*
.
a
1
0
，得
a
2
k
1
2
k
< br>k
1
，从而
a
2
k
a
2
k
1
2
k
2
k
2
.
用心
爱心
专心
- 5 -
< br>
n
2
1
,
n
为奇数
2
a
n
2
n
2
1
1
n
n
,
n
< br>为偶数
a
< br>n
a
2
2
4
所以数列
n
的通项公式为
或写为
，
n
N
*
．
< br>（
III
）由（
II
）可知
a
2
k
1
2
k
k
1
，
a
2
k
2
k<
/p>
2
，
以下分两种情况进行讨论：
当
n
为偶数时，设
n=2m
m
N
*
n
2<
/p>
n
k
2
若
m
1
，则
2
k
2
a
< br>k
，
若
m
2
，则
n
k
2
m
2
k
2
m
1
2
k
< br>
1
2
m
4
k
2
m
1
4
k
k
2
a
2
< br>4
k
1
2
k
k
1
a
2
k
k
1
a
2
k
1
k
1
< br>2
k
k
1
2
k
k
1
m
1
2
m
4
k
< br>2
4
k
m
1
1
2
m
2
1
1
1
< br>
k
1
2
k
k
1
2
< br>k
k
1
k
1
2
k
k
1
2
< br>m
2
m
1
1
2
1
1
m
3
1
< br>
2
n
2
n
.
n
n
所以
k
2
3
1
3
n
k
2
2
k
2
a
k
2
< br>
n
2
n
2
,
n
4,6,8,....
，从而
2
k
2
a
k
（２）当
n
为奇数时，设
n
2
m
1
m
N
*
．
n
k
< br>2
2
m
k
2
2
2
2
m
1
2
k
2
a
m
1
< br>
k
k
2
a
k
a
4
m
3
1
2
m
1
2
2
m
2
m
< br>
m
1
4
m
1
1
3
1
2
2
m
1
2
n
< br>
2
n
1
n
2
n
所以
<
/p>
k
2
3
1
3
n
2
n
k
2
a
k
2
2,
n
3,5,7,....
k
2
n
1
，从而
2
k
2
a
k
3
综合（
1
）和（
2
）可知，对任意
n<
/p>
2,
n
N
*,
2
n
T
有
2
n
2.
【高考真题探究】
用心
爱心
专心
- 6 -
< br>1
．
（
2010
·天津高考理科·Ｔ
6
）已知
a
n
是首
项为
1
的等比数列，
s
n
是
a
n
的前
n
项和，
1
a
9
s
3
s
6
且
，则数列
n<
/p>
的前
5
项和为
(
)
15
31
31
15
（
A
）
8
或
5
（
B
）
16
或
5
（
C
）
16
（
D
）
8
【命题立意
】考查等比数列的通项公式、前
n
项和公式．
< br>
【思路点拨】求出数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式是关键．
1
q
3
1
q
6
9
<
/p>
9(1
q
3<
/p>
)
1
q
6
n
1
a
q
1
q
1
q
【规范解答】选
C
．设
n
，则
，
1
1
(
)
5
2
31
T
5
1
1
n
1
n
1
1
16
a
2
(
)
n
1
3
3
a
n
2
，
2
即
9
1<
/p>
q
q
8,
q
2
，
．
2
．
（
< br>2010
·天津高考文科·Ｔ１
5
）设
{an}
是等比数列，公比
q<
/p>
2
，
Sn
为
{an}
的前
n
项和．
T
n
记
17
S<
/p>
n
S
2
n
,
n
N
*
.
T
T
n
a
n
1
设
n
0
为数列
{
n
}
的最大项，则
0
=
．
T
n
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前
n
项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简
利用均值不等式求最值．
< br>
S
n
【规范解答】
a
1
[
1
(
2
)
n
]
1
2
,
S<
/p>
2
n
a
1
[
1
(
2
)
2
n
]
1
2
,
a
n
1
a
1<
/p>
(
2
)
n
,
17
T
n
∴
a
1
[
1
< br>
(
2
)
n
]
a
1
[
1
(
2
)
2
n
]
1
2
1
1
2
< br>
[
16
(
2
)
n
(
2
)
n
<
/p>
17
],
1<
/p>
2
a
1
(
2
)
n
16
n
(
2
)
∵
(
< br>2
)
n
8
,
2
n
T
n
4
(
2
)
16
即
2
n
16
，
当且仅当
所以当<
/p>
n=4
，
即
0<
/p>
时，
4
最大．
【答案】
4.
3
．
（
2010
·安徽高考理科·Ｔ
20
）设数列
证明：
a
1
,
a
2
,
,
a
n
,
中的每一项都不为
0
．
a<
/p>
n
为等差数列的充分必要条件是：对任
何
n
N
，都
有
用心
爱心
专心
- 7 -
< br>1
1
a
1
a
2
a
2
a
3
1
n
a
n
a
n
1
a
1
a
< br>n
1
．
【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求
解能力．
【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜
采用列项相消法，再证明充分性，可采
用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列
a
n
中
的每一项都不为<
/p>
0
，
先证
若数列
a
n
为等差数列，设公差为
d
，
1
当
d<
/p>
0
时，有
a<
/p>
n
a
1
n
1
d
(
1
1
a
n
a
)
n
1
，
1
1
1
a
1
[(
1
a
1
)
(
1
1
)
a
1
a
2
a
2<
/p>
a
3
n
a
n
1
d
1
a
2
a
2
a
(
1
a
1
3
a
)]
n
n
1
1
1
1
1
a
n
1
a
1
n
d
< br>[(
a
)]
< br>
1
a
n
1
d
a
1
a
n
1
a
1
a
n
1
1
a
a
< br>1
a
1
n
即对任何
n
N
，有
1
2
2
a
3
a
n
a
n
1
a
1
a
n
1
成立；
1
1
1
n
< br>当
d
0
时，显然
a
1
a
2
a
2
a
3
a
a
<
/p>
n
n
1
a
1
a
n
1
也成立．
再证
1
n
N
1
1
n
对任意
，有
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
1
a
1
a
n
< br>1
①，
1
1
1
n
1
a
1
<
/p>
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a<
/p>
1
a
n
2
②，
1
n
1
n
由②
-
①得：
a
n
1
a
n
2
a
1
a
n
2
-
a
1<
/p>
a
n
1
上式两端同乘
a
1
a
n
1
a
n
2
，得
a
1
(
n
1)
a
n
1
< br>
na
n
2
③，
同理可得
a
1
na
< br>n
(
n
1)
a
n
1
④，
由
③
-
④得：
2
a
n
1
<
/p>
a
n
a
n
2
，所以
a
n
为等差数列
用心
爱心
专心
- 8 -
【方法技巧】
1
、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等
，
转化为常见的类型进行求和；
2
、对数列中的含
n
< br>的式子，注意可以把式子中的
n
换为
n
1
或
n
1
得到相关的式子，再进
行化简变形处理；也可以把
n
取自然数中的具体
的数
1
，
2
，
3
…等，得到一些等式归纳证明
. <
/p>
4
．
（
2010
·安徽高考文科·Ｔ
21
）设
C
1
,
C
2
,
,
C
< br>n
,
是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都
在
x
轴的正半轴上，且都与直线
切，以
y
3
x
3
相切，对每一个正整数
n
,
圆
C
n
都与圆
C
n
1
相互外
r
n
表示
C
n
的半径，已知
{
r
n
}
为递增数列
.
(1)
证明：
{
r
n
}
为等比数列；
n
{
}
r
< br>1
r
（
2
）设
1
，求数列
n
< br>的前
n
项和
.
【命题
立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考
生的
抽象概括能力以及推理论证能力．
【思路点拨】
（
1
）求直线倾斜角的正
弦，设
C
n
的圆心为
< br>(
n
,0)
< br>，得
n
2
r
n
，同理得
< br>
n
1
2
r
n
1
，
结合两圆相切得圆心距与半径间的
关系，
得两圆半径之间的关系，
即
{<
/p>
r
n
}
中
r
n
1
与
r
n
的关系，可证明<
/p>
{
r
n
}
为等比数列；
n
{
r
}
r
（
2
）利用（
1
）的
结论求
n
的通项公式，代入数列
n
，然后采用错位相减法求和
.
【规范解答】
（
1
）将直线
y=
3
3
1
x
的倾斜角记为
,
则有
tan
=
,sin
,
3
3
2
1
sin
，得
n
2r
n
,
n
< br>2
r
n
设
C
n
的圆心为（
< br>
n
，
0
），则由题意得知
同理
n+1
2r
n+1
，<
/p>
又
n+1<
/p>
n
r
n
r
n+1
，
将
n
2r
n
和
< br>n+1
2r
n+1
，代入上式解得
r
n+1
3r
n
用心
爱心
专心
- 9 -
< br>故
r
n
为公比
q
3
的等比数列。
（
）由于
r
n
1
，
q
3
，故
r
n
3
n
1
，从而
1
2
n
...
..
,
则有
r
1
r
2
r<
/p>
n
n
n
3
1
n
，
r
n
记
S
n
S
n
1
2
<
/p>
3
1
3
3
2
......
n
3
1
n
S
n
1
3
< br>
1
2
3
2
......
(
n
1)
3
1
n
n
3
n
3
①
②
,
得
2S
n
1
3
n
3
3
1
2
1
n
<
/p>
n
1
3
3
...
3
n
3
n
3
n
(
n
)
<
/p>
3
n
,
2
3
2
2
3
9
1
3
9
(2
< br>n
3)
3
1
n
1
n
S<
/p>
n
(
n
)
3
4
2
2
4
．
【方法技巧】
1
、对数列中的含
n
的式子，注意可以把式子中的
n
换为
n
1
或
n
< br>1
得到相关的式子，再进
行化简变形处理；
2
、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特
点，进行适当的处理，如分组、列项相消、
错位相减等
，转
化为常见的类型进行求和．
5
．
（
2010<
/p>
·
江苏高考·
Ｔ１
9
）
设各项均为正数的数列
数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
2
a
a
1
a
3
已知
2
< br>，
S
是公差为
d
的等差数列．
n
（
1
）求数列
a
n
的通项公式（用
n
,
d<
/p>
表示）
；
S<
/p>
m
S
n
cS
k
都
（
2
）
设
c
为实数，
对满足
m
n
3
k
且
m
n
的任意正整数
m
,
n
,
k
，
不等式
9
成立。求证：
c<
/p>
的最大值为
2
．
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题
等
有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
【思路点拨】
（
1
）先求
不等式解决．
【规范解答】
（
1
）由题意知：
d
0
，
S
n
，然后利用
a
n
与
S
n
的关系求解；
（
2
）利用
（
1
）中所求
S
n
利用基本
S
n
S
1
(
n
1)
d
a
1
(
n
1)
d
用心
爱心
专心
- 10 -
2
a
2
a
1
a
3
3
a
2<
/p>
S
3
3(
S
2
S
1
)
S
3
化简，得：
2
2
3
[(
a
d
)
a
]
(
a
2
d
)
1
1
1
，<
/p>
a
1
2
a
1
d
d
2
0,
a
1
< br>
d
,
a
1
d
2
，
S
n
d
(
n
1)
d
nd
,
S
n
n
2
< br>d
2
a
n
S
n
S
n
1
n
2
d
2
(
n
1)
2
d
2
(2
n
< br>1)
d
2
n
2
当
时，
，适合
n
1
情形．
故所求
a
< br>n
(2
n
1)
d
2
．
（
2
）
（方法一）
m
2
n
2
c
S
m
S
n
cS
k
m
2
d
2
n
2
d
2
c
k
2
d
2
m
2<
/p>
n
2
c
k
2
k
2
恒成立．
，
m
2
n
2
9
2(
m
n
)
(
m
n
)
9
k
2
k
2
，
又
m
n
3
k
且
m
n
，
2
2
< br>2
2
c
故
9
9
2
，
即
c
的最大值为
2
．
（方法二）由
a
1
d
及
< br>S
n
a
1
(
n
1)
d
，得
d
0
，
S
n
n
2
d
2
．
于是，对满足题设的
m
,
n
,
k
，
m
n
，有
(
m
n
)
2
2
9
2
2
9
S
m
S
n
(
m
n<
/p>
)
d
d
d
k
S
k
2
2
2
．
2
2
2
所以
c
的最大值
c
max
9
2
．
9
3
3
m
k
1,
n
k
1
2
2
2
．设
k
为偶数，令
，则
m
,
n
,
k
符合条件，
a
另
一方面，任取实数
3
3
1
S
m
S
< br>n
(
m
2
n
2
)
d
2
d
2
[(
k
1)
2
(
k
1)
2
]
d
2
(9
k
2
< br>4)
2
2
2
且
．
k
2
1
S
m<
/p>
S
n
d
2
2
ak
2
aS
k
2
a
9
时，
2
．
< br>
2
2
9
k
4
2
ak
于是，只要
，即当
c
所以满足条件的
9
9
c
max
2
．
2
，从而
9
因此
c
的最大值为
2
．
用心
爱心
专心
- 11 -