数列求和方法归纳
龙的图片大全-
v1.0
可编辑可修改
数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前
n
项和：
1
2
3
……
+n=
2
2
2
2
n
(
n
1)
，
1+3+5+
……
+(2n-1)=
n
2
2
2
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n
1)
1
2
3
……
+n
=
，
1
3
2
3
3
3
< br>……
+n
3
=
< br>
等
.
6
2
例
1
求
1
2
2<
/p>
2
3
2
4
2
5
2
6
2
99
< br>2
100
2
< br>．
(100
2
99
2
< br>)
3
7
11
199
．
解：原式
(2
2
1
2
)
(4
2
3
2
)
(6<
/p>
2
5
2
)
由等差数列求
和公式，得原式
50
(3
199)
5050
．
2
变式练习
：已知
log
3
x
1
n
解
：
1
－
2
1
，求
x
x
2
x
3
......
x
n
......
的前
n
项和
.
log
2
3
二、倒序相加法
此方法源于等差数列
前
n
项和公式的推导，
目的在于利用与
首末两项等距离的两项
相加有公因式可提取，以便化简后求和
.
1
v1.0
可编辑可修改
例
2
求
1
2
2
2
10<
/p>
2
1
2
10
2
2
2
9
2
3
2
3
< br>2
8
2
10
2
1
2
的和．
1
2
2
2
3
2
解：设
S
1
2
10
2
2
2
9
2
3
2
8
2
10
2
10
2
1
2
则<
/p>
S
10
2
9
2
8
2
10
2
1
2
2
2
9
2
3
2
8
2
1
2<
/p>
10
2
1
2
．
两式相加，得
2
< br>S
1
1
1
10
，
S<
/p>
5
．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
1
1
1
1
n
(
n
k
)
k
(
n
1
< br>n
k
)
，
n
k
n
1
k
(
n
k
n
)
，
1
(2
n
1)(2
n
1)
1
2
(
1
2
n
1
1
2
n
1<
/p>
)
，等
.
例
3
已知
1
2
2
2
n
2
1
6
n
(
n
< br>1)(2
n
1)
，
求
< br>3
5
7
1
1
2
2
1
2
2
2
3
2
2
n
1
2
2
< br>
1
2
2
2
n
2
(
n
N
)
的和．
解：
a
2
n
1
2
n
1
6
n
1
2
2
2
n
2
1<
/p>
，
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n
1)
6
S
1
1
n
< br>6
1
2
2
3
1
n
(
n
1)
6
1
1
1
1
1
2
< br>
2
3
n
1
n
1
6
1
< br>
1
n
1
ln
n
<
/p>
1
.
小结：
如果
数列
{
a
n
}
的通项公式很容易表示成另一个数列
{
b
n
}
的相邻两项的差，即
a
n
b
n
1
b
n
，则有
S
n
b
n
1
b
1<
/p>
.
这种方法就称为裂项相消求和法
.
2
v1.0
可编辑可修改
变式练习：
求数列
1
1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
项和
S.
n
(
n
2
)
1
3
2
< br>4
3
5
解
：∵
1
1
1
1
=
(
<
/p>
）
n
(
n
2
)
2
n
n
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
3
1
1
)
=
(
1
S
n
=
(
1
)
(
)
<
/p>
(
)
=
2
3
2
4
n
n
2
2
2
n
1<
/p>
n
2
4
2
n
2
2
n
4
四、错位相减法
源于等比
数列前
n
项和公式的推导，
对于形如<
/p>
{
a
n
b
n
}
的数列，
其中<
/p>
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
为等比数列，均可用此法
.
例
4
求
x
3
x
2
5
x
< br>3
(2
n
1)
x
n
的和．
x
2
x
2
(1
x
n
1<
/p>
)
(2
n
1)
x
n
1
2
S
n
解：当
x
1
时，
S
n
；
< br>
当
时，
．
<
/p>
x
1
n
2
1
x
(1
x
)
1
x
小结：错位相减法的
步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列
{
b
< br>n
}
的公比；②将两个等式相
减
；③利用等比数列的前
n
项和公式求和
.
变式
练习：
求数列
a,2a
2
,3a
3
,4a
4
,
…
,na
n
,
…
(a
为常数
)
的前
n
项和。<
/p>
解
：
（
1
）若
a=0,
则
S
n
=0
（
2
）若
a=
1,
则
S
n
=
1+2+3+
…
+n=
（
3
）若
a
≠
0
且
a
≠
1
n
(
n
1
)
<
/p>
2
则
S
n
=a+2a
2
+3a
3
+4a
4
+
…
+ na
n
，
∴
aS
n
=
a
2
+2
a
3
+3 a
4
+
…
+na
n+1
< br>
a
a
n
1
∴
(1-a) S
n
=a+
a
2
+
a<
/p>
3
+
…
+a
n
-
na
n+1
=
< br>
na
n
1
1
a
a
a
n
<
/p>
1
na
n
1
(
a
1
)
当
a=0
时，此式也成立。
∴
S
n
=
2
(
1
a
)
1
a
∴
S
n
=
五、分组求和法
若数列的通项是若干
项的代数和，可将其分成几部分来求
.
n
(
n
1
)
(
a
1
)
2
a
a
n
1
na
n
1
(
a
1
)
2
(
1
a
)<
/p>
1
a
1
1
1
1
例
5
求数列
2
，
4
，
6
，
，
2
n
n
1
，
4
8
16
2
3
的前
n
项和
S
n
．
v1.0
可编辑可修改
S
n
(2
4
6
< br>
1
1
1
2
n
)
2
3
4
2
2
2
1
3
1
9
< br>1
1
,4
,
27
81
1
1
1
n
(
n
1)
．
n
1
n
1
2
2
2
变式练习：
求数列
1
,2
,3
n
2
n
1
1
解：
n
2
2
3
的前
< br>n
项和
数列求和基础训练
4
n
1
1.
< br>等比数列
{
a
n
}
的前ｎ项和
S
ｎ
＝
2
－１，则
a
a
a
a
< br>＝
3
ｎ
2
1
2
2
2
3
2
n
2.<
/p>
设
S
n
1
3
5
7
3.
1
1
< br>
1
4
4
7
(
1)<
/p>
n
(2
n
1)
，则
S
n
＝
(
1)
n
n
.
n
1
.
(3
n
2)
(3
n
1)
3
n
1
4.
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
...
=
2
2<
/p>
3
n
2
n
3
2
•
4
3
•
5
4
•
6
(
n
1)(
n
3)
2
n
1
),
5.
数列
1,(1
2),(1
2
2
2
),
,(1
2
2
2
< br>2
n
1
n
2
的通项公式
a
n
2
n
1
，
前
n
项和<
/p>
S
n
1
3
5
2
n
1
2
n
3
6 .
,
2
,
3
,
,
n
,
;
的前
n
项和为
S
n
3
n
2
2
2
2
2
数列求和提高训练
1
．数列
{
a
n
}
满足：
a
1
＝
1
，且对任意的
m
，
n
∈
N
*
都有：
a
m
＋
n
＝
a
< br>m
＋
a
n
＋
mn
，则
1
1
1
1
( A )
a
1
a
2
a
3
a
2008
A
．
4016
2009
B
．
2008
2009
C
．
2007
1004
D
．
2007
200
8
解：∵
a
m
＋
n
＝
a<
/p>
m
＋
a
n
＋
mn
，∴
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
1
＋
n
＝
a
n
＋
1
＋
n
，
∴利
用叠加法得到：
a
n
1
2
1
1
n
(
n
1
)
2<
/p>
(
)
，
，∴
a
n
n
(
n
1
)
n
n
< br>
1
2
4