高中数列求和方法大全(配练习及答案)
元宵灯会-
数列的求和
（
1
）等差
数列的求和公式：
S
n
1
．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式
求和。
n
(
a
1
a
n<
/p>
)
n
(
n
1
)
na
1
d
< br>2
2
na
1
(
q
1
)
n
（<
/p>
2
）等比数列的求和公式
S
n
a
< br>1
(
1
q
)
（切记：公比含字母时一定要讨论）
(
q
1
)
1<
/p>
q
3
．错位相
减法：比如
a
n
等差
,
b
n
等比
,
求
a
1
b<
/p>
1
a
2
b
2
a
n
b
n
的和
.
< br>4
．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1
1
1
1
1
1
1
(
)
常
见
拆
项
公
式
：
；
n
(
n
1
)
n
n
1
n
(
n
< br>
2)
2
n
n
2
1
1
1
1
(<
/p>
)
n
n
!
(
n
1
)!
n
!
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
5
．分组求和法：把数列的每
一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6<
/p>
．合并求和法：如求
100
2
99
2
98
2
97
2
< br>2
2
1
2
的和。
7
．倒序相加法：
《
8
．其它
求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1
．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2
．求和过程中注意分类讨论思想的
运用；
3
．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例
1
．求和：①
S
n
1
11
111
11
1
n
个
②
S
n
(
x
1
2
1
1
)
< br>
(
x
2
2
)
2
(
x
n
n
)
2
x
x
x
③求数列
1
，
3+4
，
5+6+7
，
7+8+9+10
，…前
n
项和
S
n<
/p>
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
|
解：①
a
k
11
<
/p>
1
1
10
10
10
k
个
2
k
1
< br>k
(
10
1
)
9
1
1
S
n
<
/p>
[(
10
1<
/p>
)
(
10
2
1
)
(
10
n
1
)]
[(
10
10
2
10
n
< br>)
n
]
9
9
1
10
(
10
n
1
)
10
n
<
/p>
1
9
n
10
[
n
]
9
9
81
②
S
n
(
x
2
1
1
1
4
2<
/p>
n
2
)
(
x
2
)
(
x
2
)
2
4
2
n
x
x
x
1
1
1
(
x
2
x
< br>4
x
2
n
)
(
2
4
2
n
)
2
n
x
x
< br>x
x
2
(
x
2
n
1
)
x
2
(
x
2
n
1
)
(
x
2
n
< br>
1
)(
x
2
n
2
1
)
（
1<
/p>
）当
x
1
时，
S
n
2
n
2
n
2
2
2
n
2
x
1
x
<
/p>
1
x
(
x
1
)
（
2
）当
x
1
时
,
< br>S
n
4
n
③
a
k
(
2
k
1
)
2
k
(
2
k
1
< br>)
[(
2
k
1
)
(
k<
/p>
1
)]
k
[(
2
k
1
)
(
3
k
2
)]
5
< br>2
3
k
k
2
2
2
S
n
a
1
a
2
a
n
5
< br>2
3
5
n
(
n
1
)
(
2
n
1<
/p>
)
3
n
(
n
1
)
(
1
2
2
n
2
)
(
1
2
<
/p>
n
)
2
2
2
6
2
2
1
n
(
n
1
)(
5
n
2
)
6
总结：
运用等比数列前
n
项和公式时，要注意公比
q
1
或
q
1
讨论。
、
2
．错位相减法求和
例
2
．已知数列
1
,
3
a
,
5
a
,
,
(
2
n
1
)
a
2<
/p>
n
1
(
a
0
)
，求前
n
项和。
0
2
n
1
思路分析：已知数列各项是等差数列
1
，
3
，
5
，…
2n-1
与等比数列
a
,
a
,
a
,
,
a
积，可用错位相减法求和。
解
：
对应项
S
n
1
3
a
5
a
2
(<
/p>
2
n
1
)
a
n
1
1
aS
n
<
/p>
a
3
a
2
5
a
3
(
2
n
1
)
a
n
2
<
/p>
1
2
:
(
1
a
)
S
n
当
1
2
a
2
a
2
<
/p>
2
a
3
2
a
n
1
(
2
n
1
)
a
n
2
a
(
1
a
n
1
)
n
a
1
时
,
(
1
a
)
S
n
1
< br>
(
2
n
1
)
2
(
1
a
)
1
a
(
2
n
1
)
a
n
< br>
(
2
n
1
)
a
n
1
S
n
(
1
a
)
2
2
当
a
< br>1
时
,
S
n
n
3.
裂项相消法求和
2
2
4
2
(
2
n
)
2
例
3
.
求和
S
n
1
3
3
5
(
2
< br>n
1
)(
2
n
1
)
思路分析
:
分式求和可用裂项相消法
求和
.
】
解
:
(
2<
/p>
k
)
2
(
2
k
)
2
1
1
1
1
1
1
a
k
1
1<
/p>
(
)
(
2
k
1
)(
2
k
1
)
< br>(
2
k
1
)(
2
k
1
)
(
2<
/p>
k
1
)(
2
k
1
)
2
2
k
1
2
k
< br>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n
(
n
1
)
S
n
a
1
a
2
< br>
a
n
n
[
(
1
)
<
/p>
(
)
(
)]
n
(
1
)
< br>
2
3
3
5
2
n
1
2
n
1
2
2
n
1
2
n
1
n
(
< br>n
1
)
(
a
1
)
1
2
3
n
2
练习
:
求
S
n
2
3
n
答案
:
S
n
n
a
(
a
1
)
n
(
a
1
< br>)
a
a
a
a
(
a
1
)
n
2
a
(
a
1
)
4.
倒序相加法求和
0<
/p>
1
2
n
n
例
4
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
n
1
)
2
m
n
m
思路分析：由
C
n
C
n
可用倒序相加法求和。
0
1
2
n
证：令
S
n
C
n
3
C<
/p>
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
1
)
m
n
m
(<
/p>
2
)
C
n
C
n
n
n
1
2
1
0
< br>则
S
n
(
2
n
1
)
C
n
(
2
n
1
)
C
n
5
< br>C
n
3
C
n
C
n
0
1
2
n
(
1
)
(
2
)
有
:
2
S
< br>n
(
2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
< br>)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
0
1
2
n
S
n
(
n
< br>
1
)[
C
n
C
n
C
n
<
/p>
C
n
]
(
n
1
)
2
n
等式成立
5
．其它求和方法
.
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
n
例
5
．已知数列
a
n
,
a
n
2
[
n
<
/p>
(
1
)
],
求
S
n
。
n
思路分析：
a
n
2
n
2
(
1
)
< br>，通过分组，对
n
分奇偶讨论求和。
解：
a
n
2
n
2
(
1
)
，若
n
2
m
,
则
S
n
S
2
m
2
(
1
2
3
<
/p>
2
m
)
2
n
(
1
)
k
1
2
m
k
S
n
2
(<
/p>
1
2
3
2
m
)
(
2
m
1
)
2
m
n
(<
/p>
n
1
)
若
n
2
m
1
,
则
S
n
S
2
m
1
S
2<
/p>
m
a
2
m
(
2
m
1
)
2
m
2
[
2
m
(
1
)<
/p>
2
m
]
(
2
m
1
)
2
m
2
(
2
m
1
)
4<
/p>
m
2
2
m
2
(
n
1
)
2
(
n
1
)
2
<
/p>
n
2
n
2
(
n
为正偶数
)
n
(
n
1
)
< br>S
n
2
n
n
2
(
n
为正奇数
)<
/p>
2
n
预备
：已知
f
(
x
)
a
1
x
a
2
x
a
< br>n
x
,
且
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
n
成等差数列
，
n
为正偶数，
又
f
(
1
)
n
,
f<
/p>
(
1
)
n
，试比较
f
(
)
与
3
的大小。
*
2
1
2
2
(
a
1
a
n
)
n
n
2
a
a
<
/p>
2
n
f
(
1
)
a
1
a
2
a
3
a
n
n
n<
/p>
2
1
解：
n
d
2
f
(
< br>1
)
a
a
a
a
a
n
1
2
3
n
1
n
< br>
d
n
2
a
a
1
(
n
1
)
d
2
n
1
< br>
a
1
1
a
n
2
n
1
d
2
f
(
x
)
x
< br>3
x
2
5
x
3
(
2
n
1
)
x
n
可求得
f
(
)
3
(
)
n
< br>
2
(
2
n
1
)
(
)
n
，∵
n
为正偶数，
f
(
)
3
1
1
1
1
1
f
(
)
3
(
)
2
5
< br>(
)
3
(
2
n
1
)(
)<
/p>
n
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
巩固练习
1
．求下列数列的前
n
项和
S
n
：
（
1
）
5
，
55
，
555
，
5555
，…，
（
2
）
1
1
1
,
,
,
1
3
2
4
3
< br>5
1
（
3
）
a
n
；
n
n
1
2
3
n
（
4
）
a
,
2
< br>a
,3
a
,
,
na
,
；
（
5
）
1
3,2
4,3
5,
】
5
n
(10
1)
，…；
9
1
,
,
；
n
(
n
2)
,
n
(
n
2),
；
（
6
）
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
89
．
6
n
5
(
n
为奇数
)
2
．已知数列
{
a
n
}
的通项
a
n
n
，求其前
n
项和
S
n
．
(
n
为偶数
)
2
n
个
解：
< br>（
1
）
S
n
5
5
5
555
55
5
5
(9
99
999
9
n
个
99
9)
5
[(1
0
1)
(
10
2
1)
(10
3
1)
9
(
10
n
1)]
5
50
5
[10
10
2
10
3
10
n
n
]
(10
n
1)
<
/p>
n
．
9
81
9
1
1
1
1
(
)
，
< br>（
2
）∵
n
(
n
2)
2
n
n
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
∴
S
n
< br>[(1
)
< br>(
)
(
)
(
)]
<
/p>
(1
)
．
2
3
2
4
3
5
n
n
< br>2
2
2
n
1
n
2
%
n
1
n
n
1
n
n
< br>n
1
(
n
n
1
)(
n
1
n
)
1
1
1
∴
S
n
2
1
< br>3
2
n
1
n
(
2
1)<
/p>
(
3
2)
(
n
1
n
)
n
< br>
1
1
．
2
3
n
（
4
）
S
n
a
2
a
3
a
na
，
n
(
n
1)
当
a
1
时，
S
n
1
2
3
…
n
，
2
2
3
当
a
1
时，
S
n
a
2
a
3
a
…
na
n
，
（
3
）∵
a
n
1
aS
n
a
2
2
a
< br>3
3
a
4
…
n
a
n
1
，<
/p>
两式相减得
(1
a
)
S
n
a
a<
/p>
a
…
a
na
2
3
n
n
1
a
(1
a
n
)
na
n
1
，
1
a
na
n<
/p>
2
(
n
1)
a
n
1
a
∴
S
n
< br>
．
2
(1
a
)
2
（
5
）∵
n
(
n
2)<
/p>
n
2
n
，
`
∴
原式
<
/p>
(1
2
3
…
n
)
2
(1
2
3
…
n
)
（
6
）设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
又∵
S<
/p>
sin
2
89
sin
2
8
8
sin
2
87
∴
2
S
89<
/p>
，
S
2
2
2
2
n
(
n
1)(2
n
7)
．
6
sin
2
89
，
sin
2
1
，
89
．
2<
/p>
6
n
5
(
n
为奇数
)
2
．已知数列
{<
/p>
a
n
}
的通项<
/p>
a
n
n
，求其前
n
项和<
/p>
S
n
．
(
n
为偶数
)
2
解：奇数项组成以
a
1
1
为
首项，公差为
12
的等差数列，
偶数项组成以
a
2
4
为首项，公比为
4
的等比数列；
n
1
n
1
当
n
为奇数时，奇数项有
项
，偶数项有
项，
2
< br>2
n
1
n
1
(1
6
n
5)
4(1
4
2
)
(
n
1)(3
n
2)
4(2
n
1
1)
2
∴<
/p>
S
n
，
2
1
4
2
3
n
当
n
为偶数时，奇数项和偶数项分别有
项，
< br>
2
{
n
n
(1
6
n
5)
n
2
4(1
4
)
n
(3
n
2)
4(2
1)
∴
S
n
2
，
2
1
4
2
3
(
n
<
/p>
1)(3
n
2
)
4(2
n
1
1)
2
3
所以，
S
n
n
n
(3
n
2)
4(2
1)
2
3
(
n
为奇数
)
．
(
n
为偶数
)
高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）
跟踪训练题
一、选
择题（本大题共
6
个小题，每小题
6<
/p>
分，总分
36
分）
1.
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
=1
，
a
3
=3
，则
S
4
=(
)
|
(B)10
(C)8
(D)6
(A)12
2.
设数列
{x
n
}
满足
log
2
x
n+1
=1+log
2
x
n<
/p>
,
且
x
1
+x
2
+x
3
+
…
+x
10
=10,
则
x
11<
/p>
+x
12
+x
1
3
+
…
+x
2
0
的值为
(
)
(A)
10
×
2
11
(C)11
×
2
11
(B)10
×
2
10
(D)11
×
2
10
< br>3.
已知正数组成的等差数列
{a
n
}
，前
20
项和为
100
，则
a
7
·
a
14
< br>的最大值是
(
)
(A)25
(B)50
(C)100
(D)
不存在
5
a
a
2
a
1
a
a
{
a
}
4.
已知
n
为等比数列
，
S
n
是它的前
n
项和。
若
2
3
，
且
4
与
2
7
的等差
中项为
4
，
则
S
5
=(
)
A
．
35
.33
C
5.
设
a
n
是任意等比数列，
它的前
n
项和，
前
2
n
项和与前
3
n
项和分别为
X
,
Y
,
Z
，
则下列
Y
Y
X
Z
< br>
Z
X
等式中恒成立的是
(
)
A
、
X
Z
2
Y
>
B
、
C
、
Y
XZ
2
D
、
Y
Y
X
X
Z
X
6.
（
2010
·
潍坊模拟）
已知数列
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列
，
S
n
是其前
n
项和，
且有
S
9
8
=S
7
，
则下列说法不正确的是
（
）
B
．
d<0
D
．
a
8
=0
A
．
S
9
10
C
．
S
7
与
S
8
均为
S
n
的最大值
二、填
空题（本大题共
3
个小题，每小题
6<
/p>
分，总分
18
分）
7.
将正偶数划分为数组：
（
2
）
，
（
4
，
6
）
，
（
8
，
< br>10
，
12
）
< br>，
（
14
，
16
，
18
，
20
）
，…，则第
n
组各
数的和是
.
（用含
n
的式子表示）
8.
已知数列
{a
n
}
满足
:a
4n-3
=1,a
4n-1
=0,a
2n
=a
n
< br>,n
∈
N
*
,
则
a
2
009
=_______;a
2
014
=_______.
9.
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
4
=15,S
5
=55,
则过点
P(3,a
3
),Q
(10,a
10
)
的直线的斜率为
_______.
三、解答题（
10
、
11
题每小题<
/p>
15
分，
12
题
16
分，总分
46
分）
10
a
n
n
1
<
/p>
n
N
a
11
10.
数列
n
的通项
试问该数列有没有最大项若有，
求出最大项
和最大项的项数；若没有，说明理由
、
n
11.
在等比数列
{a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，若
S
< br>m
,S
m+2
,S
m+1
成等差数列，则
a
m
,a
m+2
,a
m+1
成
等差数列
.
（
1
）写出这个命题的逆命
题；
（
2
）
判断逆命题是否为真并给出证明
.
1
2.
已知数列
{
a
n
}
a
3
中，前
n
项和为
S
n
S
n
1
S
n
<
/p>
2
a
n
2
n
2
n
N
a
5
1
，
，并且
（
）
，
（
1
）求
a
2
，
的
值；
（
2
）设
b
n
<
/p>
a
n
2
n
，若实数
使得数列
{
b
n<
/p>
}
为等差数列，求
的值。
{
1
}
b
n
b
n
1<
/p>
（
3
）在（
2<
/p>
）的条件下，设数列
的前
n
项和为
T
n
，求证：
T
n
1
5
参考答案
一、选择题
1.
【解析】
选
=
…
=2
×
(1+3)=8.
2.
【解析】
选
B.
∵
log
2
x
n+1
-log
2
x
n
=1,
公比
q=2,
∴
{x
n
}
为等比数列，
其
又∵
x
1
+
x
2
+
…
+x
10
=10,
∴
x
11
+x
12
+
…
+x
20
=q
10
(x
1
< br>+x
2
+
…
+x
10
)=2
10
×
10.
3.
【解析】
选
A.
∵
S
20
=
×
20=100,
∴
a
1
+a
20
=10,
∵
a
1
+a
20
=a
7
+a
14
,
∴
a
7
+a
14
=10.
∵
a
n
>0,
∴
a
7
·
a
14
≤
(
4.
【解析】
选
C
)
2
=25.
由
a
2
a
3
2
a
1
a
1
< br>a
4
2
a
1
a
4
2
，又
a<
/p>
4
2
a
7
2
5
1
a
7
4
得
4
1
5
16[1
<
/p>
(
)
]
1
a
4
2
2
31
S
5
a
1
< br>3
16
a
1
1
1
1
q
q
3
<
/p>
7
4
q
1
a
4
2
8
，
8
2
，
2
所以，
，
5.
【解析】
选
D
，设等比数列
a
< br>n
的公比为
q
(
q
0)
< br>，由题意，
X
a
1
a
2
< br>
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
n
a
n
Y
a
1
a
2
Z
a
1
< br>
a
2
'
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
n
a
< br>2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
Y
X
Z
X
q
< br>
q
Y
X
，
，所以
Y
(
Y
X
)
X
(
Z
X
)
，故
D
正确。
6.
【解析】
选
A
由题意知
d<0
，
a
8
=0
，所以
二、填空题
a
10
a
9
a
8
0.
S
10
S
9
a
10
S
9
.
7.
<
/p>
【解析】
前
n
1
组共有偶数的个数为
1
2
3
< br>
(
n
1)
n
(
n
1)
.
2
故第
n
组共
有
n
个
偶
数<
/p>
，
且
第
一
个
偶
数
是
正
偶
数
数
列
2
n
的
第
n
(
n
1)
n
(
n
1)<
/p>
1
项，即
2<
/p>
[
1]
n
2
n
2
2
2
，
n
< br>(
n
2
n
2)
所以第
n
组各数的和为
n
(
n
1)
2
n
3
n
.
2
答案：
n
n
.
3
8.
【解
析】
依题意，得
a
2 009
=a
4
×
503-3<
/p>
=1,a
2 014
=a
2
×
1
007
=a
1 007
=a
4
×
252-1
=0.
答案：
1
0
9.
【解析】
∵
a
4
=15,S
< br>5
=55.
∴
55=
=5a
3
,
∴
a
3
=11.
∴公差
d=a
4
-a
3
=15-11=4.
a
10
=a
4
+6d=15
+24=39.
∴
P(3,11),Q(10,39)
k
PQ
=<
/p>
三、解答题
=4.
答案：
4
10
a
n
1
a
n
n
2
11
10.
【解析】
方法
1
：
?
n
1
10
10
9
n
n
1
< br>
11
11
11
n
n
∴当<
/p>
n
＜
9
时，
当
n
9
时
a
n
1
a
n
< br>
0
a
n
1
a
n
，
a
n
1
a
n
0
a
n
1
< br>
a
n
当
n
＞
9
时，
故
a
n
1<
/p>
a
n
0
a
n
1
a
n
，
，
9
a
1
a
2
a
9
a
< br>10
a
11
< br>
a
12
10
10
a
a
a
<
/p>
11
，其项数为
9
或
10
∴数列
n
中最大项为
< br>9
或
10
.
其值为
方法
2
< br>10
a
n
n
1
<
/p>
n
N
,
11
n
n
n
1
< br>10
10
< br>
n
1
n
2
a
n
a
n
1
< br>
n
9,
11
11
<
/p>
n
n
1
a
a
n
10.
n
1
n
10
< br>10
n
1
<
/p>
n
1
11
11
n
N
,
n
9
或
10.
10
10
a
a
a<
/p>
11
，其项数为
9
或
1
0
∴数列
n
中最大项为
9
或
10
.
其值为
11.
【解析】
（
1
）在等比数列
{a
n
}
中，前
n
项和为
S
n
，若
a
m
,a
m+2
,a
m+1
成等差数列，则
< br>9
S
m
,S
m+2
,S
m+1
成等差数列
.
（
2
）
设
数
列
{a
n
}
的
首
项
为
a
1
，
公
比
为
q.
由
题
意
知
:2a
m+2
=a
m
+a
m+1
< br>，
2a
1
q
m+1
=a
1
q
< br>m-1
+a
1
q
m
.
·
∵
a
1
≠
0,q
≠
0,
∴
2q
2
-q-1=0,
12.
【解析】
< br>（
1
）由
S
n
1
S
2
n
<
/p>
2
a
n
2
n
（
n
N
）得
S
n
< br>
2
n
1
S
n
2
a
n
2
即
a
2
n
1
2
a
n
< br>2
n
（
n
N
）
∵
a
1
5
a
1
2
2
2
a
1
< br>
2
10
8
18
即
∴
a
3
2
a
2
2
2
2
36
16
52
（
2
）由条件<
/p>
b
1
a
1
5
2
2
b
2
a
2<
/p>
18
2
4
2
a
3
52
8
2
3
2
b
2
b
1
b
3
<
/p>
b
3
∵
{
b
n
}
2
即
为等差数列∴
18
5
52
4
2<
/p>
8
解得
0
∴
b
n
a
n
5
9
b
b
< br>1
2
2
∴
b
2
b
1
2
，
2
，
2
n
且
{
b
n
}
即数列
是公差为
d
2<
/p>
，首项为
b
1
5
2
的等差数列
（
3
）由（
2
）
得
b
n
5<
/p>
4
n
1
(
n
1
)
2
2
2
（
n
N
）
1
4<
/p>
1
1
b
b
(
4
n
1
)(
4
n
< br>
5
)
4
n
1
4
n
5
∴
n
n
1
∴
T
n
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
(
)
(
)
(
)
b
b
b
b
b
b
< br>1
2
2
3
n
n
1
5
9
9
13
4<
/p>
n
1
4
n
5
=
=
1
1
1
=
5
4
n
5
5
T<
/p>
n
1
5
∴