数列分组求和法
顶级房车-
分组求和法
典题导入
[
例
1]
<
/p>
(2011·
山东高考
)
等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
，
a
2
，
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某
一个数，且
a
1
，
a
2
，
a
3
中的任何两个数不在下表的同一列
.
第一行
第二行
第三行
(
1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
< br>n
ln
a
n
< br>，求数列
{
b
n
}
的前
2
n
< br>项和
S
2
n
.
[
自主解答
]
(1)
当
a
1
＝
3
时，不合题意；
< br>
当
a
1
＝
2
时，当且仅当
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18
时，符合题意；
当
a
1
＝
10
时，不合题意．<
/p>
因此
a
1
＝
2
，
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18.
所以公比
q
＝
3
，故
a
n
＝
2·
3
n
1
.
－
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
< br>(2)
因为
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
ln
a
n
＝
2·
3
n
1
＋
(
－
1)
n
ln(2·
3
n
1
)
＝
2·
3
n
1
＋
(<
/p>
－
1)
n
(ln
2
－
ln
3
)
＋
(
－
－<
/p>
－
－
1)
n
n
ln 3
，
<
/p>
所以
S
2
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
2
n
< br>＝
2(1
＋
3
< br>＋
…
＋
3
2
n
1
)
＋
[
－
1
＋
1
－
1
＋
…
＋
(
－
1)
2
n
]
(ln
2
－
ln
3)
－
1
－
3
2
n
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
…
＋
(
－
1)
2
n
]
ln
3
＝
2
×
＋<
/p>
n
ln 3
＝
3
2
n
＋
n
ln 3
－
1.
1
－
3
2
n<
/p>
由题悟法
分组转化法求和的常见类型
(1)<
/p>
若
a
n
＝
b
n
±
c
n
，
且
{
b
n
}
，
{
c
n
}
为等差或等比数列，
可采用分组求和法求
{
a
n
}
的前
n
项和．
b
n
，
n
为奇数，
(2)
通项公式为
a
n
＝
的数列，其中数列
{
b
n
}
，
{
c
n
}
是等比数列或等差数
c
n
，
n
为偶数
列，可采用分组求和法求和．
以题试法
1
．
(2013·
威海模拟
)
已知数列
{
x
n
}
的首项
x
1
＝
3
，
通项
x
n
＝
2
n
p
＋
nq
< br>(
n
∈
N
*
，
p
，
q
为常数
)
，
且
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列．求：
(1)
p
，
q
的值；
(2)
数列
{
< br>x
n
}
前
n
项和
S
n
的公式．
解：
(1)
由
x
1
＝
3
，得
2
p
＋
q
＝
3
，
又因为
x
4
＝
2
4
p
＋
4<
/p>
q
，
x
5
＝
2
5
p
＋
5
q
，且
x
1
＋
< br>x
5
＝
2
x
4
，得
3
＋
2
5
p
＋<
/p>
5
q
＝
2
5
p
＋
8
q
，
解得
p
＝
1
，
< br>q
＝
1.
n
< br>
n
＋
1
＋
(2)
由
(1)
，知
x
n
＝
2
n
＋
n
，所以
S
n
＝
(2
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
)
＋
(1
＋
2
＋
…
＋
n
)
＝
2
n
1
－
2
＋
.
2
1
1
1
1
2
.
数列
1
，
3
，
5
，
7
，…的前
n
项和
S
n
为
(
)
．
2
4
8
16
A
．
n
2
＋
1
－
2
1
2
n
－
1
1
B
．
n
2
＋
2
－
n
2
D
．
n
＋
2
－
2
1
C
．
n
＋
1
－
n<
/p>
2
1
2
n
－
1
1
解析
由题
意知已知数列的通项为
a
n
＝
2
n
－
1
＋
n
，
< br>2
则
S
n
＝
n
1
＋
2
n
－
1
2
1
1
1
－
n
2
2
< br>
1
＋
＝
n
2
＋
1
－
n
.
1
2<
/p>
1
－
2
答案
C
3.
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，且
a
3
＝
5
，
S
15
＝
225.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
＋
2
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解析：
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公差为
d
，
a
＋
2
d
＝
5
，
由题意，得
15×14<
/p>
15
a
＋
d
＝
225
，
2
1
1
a
1
＝
1
，
解得
d
＝
2
，
∴
a
n
＝
2
n
－
1.
1
(2)
∵
b
n
＝
2
a
n
＋
2
n
＝
·4
n
＋
2
n
，
2
∴
T
n
＝
b
1
＋
b
2
< br>＋…＋
b
n
< br>1
＝
(4
＋
4
2
＋…＋
4
n
)
＋
2(1
＋
2
＋…＋
n
)
2
4
＝
n
＋
1
－
4
2
2
＋
n
2
＋
n
＝
·4
n
＋
n
2
＋
n
－
.
6
3
3
< br>4.
设
{
a
n
}
是公比为正数的等比数列，
a
1
＝
2
，
a
3
＝
a
2
＋
4.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2
)
设
{
b
n<
/p>
}
是首项为
1
，
公差为
2
的等差数列，求数列
{
a
n
＋
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解析
(1)
设
q
为等比数列
{
a
n
}
的公比，
< br>则由
a
1
＝
2
，
a
3
＝
a
2
＋
4<
/p>
得
2
q
2
＝
2
q
＋
4
，
即
q
2
－
q
－
2
＝
0
，解得
q
＝
2
或
q
＝－
1(
舍去
)
，因此
q
＝
2.
所以
{
a
n
}
的通项为
a
< br>n
＝2·2
n
－
1
＝
2
n
(
n
∈
N
*
)
1
－
2
n
n
n
－
1
(2)
S
n
＝
＋
n
×1＋
×2＝
2
n
＋
1
＋
n
2
－
2.
1
－
2
2
1
1
1
1
1
1
< br>1
＋
＋
1
＋
＋
＋…＋
1
＋
2
＋
4
＋…＋
n
－
1
.
5.
求和
S<
/p>
n
＝
1
＋
2
2
2
4
2
解
和式中第
k
< br>项为
1
1
1
a
k
＝
1
＋
＋
＋
…<
/p>
＋
k
－
1
＝
2
4
2
1
k
1
－
2
1
1
－
2
1
1
－
k<
/p>
.
＝
2
2
1
－
1
＋
1
< br>－
1
2
＋
…
＋
1
－
1
n
∴
S
n
＝
2
2
< br>
2
2
1
1
1
＝
2[(1
＋
1
＋
…
＋<
/p>
1
－
(
＋
2
＋…＋
n
)]
2
2
2
n
个
1
1
1
－
n
2
2
1
＝
2
n
－
＝
n
－<
/p>
1
＋
2
n
－
2.
1
2
1
－
2
6.
数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
a
n
＋
2
－
a
n
＝
1
＋
(
－
1)
n
(
n
∈
N
< br>*
)
，
则
S
100
＝
________.
答案
2 600
解析
由
a<
/p>
n
＋
2
－
a
n
＝
1
＋
(
－
1)
n
知
a
2
< br>k
＋
2
－
a
2
k
＝
2
，
a
2
k
＋
1
－
a
2
k
－
1
＝
0
，
< br>∴
a
1
＝
a
3
＝
a
5
＝
…
＝
a
2
n
－
1
＝
1
，数列
{
a
2
k
}
是等差数列，
a
2
k
＝
2
k
.
∴
S
100
＝
(
a
1
＋
a
3
＋
a
< br>5
＋
…
＋
a
99
)
＋
(
a
2
＋
a<
/p>
4
＋
a
6
＋
…
＋
a
100
)
100
＋
2
×
50
＝
50
＋
(2
＋
4
＋
6
＋
…
＋
100)
＝
50
＋
＝
2 600.
2
n<
/p>
·
2
n
＋
1
3
9
25
65
7.
求和：
(1)
S
n
＝
2
＋
4
＋
8
＋
16
＋…＋
2
n
；
1
1
1
x
＋
2
＋
x
2
＋
2
2
＋…＋
x
n
＋
n
<
/p>
2
.
(2)
S
n
＝
x
x
x
n
n
·
2
< br>＋
1
1
解
(1)
由于
a
n
＝
＝
n
＋
n
，
n<
/p>
2
2
1
1
1
1
1
＋
1
＋
2
＋
2
＋
3
＋
3
＋
…
＋<
/p>
n
＋
n
∴
S
n
＝
2
2
2
2
1
1<
/p>
1
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
＝
(1
＋
2
< br>＋
3
＋
…
＋
n
)
＋
2
2
2
2
1
1
1
－
n
n
n
< br>＋
1
2
2
n
n
＋
1
1
＝
＋
＝
－
n
＋
1.
2
1
2
2
1
－
2
(2)
当
x
＝
±
< br>1
时，
S
n
＝
4
n
.
当
x
≠
±
1<
/p>
时，
1
1
1
x
＋
2
＋
x
2
＋
2
< br>2
＋
…
＋
x
n
＋
n
2
S
n
＝
x
x
x
< br>1
1
1
x
2
＋
2
＋
2
＋
x
4
＋
2
＋
4
＋
…
＋
x
2
< br>n
＋
2
＋
2
n
＝
x
x
x