高三数学 数列求和的基本方法和技巧总复习教案
体质健康测试-
高三数学总复习数列求和的基本方法和技巧
数
列是高中代数的重要内容，
又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占
有重要的地位
.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列的求和都需要一定的技巧
.
下面，
就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数
列求和的基本方法和技
巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数
列求和公式：
S
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
< br>(
q
1
)
1
q
1
q
n
1
1
2
3
、
S
n
k
< br>
n
(
n
1
)
4
、
S
n
<
/p>
k
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
2
< br>6
k
1
k
1
n
5
、
S
n
1
3
k
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
1
2
3
n
，求
x
x
x
x
的前
n
项和
.
log
2
3
1
1
log
3
x
log
3
2
x
log
2
3
2
n
[
例
1]
已知
log
3
x
解：由
log
3
x
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3
x
< br>n
（利用常用公式）
1
1
(
1
n
)
x
(
1
x
)
2<
/p>
2
＝
1
－
1
＝
＝
1
2
n
1
x
1
2
n
[
例
2]
<
/p>
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n，
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)<
/p>
解：由等差数列求和公式得
S
n
S
n
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1
1
1
n
(
n
1
)
，
S
n
<
/p>
(
n
1
)(
n
2
)
（利用常用公
2<
/p>
2
式）
∴
f
(
n
)
n
S
n
＝
2
(
n
< br>32
)
S
n
1
n
34
n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
50
1
50
∴
当
n
1
8
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列
的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
求
和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>(
2
n
1
)
x
n
1
………………………①
解：由题可知，
{
(
2<
/p>
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
通项之积
设
n
1
}
的
xS
n
1
x
3
< br>x
2
5
x
3
7
x
4
(
2
n
1
)
x
n
……………………….
②
（设制错位）
①
－
②
得
(
1
x
)<
/p>
S
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2<
/p>
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
2
(
1
x
)
[
例
4]
求数列
,
2
4
6
2
n
,
,
,
,
前
n<
/p>
项的和
.
n
2
2
2
2
3
2
2
n
1
解：由题可知，
{
n
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等
比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
<
/p>
2
3
n
…………………………………①
2
2
2
< br>2
1
2
4
6
2
n
S
n
2
3
4
n
1
………………………………②
< br>
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1
< br>)
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
<
/p>
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是
将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再把
它与原数列相加，就可以得到
n
个
(<
/p>
a
1
a
n
)
.
0
1
2
n
[
例
5]
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2<
/p>
n
1
)
C
n
(
n
1
)
2
n
0
1
2
n
证明：
设
S
n
C
n
…………………………..
①
3
C<
/p>
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
又由
C
n
可得
C
n
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
…………..……..
②
(
2
n
1
)
C
n
< br>3
C
n
C
n
0
1
n
1
n
①
+
②得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
2
(<
/p>
n
1
)
2
n
（反序相
加）
∴
S
n
(
n
1
)
2
n
[
例
6]
<
/p>
求
sin
2
1<
/p>
sin
2<
/p>
2
sin<
/p>
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
89<
/p>
sin
88
sin
3
sin
2
sin
1
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
…………..
②
（反序）
又因为
sin
x
cos(
90
< br>
x
),
sin
x
cos
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
2
2
S
(sin
2
1
cos
2
1
)
(
sin
2
2
cos
2
2
)
<
/p>
(sin
2
89
co
s
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，
也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，
可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可<
/p>
.
[
例
7]
<
/p>
求数列的前
n
项和：
1
1
,
1
1
1
4<
/p>
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，…
a
a
a
解：设
S
n
(
1
1
)
(
1
1
1
4
)
(
2
7
)
< br>
(
n
1
3
n
2
)
a
a
a
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
< br>(
1
（分组）
1
1
1
2
n
<
/p>
1
)
(
1
4
7
3
n
2
)
a
a
a
< br>(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
n
＝
（分组求和）
< br>2
2
1
1
n
(
3
n
1
)
n
a
a
1
n
(
3
n
1
)
< br>n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
<
/p>
1
a
1
2
2
1
a
当
a
＝
1
时，
S
< br>n
n
[
例
8]
求数列
{n(n+1)(2n+1)}
的前
n
项和
.
解：设
a
k
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
2
k
3
3
k
2
k
∴
S
n
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
＝
(
2
k
k
1
k
1
n
n
3
3
k
2
<
/p>
k
)
将其每一项拆开再重新组合得
n
S
n
＝
2
k
3
k
k
3
2
k
1
k
1
k
1
n
n
（分组）
＝
2
< br>(
1
2
n
)
3
(
1
2
n
)
< br>(
1
2
n
)
3
3
3
2
< br>2
2
n
2
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
n
(
n
1
)
＝
（分组求和）
2
2
2
n
(
n
1
)
2<
/p>
(
n
2
)
＝
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）
分解，
然后重新组合，
使之能消去一些项，
最终达
到求和的目的
.
通项分解
（裂项）<
/p>
如：
sin
1
（
1
）
a
n
f
(
n
1
)
< br>f
(
n
)
（
2
）
tan(
n
<
/p>
1
)
tan<
/p>
n
cos<
/p>
n
cos(
n
1
)
1
1
1
(
2
n
)
2
1
1
1
（
< br>3
）
a
n
（
4
）
a
n
1
(
)
n
(
n
1
)
n
n
1
< br>(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2<
/p>
n
1
2
n
1
（
5
）
a
n
1
1
1
1
[
]
n
(
n<
/p>
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
< br>
1
)(
n
2
)