等差等比数列以及数列求和专题
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§
6.2
等差数列
一．课程目标
1.
理解等差数列的概念；
2.
掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式；
3.
能在具
体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问
题；
4.
了解等差数列与一次函数的关系
.
二．知识梳理
1.
定义
如果一
个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一
项的差等于同一个常数，
那么这个数列就
叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示
.
数学语言表达式：
a
n<
/p>
＋
1
－
a
n
＝
d
(
n
∈
N
*
，
d
为常数
)
，或
a
n
－
< br>a
n
－
1
＝
d
(
n
≥
2
，
d
为常数
).
2.
通项公式
若等差数列
{
a
n
}
的首项是
a
1
，公差是
d
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
.
3.
前
n<
/p>
项和公式
等差数列的前
n
项和公式：
S
n
na
1
< br>d
为公差，
a
n
为第
n
项
).
3.
等差数列的常用性质
已知数列
{
a
n<
/p>
}
是等差数列，
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和
.
(1)
通项公式的推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
(
n
,
m
<
/p>
N
*)
(2)
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
(
m
，
n
，
p
，
q
< br>∈
N
*
)
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
。特别
的，当
m
n
2
p
时，
a
m
a
n
2
a
p
(3)
等
差数列
{
a
n
}
的单调性：
当
d
＞
0
时，
{
a
n
}
是递增数列；
当
d
＜
0
时，
{
a
n
}
是递减数列；
当
d
＝
0
时，
{
< br>a
n
}
是常数列
.
(4)
若
{
a
n
}
是等差
数列，公差为
d
，则
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，<
/p>
…(
k
，
m
∈
N
*
)
是公差为
md
的等
差数
列
.
(5)
若
{
a
n
},
{<
/p>
b
n
}
是等差数
列，则
{
pa
n
qb
n
}
仍是等差数列
.
4.
与等差数列各项和相关的性质
1
/
18
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
其中
n
∈
N
*
，
a
1
为首项，
d
2
2
（
1
< br>）若
{
a
n
}
是等差数列，
则
{
公差的
S
n
其首项与
{
a
n
}
的首项相同，
公差为
{
a
n
}
的
}
也是等差数列，
n
1
。
2
（
2
）数列
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m
S
2
m
…
也是等差数列
.
（
3
）关于非零
等差数列奇数项与偶数项的性质。
a
.
若项数为
2
n
，则
S
偶
S
奇
nd
,
S
奇
a
n
。
S
偶
a
n
1
S
奇
n
。
S
偶
n
<
/p>
1
b
.
若项数为
2
n
1
，则
S
偶
n
(
n
1
)
a
n
，
S
奇
na
n
，
S
偶
S
奇
a
n
,
（
4
）若两个等
差数列
{
a
n
},
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
T
n
，则
5.
等差数列的前
n
项和公式与函数的关系：
（
1
）
S
a
n
S
2
n
1
b
n
T
2
n
1
< br>d
2
d
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数
).
n
(
a
1
)
n
，数列
{
a
n
}
是等差数列
⇔
2
2
（
2
）在等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
＞
0
，
d
＜
0
，则
S
n
存在最大
值；若
a
1
＜
0
，
d
＞
0<
/p>
，则
S
n
存在最
小
值
.
三．考点梳理
1.
等差数列的概念及运算
例
1.(2016·
全国Ⅰ卷
< br>)
已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
＝
8
，则
a
100
＝
(
)
A.100
例
2.
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
3
＝
6
，
S
4
＝
12
，则
S
6
＝
________.
练习
1.(2015·
全国Ⅰ卷
)
已知
{
a
n
}
是公差为
1
的等差数列，
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
S
8
＝
4
S
4
，
< br>则
a
10
等于
< br>(
)
17
A.
2
2
/
18
19
B.
2
C.10
D.12
B.99
C.98
D.97
2.
等差数列的性质
例
1.(2015·
全国Ⅱ卷
)
设
S
n
是等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝<
/p>
3
，则
S
5
＝
(
)
A.5
B.7
C.9
D.11
例
2.
设等差数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，若
S
3
＝
9
，
S
6
＝
36
，则
a
7
＋
a
8
＋<
/p>
a
9
等于
(
)
A.63
例
3.
若一个等差数列前
< br>3
项的和为
34
，最后
3
项的和为
146
，且
所有项的和为
390
，则这个
数列的项
数为
(
)
A.13
B.12
C.11
D.10
B.45
C.36
D.27
例
4.(2015·
广东卷
)
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
25
，则
a
2
＋
a
8
＝
________.
例
5.(
2016·
武汉调研
)
已知数列
{
a
n
}
是等差数列，
a
1
＋
a
7
＝－
8
，
a
2
＝
2
，则数列
{
a
n
}
的公差
d
等于
(
)
A.
－
1
B.
－
2
S
n
2
n
－
3
例
6.
设等差数列
{
a
n<
/p>
}
，
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，若对任意自然数
n
都有
＝
，则
T
n
4
n
－
3
a
9
a<
/p>
3
＋
的值为
__
______.
b
5
＋
b
7
b
8
< br>＋
b
4
3.
等差数列与函数
例
1.
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
13
，
S
3
＝
S
11
，当
S
n
最大时，
n
的值是
(
)
A.5
a
6
9
例
2.
设等差数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
>0
且
＝
，则当
S
n
取最大值
时，
n
的值为
(
)
a
5
11
A.9
B.10
C.11
D.12
B.6
C.7
D.8
C.
－
3
D.
－
4
例
3.
已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
1
＋
a
2<
/p>
＋
a
3
＋
…
＋
a
101
＝
0
，则有
(
)
3
/
18
A.
a
1
＋
a
1
01
＞
0
B.
a<
/p>
2
＋
a
100<
/p>
＜
0
C.
a<
/p>
3
＋
a
99
＝
0
D.
a
51
＝
51
例
4.
已知
正项等差数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
< br>12
＝
24
，则
a
6
·
a
7
的最大值为
(
)
A.36
例
5.
设
{
S
n
}
是公差为
d
（
d
0
）
的无穷等差数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和，
则下列命题错误的是
（
）
A.
若<
/p>
d<0
，则数列
{
S
n
}
有最大项
B.
若数列
{
< br>S
n
}
有最大项，则
d<0
C.
若数列
{<
/p>
S
n
}
为递增数
列，则对任意
n
N
< br>*
，均有
S
n
< br>>0
D.
若对任意
n
N
*
，均有
S
n
>0
，则数列
{
S
n
}
为递增数列
例
6.
设等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
＝
7
，
a
4
＝
3
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
则使得
S
n
>0
成立的最大
的自然数
n
是
(
)
A
．
9
B
．
10
C
．
11
D
．
12
方法总结：求等差数列前
n
项和的最值，常用的方法：
(1)
利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
(2)
利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)
将等差数列的前
n
项和
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数
)
看作二次函数，根据二次函数
的性质
求最值
.
B.6
C.4
D.2
§
6.3
等比数列
4
/
18
一．课程目标
1.
< br>理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前
n
项
和公式；
2.
能在具体的问题情境中
识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.
了解等比数列与指数函数的关系
.
二．知识梳理
1.
等比数列的概念
(1)
如果一个数列从第
2
项
起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
(
< br>q
≠0)
表示
.
a
n
＋
1
< br>a
n
数学语言表达式：
＝
q
(
n
≥2
，
q
为非零常数
)
，或
＝
q
(
n
∈
N
*
，
q
为非零常数
). <
/p>
a
a
n
－
1
n
(2)
如果三个
数
a
，
G
，<
/p>
b
成等比数列，那么
G
< br>叫做
a
与
b
的等比中项，其中
G
＝
±
ab
.
2.
等比数列的通项公式及前
n
项和公式
(1)
若等比数列
{
a
n
}
的首
项为
a
1
，公比是
q
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
q
n
1
；
< br>通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
q
n
m
.
a
1
（
1
－
q
< br>n
）
a
1
－
a
n
q
(
2)
等比数列的前
n
项和公式：当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
3.
等比数列的性质
已知
{
a
n
}
是
等比数列，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和
.
< br>(1)
若
k
＋
< br>l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈
N
*
)
，则有
a
k
·
a
l
＝
a
m
·
a
n
< br>.
(2)
数列
{
c
a
n
< br>}(
c
0
),
{
a
n
},
{
a
n
b
n
}
（<
/p>
{
b
n
}
是等比数列），
{
a
n
}
，
{
2<
/p>
－
－
1
}
等也是等比数列。
a
n
(3)
相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，
…
仍是等比数列，公比
为
q
m
.
(4)
当
q
≠
－
1
，或
q
＝－
1
且
n
为奇数时，
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
< br>n
－
S
2
n
仍成等比数列，其公比为
q
n
.
(5)
等比数列
{
a
n
}
的
单调性：
当
q
＞
1
，
a
1
＞
0
或
0
＜
q
＜
1
，
a
1
＜
0
时，数列
{
a
n
}
是递增数列；
当
q
＞
1
，
a
1
＜
0
或
0
＜
q
＜
1
< br>，
a
1
＞
0
时，数列
{
a
n
}
是递减数列；
当
q
＝
1
< br>时，数列
{
a
n
}
是常数列
.
(6)
当
n
是偶数时，
S<
/p>
偶
S
奇
q
;
当
n
为奇数时，
S
奇
a
1
S
偶
q
三．考点梳理
1.
等比数列的概念及运算
5
/
18
例
1.
在单调递减的等比数列
{
a
n
}
中，若
a
3
1
，
a
2
a
4
A.2
B.4
C.
2
5
，则
a
1<
/p>
＝
(
)
2
D.2
2
例
2.
公比不为
1
的等比数列
{
a
n
}
满足
a
5
< br>a
6
a
4
a
7
1
8
，若
a
1
a
m
9
，则<
/p>
m
的值为
(
)
A.8
B.9
C.10
D.11
例
3.(
2015·
全国Ⅰ卷
)
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
，
S
n<
/p>
为
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
S
n
＝
126
，则
n
＝
________.
2.
等比数列的性质
例
1.(2016·
全国Ⅰ卷
)
设等比数列满足
a
1
＋
a
3
＝
10
，
a
2
＋
a
4
＝
5
，则
a
1
a<
/p>
2
…
a
n
的最大值为
________.
S
6
S
9
例
2.
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
＝
3
，则
＝
(
)
S
3
S<
/p>
6
A.2
例
3.(2015·
全国Ⅱ卷
)
已知等比数列
{<
/p>
a
n
}
满足
a
1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
< br>5
＝
21
，则
< br>a
3
＋
a
5
＋
a
7
＝
(
)
A.21
例
4.
设各项都是正数的等比数列
{
a
n
}
，
S
n
为前
n
项和，
且
S
10
＝
10
，
S
30
＝
70
，
那么
S
40
等于
(
)
A.150
C.150
或－
200
B.
－
200
D.400
或－
50
B.42
C.63
D.84
7
B.
3
8
C.
3
D.3
例
5.
在正
项等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
< br>a
2
a
3
＝
4
，
a
4
a
5
a
6
＝
12
，
a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
＝
324
，则
n
等于
(
)
A.12
6
/
18
B.13
C.14
D.15
2
2
2
例
6.
数列
{
a
n
}
中，已知对任意
n
∈
< br>N
*
，
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
＝
3
n
－
1
，则
a
2
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
等
于<
/p>
(
)
1
A.(3
n
－<
/p>
1)
2
B.
(9
n
－
1)
C.9
n
－
1
2
1
D.<
/p>
(3
n
－
1)
4
例
7.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
1
，则其
前
3
项的和
S
3
的取值范围是
________.
例
8.<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
log
3
a
n
＋
1<
/p>
＝
log
3
a<
/p>
n
＋
1
(
n
∈
N
*
)
，
且
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
9
，
则
log
1
(
a
5
<
/p>
a
7
a
9
)
3
的值是
(
)
1
1
A
．－
5
B
．－
C
．
5
D
．
5
5
2
例
9.
在各项均
为正数的等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
2
1
,
a
5
2
1
，则
a
3
2
a
2
a
6
a
3
a
7
=
（
）
A.8
B
．
6
C
．
4
5
例
10.
若等比数列
{
a
n
}
的前
n
项均为正数，且
a
10
a
11
a
9
a
12
2
< br>e
，则
D
．
8
4
2
ln
a
1
ln
a
2
< br>ln
a
20
< br>_________.
§
6.3
数列求和
一．课程目标：
1.
熟练掌握等差、等比数列的前
n
项和公式；
7
/
18
2.
掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法
.
二．知识梳理
1.
求数列的前
n
项
和的方法
(1)
公式法
①等差数列的前
n
项和公式
n
（
a
1
＋
a
n
）
n
（
n
－
1
）
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
.
2
2
②等比
数列的前
n
项和公式
(
ⅰ
)
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
a
1<
/p>
（
1
－
q
n
）
a
1
－
a
n
q
(
ⅱ
)
当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
(2)
分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解
< br>.
(3)
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项
.
(4)
倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
< br>.
(5)
错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，
即等比数列求和
公式的推导过程的推广
.
2.
常见的裂项公式
(1)
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1<
/p>
1
1
1
1
＝
(
)
(
2
n
1
)(
2
< br>n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
1
n
n
1
n
1
n
< br>
(2)
(3)
三．
考点梳理
1.
求数列的通项公式。
a
1
1
,
a
n
1
1
例
1.
已知数列
{a
< br>n
}
满足
1
2
b
n
{
b
}
4
a<
/p>
n
，
2
a
n
1
，
其中
n
∈
N
*
．
设
求证：
数列
n
8
/
18
是等差数列，并求出
{
a
n
}
的通项公式
；
3
a
n<
/p>
1
3
4
a
n
1
，
n
∈
N
+
．求证：数列
{
a
n
﹣
2}
是等比数列，
例
2.
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=
7
，
a
n+1
=
并且求出数列
{a
n
}
的通项公式；
例
3.
已知
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1<
/p>
3
1
S
n
S
n
1
a
n
1
4
，
2
（
n
∈
N
*
且<
/p>
n≥2
），数列
{
b
n
}
满足：
b
1
{
a
n
}
37<
/p>
4
，且
3
b
n
b
n
1
n
1
（
n
< br>∈
N
*
且
n≥2
）．
的通项公式；
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）求证：数列
例
4.
在数列
{<
/p>
b
n
a
n
}
为等比数列；
{
a
n
}
{
a
a
n
}
中，已知
a
1
1
,
a
2
3
,
a
n
2
2
a
n
1
2<
/p>
a
n
．证明数列
n
1
是等比数
的通项公式；
列，并求数列
{
a
n
}
2
n
1
a
n
n
a
n
< br>
1
2
1
n
b
n
(
n
)
a
2
n
{
a
}
a
n
，
求数列
{
b
n
}
的
< br>2
例
5.
数列
< br>n
满足
a
1
2
，
（
n
N
*
）<
/p>
。
设
通项公式。
9
/
18