色瑟-

2021年2月8日发(作者：城市之夜)

百度文库

-

让每个人 平等地提升自我

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、

总

论： 数列求和

7

种方法：

利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和

反序相加法求和

分组相加法求和

裂项消去法求和

二、

等

差数 列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减

法，

三、

逆

序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法

1

等差数列求和公式

:

a

1

a

n

）

na

3d

、

S

n

n

（

1

na

1

(q 1)

2

等比数列求和公式

:

S

n

印

(

1

a

.

q

、

1

(q

1

)

n

3

S

n

1< /p>

4

、

S

n

k

2

」

n(n 1)(2 n 1)

、

)

k 1

6

n

5

S

n

k

3

1)

、

k 1

］

2

1

x

2

［

例

1

］

已知

x

，求

x

x

3

的前

n

项和

.

解：由等比数列求和公式得

S

n

2

x

3

x

n

（利用常用公

式）

J

x(1 x

n

)

2(1

2L

=

1

_

丄

1 x

1

1

2

n

2

［

例

2

］

设

S

n

=

1+2+3+

…

+n

,

n

€

N

*< /p>

,

求

f(n)

S

n

(n 32)S

n 1

的最大值

.

11

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让每个人平等地提升自我

解：由等差数列求和公式得

1

S

n

2

，

n(n 1)

S

n

1

-(n 1)( n 2)

2

（利用常用公

式）

…

f(n)

(n 32)S

n 1

S

n

~2

n

n 34n 64

1

“

n 34

64

1

I,

50

50

•••当

n -

8

，即

8

时，

f

（

n

）

max

•一

n

50

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前

n

项和公式时所用的方法

,

项和，其中

｛

a

n

｝

、

｛

b

n

｝

分别是等差数列和等比

数列

2

3

［

例

3

］

求和：

S

n

1 3x 5x 7x

这种方法主要用于求数列

｛

a

n

•

b

n

｝

的前< /p>

n

(2n

1)x

n 1

｛

2n

—

1

｝

的通项与等比数列

｛

x

n

解：由题可知

,

｛

（

2n 1

）

x

n 1

｝

的通项是等差数

列

设

xS

n

｝

的通项之积

（设制错位）

1x 3x

2

5x

3

7x

4

(2n

2x

3

1)x

2x

4

c 1 X

2x

2x

n 1

n 1

n

①一②得

(1 x)S

n

1 2x 2x

2

(2n

1)x

n

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

（

n 1

X

)

S

n

1 x

/c

(2n

1)x

n

1

S

(2n 1)x

S

n

n

1)x

(1 x)

(2n

(1 x)

2

< p>
［

例

4

］

求数列

2

,-

6

贵前

n< /p>

项的和

.

I

｝

的通项之积

｝

的通项是等差数列

｛

2n

｝

的通项与等比数列

｛

n

n

2 2

2 ' '

解：由题可知

,

设

S

n

2

4

_6_

2

2

3

2

2

2

4

6

2

戸

4

2

2

2

1)S

n

2

.

...................

2n

、

2

“

1

2

2

2

1

2 2

2

3

2

4

2n

2 2n

2

*

2

*1

（设制错位）

（错位相

减）

①一②得

2

（

1

2

S

n

盯

尹

n 2

yr

22

< /p>

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练习题

1

已知

答案

:

练习题

33

，求 数列｛

n

项和为

a

n

｝的前

n

项和

S.

的前

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答案

:

三、逆序相加法求和

这是推导等差数列的前

< p>
n

项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）

< p>

数列相加，就可以得到

n

< p>
个

（

a

.

a

n

)

.

0 12

［

例

5

］

求证：

C

n

3C

n

5C

n

(2n 1)C

：

(n 1)2

n

证明：设

S

n

C

0

3C

1

5C

；

(2n

i

)

c

n

把①式右边倒转过来得

S

n

(2n

1)C

：

(2n

1)C

：

1

3c

n

C

0

又由

c

nm

C

：

m

可

得

S

n

(2n

1)C

0

(2n

i

)

c

n

3C

；

C

1

：

①

+

②得

2S

n

(2n

2)(C

°

C

：

C

n 1 n

C

n

n

)

2(n

1) 2

n

S

n

(n

1) 2

n

44

< /p>

，再把它与原

（反

序）

< br>

（反序相

加）

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题

1

已知函数

（

1

）证明

:

（

2

）求

55

.

的值

< /p>

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解：（

1

56

=< /p>

右边

）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边

< p>

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(2

)

利用 第

(

1

)

小题已经证明的结论可知

,

两式相加得

:

66

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