数列求和7种方法(方法全,例子多)
环保的作文-
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型
总结）
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和
7
种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、等差数列求
和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，
又是学
习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地
位
.
数列求和是数列的重要内容之一
，
除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列的求和都
需
要一定的技巧
.
下面，就几个历届
高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
页脚内容
1
<
/p>
高中数学复习系列
---
数列（常见、常
考题型总结）
(
q
< br>
1
)
na
1
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
n
< br>)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
n
1
1
< br>2
3
、
S
n
k
n
(
n
1
)
4
、
S
n
k
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
n
k
1
2<
/p>
k
1
6
n
5
、
S
n
k
3
[
1
k
1
2
n
(
n
<
/p>
1
)]
2
[
例
1]
<
/p>
已知
log
1
3
x
log
，求
x
x<
/p>
2
x
3
x
n
的前
< br>n
项和
.
2
3
解：由
log
3
x
1
log
log
x
log
2
x
1
3
3
2
3
2
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3
< br>
x
n
1
＝
x
(
1
x
n
)
(
1
1
< br>＝
2
2
n
)
1
x
＝
1
－
1
1
1
2
n
2
[
例
2]
<
/p>
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)
S
n
(
n
32
)
S
的最大值
.
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
n
1
2
n
(
n
1
)
，
S
1
n
2
(
n
1<
/p>
)(
n
2
)
∴
f
(
n
)
S
n
(
n
32
)
S
＝
n
2
n
1
n
34
n
64
页脚内容
2
（利用常用公式）
（利用常用公式）
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
< br>50
1
50
∴
当
n
8
1
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
题
1.
等比数列
的前ｎ项和
S
ｎ<
/p>
＝
2
ｎ
－１，则
＝
题
2
．若<
/p>
1
2
+2
2
+
…
+(
n
-1)
2
=
an
3
+
bn
2
+
cn
，则
a
=
,
b
=
,
c
=
页脚内容
3
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
.
解
：
原
式
=
答
案
：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的
方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}<
/p>
的
前
n
项和，其
中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
求
和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
①
页脚内容
4
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总
结）
解：由题可知，
{
(
2
n
< br>1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等
比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
设
xS
n
1
x
3
x
2
5
x
3
7
x
4
(
< br>2
n
1
)
x
n
……………………….
②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
[
例
4]
求数列
,
2
4
6
2
n
,
,
,
,
前
n<
/p>
项的和
.
2<
/p>
2
2
2
3
2
n
2
n
1
}
的通项是等差数列
{
2n}
的通项与等比数列
{
}
的通项之积
2
n
2
n
解：由题可知，
{
设
S
n
2
4
6
2
n
2
3
n
………………………
…………
①
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
S
n
2
3
4
< br>
n
1
………………………………
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2<
/p>
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
< br>
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
1
2
n
2
n
< br>
1
∴
S
n
4
n
2
2
n
1
页脚内容
5
高中数学复习系列
-
--
数列（常见、常考题型总结）
练习题
1
答案：
页脚内容
6
a
n
｝的前
n
项和
S
n
.
已知
，求数列｛
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
练习题
2
的前
n
项和为
__
__
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就
是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与
原数列相加，就可
以得到
n
个
(
a
1
a
n<
/p>
)
.
0
1
2
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1<
/p>
)
C
n
(
n
1
)
2
n
[
例
5]
<
/p>
求证：
C
n
页脚
内容
7
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
0
1
2
n
3
C
n
5
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
证明：
设
S
n
C
n
…………………………..
①
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
C<
/p>
n
又由
C
n
可得
0
1
n
1
n
(
2
n
< br>1
)
C
n
3
C
n
C
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
…………..……..
②
0
1
n
1
n
C
n
C
n
< br>
C
n
)
2
(
n
1
)
2
n
（反序相加）
①
+
②得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
∴
S
n
(
n
1
)
2
n
[
例
6]
<
/p>
求
sin
2
1<
/p>
sin
2<
/p>
2
sin<
/p>
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
2
89
<
/p>
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
………….
.
②
（反序）
又因为
sin
x
c
os(
90
x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
< br>2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
<
/p>
(sin
2
89
cos
2
89
)
＝
8
9
∴
S
＝
44.5
页脚内容
8
题
1
已知函数
（
1
）证
明：
高中数学复习系列
---
数列（常
见、常考题型总结）
；
页脚内容
9
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
（
2
）求
的值
.
解：（
1
）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边
=
右边
（
2
）利用第（
1
）小题已经证明的结
论可知，
页脚内容
10
两式相加得：
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
页脚内容
11
高中数学复习系列
---
数列（常见、常考题型总结）
所以
.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等
比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
[
例
7]
<
/p>
求数列的前
n
项和：
1
1
,
4
,
1
a<
/p>
1
1
7
,
,
3
n
2
，
…
a
2
a
n
1
页脚内容
12