高中数列求和方法大全
澳门回归的时间-
1
．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（
1
）等差数列的求和公式
：
S
n
n<
/p>
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
< br>
d
< br>2
2
na
1
(
q
1
)
n
（<
/p>
2
）等比数列的求和公式
S
n
a
< br>1
(
1
q
)
（切记：公比含字母时一定要讨论）
(
q
1
)
1<
/p>
q
3
．错位相
减法：比如
a
n
等差
,
b
n
等比
,
求
a
1
b<
/p>
1
a
2
b
2
a
n
b
n
的和
.
< br>4
．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常
见
拆
项
公
式
：
1
1
1
1
1
1
1
(
)<
/p>
；
n
(
n
1
)
n
n
1
n
(
n
< br>
2)
2
n
n
2
1
1
1
1
(<
/p>
)
n
n
!
(
n
1
)!
n
!
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
<
/p>
1
5
．分组求和法：把数列的每一项分成
若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6
．合并求和法：如求
100
2
99
2
98
2
97
2
2
2
1
2
的和。
7
．倒序相加法：
< br>8
．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1
．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2
．求和过程中注意分类讨论思想的
运用；
3
．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例
1
．求和：①
S
n
1
11
111
11
1
n
个
②
S
n
(
x
1
< br>2
1
1
)
(
x
2
2
)
2
(
x
n
n
)
2
x
x
x
③求数列
1
，
3+4
，
5+6+7
，
7+8+9+10
，…前
n
项
和
S
n
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①
a
k
11
1
1
10
10
10
<
/p>
k
个
2
k
1
k
(
10
1
)
9
1
1
S
< br>n
[(
10
< br>
1
)
(
10
2
1
)
<
/p>
(
10
n
1
)]
[(
10
10
2
10
n
)
n
]
9
9
1
10
(
10
n
1
)
10
< br>n
1
9
n
10
[
n
]<
/p>
9
9
81
②
S
n
(
x
2
1
1
1
< br>4
2
n
2
)
(
x
2
)
(
x
2
)
x
2
< br>x
4
x
2
n
(
x
2
x
4
x
2
n
)
(
1
1
1
< br>
)
2
n
x
2
x
4
x
2
n
x
2
(
x
2
n
1
)
x
< br>
2
(
x
2
n
1
)
(
x
2
n
1
)(
x
2
n
2
1
)
（
1
）当
x
< br>
1
时，
S
n
2
n
<
/p>
2
n
2
2
2
n
2
x
1
x
1
x
(
x
1
)
（
2
）当
x
1
时
,
S
n
4
n
③
a
k
(
< br>2
k
1
)
2
k
(
2
k
1
)
[(
2
k
1
)
(
k
1
)]
k
[(
2
k
1
)
(
3<
/p>
k
2
)]
5
2
3
k
k
2
2
2
S
n
< br>
a
1
a
2
a
n
5
2
3
5
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
3
n
(
n
1
)
(
1
<
/p>
2
2
n
2
)
(
1
2
n
)
2
2
2
6<
/p>
2
2
1
n
(
n
1
)(
5
n
2
)
< br>6
总结：运用等比数列前
n
项和
公式时，要注意公比
q
1
或
q
1
讨论。
2
．错位相减法求和
例
2
．已知数列
1
,
3
a
,
5
a
,
,
(
2
n
1
)
a
2<
/p>
n
1
(
a
0
)
，求前
n
项和。
0
2
n
1
思路分析：已知数列各项是等差数列
1
，
3
，
5
，…
2n-1
与等比数列
a
,
a
,
a
,
,
a
积，可用错位相减法求和。
解
：
对应项
S
n
1
3
a
5
a
2
(<
/p>
2
n
1
)
a
n
1
1
aS
n
a
3
a
2
5
a
< br>3
(
2
n
1
)
a
n
2
1
2
:
(
< br>1
a
)
S
n
当
1
2
a
2
a
2
2
a
3
2
a
< br>n
1
(
2
n
1
)
a
n
2
a
(
1
a
n
1
)
n
a
1
时
,
(
1
a
)
S
n
<
/p>
1
(
2
n
1
)
2
(
1
a
)
1
a
(
2
n
1
)<
/p>
a
n
(
2
n
1
)
a
n
1
S
n
2
(
1
a
)
2
当<
/p>
a
1
时
,
S
n
n
3.
裂项相消法求和
2
2
4
2
(
2
n
)
2
例
3
.
求和
S
n
1
3
3
5
(
2
< br>n
1
)(
2
n
1
)
思路分析
:
分式求和可用裂项相消法
求和
.
解
:
(
2
k
)
2
(
2
k
)
2
1
1
1
1
< br>1
1
a
k
1
1
(
)
(
2
k
1
)(
2
k
1
)
(
2
k
1
)(
2
k
1
)
(
2
k
1
)(
2
k
1
)
2
2
k
1
2
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2<
/p>
n
(
n
1
)
S
n
a
1
a
2
a
n
n
[(
1
)
(
)
(
)]
n
(
1
)
2
3
3
5
2
n
1
2
n<
/p>
1
2
2
n
1
2
n
1
n
(
n
1
)
(
a
1
)
1<
/p>
2
3
n
2
练习
:
求
S
n
2
3
< br>
n
答案
:
S
n
a
(
a
n
1
)
n
(
a
1
< br>)
a
a
a
a
(
a
1
)
n
2
a
(
a
1
)
4.
倒序相加法求和
0<
/p>
1
2
n
n
例
4
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
n
1
)
2
m
n
m
思路分析：由
C
n
C
n
可用倒序相加法求和。
0
1
2
n
证：令
S
n
C
n
3
C<
/p>
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
1
)
m
n
m
(<
/p>
2
)
C
n
C
n
n
n
1
2
1
0
则
S
n
< br>
(
2
n
1
)
C
n
(
2
n
1
)
C
n
5
C
n
< br>3
C
n
C
n
0
1
2
n
(
1
)
(
2
)
有
:
2
S
n
(
< br>2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
< br>
(
2
n
2
)
C
n
0
1
2
n
S
n
(
n
1
)[
C
n
C
n
C
n
C
n<
/p>
]
(
n
1
)
2
n
等式成立
5
．其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
n
例
5
．已知数列
a
n
,
a
n
2
[
n
<
/p>
(
1
)
],
求
S
n
。
n
思路分析：
a
n
2
n
2
(
1
)
< br>，通过分组，对
n
分奇偶讨论求和。
解：
a
n
2
n
2
(
1
)
，若
n
2
m
,
则
S
n
S
2
m
2
(
1
2
3
<
/p>
2
m
)
2
n
(
1
)
k
1
2
m
k
S
n
2
(<
/p>
1
2
3
2
m
)
(
2
m
1
)
2
m
n
(<
/p>
n
1
)
若
n
2
m
1
,
则
S
n
S
2
m
1
S
2<
/p>
m
a
2
m
(
2
m
1
)
2
m
2
[
2
m
(
1
)<
/p>
2
m
]
(
2
m
1
)
2
m
2
(
2
m
1
)
4<
/p>
m
2
2
m
2
(
n
1
)
2
(
n
1
)
2
<
/p>
n
2
n
2
(
n
为正偶数
)
n
(
n
1
)
< br>S
n
2
n
n
2
(
n
为正奇数
)<
/p>
2
n
预备
：已知
f
(
x
)
a
1
x
a
2
x
a
< br>n
x
,
且
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
n
成等差数列
，
n
为正偶数，
又
f
(
1
)
n
,
f<
/p>
(
1
)
n
，试比较
f
(
)
与
3
的大小。
2
1
2
(
a
1
a
n
)
n
2
n
f
(
1
)
a
1<
/p>
a
2
a
3
a
n
n
a
a
n
2
n
2
<
/p>
1
解：
n
d
2
f
(
1
< br>)
a
1
a
2
a
3
a
n
1
a
n
n
d
< br>
n
2
2
a
1
a
1
(
n
1
)
d
2
n
a
< br>1
1
a
n
2
n
1
d
2
f
(
x
)
x
3
x
< br>2
5
x
3
(
2
n
1
)
x
n
可求得
f
(
)
3
(
)
n
2
< br>
(
2
n
1
)(
)
n
，∵
n
为正偶数，
< br>
f
(
)
3
1
1
1
1
1
f
(
)
3
(
)
2
5
(
)
< br>3
(
2
n
1
)(
)
n
2<
/p>
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
巩固练习
1
．求下列数列的
前
n
项和
S
n
：
5
n
(10
1)
，…
；
9
1<
/p>
1
1
1
,
,
,
L
,
,
L
；
（
2
）
1
3
2
4
3
5
n<
/p>
(
n
2)
1
（
3
）
a
n
；
n
n
1
2
3
n
（
4
）
a
,
2
a
,3
a
,
L
,
na
< br>,
L
；
（
5
）
1
3,2
4,3
5,
L
,
n
(
n
2)
,
L
；
（
6
）
sin
2
1
o
sin
2
2
o
sin
2
3
o
L
L
sin
2
89
o
．
（
1
）
5
，
55
，
555
，
5555
，…，
6
n
5
(
n
为奇数
)
2
．已知数列
{
a
n
}
的通项
a
n
n
，求其前
n
项和
S
n
．
2
(
n
为偶数
)
n
个
n
个
6
7
8
6
7
8
5
解：
（
1
）
S
n
5
55
555
L
55
L
5
(9
99
999
L
99
L
9)
9
5
[(10
1)
(10
2
1)
(10
3
1)
L
(10
n
1)]
9
5
50
5
[10
10
2
10
3
L
10
n
n
]
(10
n
1)
n
．
9
81
9
< br>1
1
1
1
(
)
，
（
2
）∵<
/p>
n
(
n
2)
2
n
n
2
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
∴
S
n
[(1
)
(
)
(
)
L
(
)]
(1
)
< br>．
2
3
2
4
3
5
n
n
2
2
2
n
1
n
2
1
n
1
< br>n
（
3
）∵
a
n
n
1
<
/p>
n
n
n
1
(
n
n
1)(
n
1
n
)
1
1
1
L
∴
S
n<
/p>
2
1
3
2
n
1
n
(
2
1)
(
3
2)
L
(
n
<
/p>
1
n
)
n
1
1
．
2
3
n
（
4
）
S
n
a
2
a<
/p>
3
a
L
na
，
n
(
n
1)
，
2
2
3
当
a
1
时，
S
n
a
2
a
3
a
…
na
n
< br>
，
当
a
1
时，
S
n<
/p>
1
2
3
…
n
aS
n
a
2
< br>
2
a
3
3
a
4
…
na
n<
/p>
1
，
两式相减得
(1
a
)
S
n
a
a
a
…
a
na
2
3
n
n
1
a
(1
a
n
< br>)
na
n
1
，
1
a
na<
/p>
n
2
(
n
1)
a
n
1
a
∴
S
< br>n
．
(1
a
)
2
2
（
5
）∵
n
(
n
2)
n
2
n
，
∴
原式<
/p>
(1
2
3
…
n
)
2
(1
2
3
…
n
)
（
6
）设
S
sin
2
1
o
sin
2
2
o
sin
2
3
o
L
L
sin
2
89
o
，
又∵
S
sin
2
89
o
sin
2
88
o
sin<
/p>
2
87
o
L
L
sin
2
1
o
，
∴
2
S
89
，
S
2
2
2
2
n
(
n
1)(2
n
7)
．
6
89
．
<
/p>
2
6
n
5
(
n
为奇数
)
2
．已知数列<
/p>
{
a
n
}
的通项
a
n
n
，求其前
n
项和
S
n
．
(
n
为偶数
)
2
解：奇数项组
成以
a
1
1
为首项，公差为
12
的等差数列，
偶数项组成以
a
2
4
为首项，公比为
4
的等比数列；
n
1
n
1
当
n
为奇数时，奇数项有
项，偶数项有
项，
< br>2
2
n
1
n
1
(
1
6
n
<
/p>
5)
4(1
4
2
)
(
n
1)(3
n
<
/p>
2)
4(2
n
1
1)
2<
/p>
∴
S
n
，
2
1
4
2
3
n
当
n
为偶数时，奇数项和偶数项分别有
项，
2
n
n
(1
6
n
5)
4
(1
4
2
)
n
(3
n
<
/p>
2)
4(2
n
1)
2
∴
S<
/p>
n
，
2
1
4
2
3
(
n
1)(3
n
< br>2)
4(2
n
1
1)
< br>(
n
为奇数
)
< br>
2
3
所以，
S
n
．
n
n
(3
n
<
/p>
2)
4(2
1)
(
n
为偶
数
)
2
3<
/p>
高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）
跟踪训练题
一、选择题（本大题共<
/p>
6
个小题，每小题
6
分，总分
36
分）
1.
已知等差数列
{a
n<
/p>
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a<
/p>
2
=1
，
a
3
=3
，则
S
4
=( )
(A)12
(B)10
(C)8
(D)6
2.
设数列
{x
n
}
满足
log
2
x
< br>n+1
=1+log
2
x
n
,
且
x
1
+x
2
+x
3
+
…
+x
10
=10,
则
x
11
+x
12
+x
13
+
…
+x
20
的
值为
(
)
(A)10
×
2
11
(C)11
×
2
11
(B)10
×
2
10
(D)11
×
2
10
3.
已知正数组
成的等差数列
{a
n
}
，前
20
项和为
100
，则
a
7
·
a
14
的最大值是
(
)
(A)25
(B)50
(C)100
(D)
不存在
4.
已知为等比数列，
S
n
是它的前
n
项和。若，
且与
2
的等差中项为，则
=( )
A
．
35
.33 C
5.
设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是
( )
A
、
C
、
B
、
D
、
6.<
/p>
（
2010
·
潍
坊模拟）
已知数列
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
S
n
是其前
n
项和，
且有
S
9
<
br>． 分）
<
br>} 4n-3 的直线的斜 <
br>11 <
br>中，前
已知数列中，前 （ <
br>n <
br>×
8
=S
7
，
则下列说法不正确的是
A
．
S
9
10
C
S
7
与
S
8
均为
S
n
的最大值
B
．
d<0
D
．
a
8
=0
（
）
二、填空题（本大题共
3
个小题，每小
题
6
分，总分
18
7.
将正偶数划分为数组：
（
2
）
，
（
4
，
6
）
，
（
8
，
10
，
12
）
，
（
14
，
16
，
18
，
20
）
，…，则第
n
组各
数的和是
.
（用含
n
的式子表示）
8.
已
知
数
列
{a
n
满
足
:a
=1,a
4n-1
=0,
a
2n
=a
n
,n
∈
N
*
,
则
a
2
009
=_______;a
2
014
=_______.
9.
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，
a
4
=15,S
5
=55,
则过点
P(3,a
3
),Q(10,a
10
)
率为
_______.
三、解答题（
10
、
题每小题
15
分，
12
题
16
分，总分<
/p>
46
分）
10
.
数列的通项试问该数列有没有最大项若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明
理由
11.
在等比数列
{a
n
}
n
项和为
S
n
，若
S
m
,S
m+2
,S
m+1
成等差数列，则
a
m
,a
m+2
,a
m+1
成
等差数列
.
（
1
）写出这个命题的逆命题；
（
2
）判断逆命题是否为真并给
出证明
.
12.
n
项和为，
，并且
（）
，
（
1
）求，的值；
2
）设，若实数使得数列为等差数列，求的值。
（
3
）在（
2
）的条件下，设数列的前
项和为，求证：
参考答案
一、选择题
1.
【解析】
选
==2
×
(1+3)=8.
2.
【解析】<
/p>
选
B.
∵
log
2
x
n+1
-
log
2
x
n
=1,
∴
{x
n
}
为等比数列，其公比
q=2,
<
/p>
又∵
x
1
+x<
/p>
2
+
…
+x
10
=10,
∴
x
11
+x
12
+
…
+x
20
=q
10
(x
1
+x
2
+
…
+x
10
)=2
10
10.
3.
【解析】
选
A.
∵
S
20
=
×
20=100,
∴
a
1
+a
20
=10,
∵
a
1
+a
20
=a
7
+a
14
,
∴
a
7
+a
14
=10.
∵<
/p>
a
n
>0,
∴<
/p>
a
7
·
a
14
≤
()
2
=25.
4.
【解析】
选
由，又
得
所以，
，
，
，
5.
【解析】
选
D
，设等比数列的公比为，由题意，
，
，所以，故
D
正确。
6.
【解析】
选
A
由题意知
d<0
，
a
8
=0
，所以
二、填空题
7.
【解析】
前组共有偶数的个数为故第组共有个偶数，且第一个偶数是正偶数数列的第，
所以第
n
组各数的和为
答案：