数列求和的8种常用方法(最全)(1)
王冰洁-
求数列前
n
项和的
8
种常用方法
一
.
公式法（定义法）
：
1.
等差数列求和公式：
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
S
n
na
1
d<
/p>
2
2
特别地，
当前
n
项的个数为奇数时，
S
2
k
1
(2
k
1)
a
k
< br>
1
，即前
n
< br>项和为中间项乘以项数。这个公式在很
多时候可以简化运算；
2.
等比数列求和公式：
（
1
）
q
1
，
S
n
na
1
；
（
2
）
q
1
，
S
n
a<
/p>
1
1
q
n
1
q
3.
可转化为等差、等比数列的数列；
4.
常用公式
: <
/p>
n
，特别要注意对公比的讨论；
1
（
1
）
k
1
2
3
L
n
n
(
n<
/p>
1)
；
（
2
）
k
2
1
2
2
2
< br>
3
2
L
n
2
n
(
n
1)(2
n
1)
n
(
n<
/p>
)(
n
1)
；
（
3
）
k
3
1
3
2
3
3
3
L
n
3
[<
/p>
k
1
n
k
1
k
1
n
k
1
n
2
1
1
6
3
1
2
n
(
n<
/p>
1)
2
]
2
；
（
4
）
(2
k
1)
1
3
< br>5
L
(2
n
1)
n
2
.
1
，求
x
x
2
x
3
x
n
的前
n
项和
.
log
2
3
1
1
log
3
x
log
3
2
x
解：由
log
3
x
log
2
3
2
例
1
已知
log
3
x
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3<
/p>
L
x
n
1
1
(
1
n
)
x
(
1
x
)
2
＝
＝
2
1
1
x
1
2
1
＝
1
－
n
2
S
n
例
2
设
S
n
1
2
3
n
，
n
N
*
< br>,
求
f
(
n
)
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1
1
1
解：
易知
S
n
n
(
n
1
)
，
S
n
1
(
n
< br>1
)(
n
2
)
2
2
S
n
n
∴
f
(
n
)
＝
2
(
n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
n
<
/p>
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
50
< br>1
50
8
1
，即
n
8
时，
f
(
n
)
max
.
50
8
二
.
倒序相加法
:
如果一个数列
a
n
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这
∴
当
n
个数列的前
n
项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前
n
< br>项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒
过来排列（反序）
，再把它与原数列相加，就可以得到
n
个
< br>(
a
1
a
n
)
.
例
3
求
si
n
2
1
<
/p>
sin
2
2
<
/p>
sin
2
3<
/p>
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
…………①
将①式右边反序得
S
sin
2
89
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
…………②
（反序）
又因为
sin
x
cos(
90
< br>
x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
2
< br>1
cos
< br>2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(s
in
2
89
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
x
1
1
1
<
/p>
f
f
例
4
函数
f
x
，求
f
1
f
< br>
2
f
2012
f
<
/p>
f
1
的值
.
1
x
2012
2011
<
/p>
2
三
.
错位相减法：
适用于差比数列（如果
a
n
等差，
b
n
等比，那么
a
n
b
n
叫做差比数列）即把每一项
都乘以
b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化
为等比数列求和
.
如：等比数列的前
n
项和就是用此法推导的
.
例
5
求和：
S
n
1
<
/p>
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1<
/p>
…………①
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
2
n
1
的通项与等比数列<
/p>
{
x
n
1
}
的通项之积
<
/p>
设
xS
n
1
x
3
x
2
5
x
3
7
< br>x
4
(
2
n
1
)
x
n
………………②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减）
1
x
n
1
(
2
< br>n
1
)
x
n
即：
(
1
x
)<
/p>
S
n
1
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n<
/p>
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
(
1
x
)
2
2
4<
/p>
6
2
n
变式
求数列
,
2
,
3
,
,
n
,
< br>前
n
项的和
.
2
2
2
2
1
2
n
解：由题可知，
n
的通项是等差数列
2
n
的通项与等
比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S<
/p>
n
2
3
n
…………………………①
2
2
2
2
1
2<
/p>
4
6
2
n
S
n
2
3
4
n
1
………………………②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2<
/p>
2
2
n
①－②得
，
(
1
)<
/p>
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n<
/p>
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
<
/p>
n
1
2
四
.
裂项相消法<
/p>
:
即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可
求和。这是分解与组合
思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，
c
然后重新组合，使之能消去一些
项，最终达到求和的目的
.
适用于
，其中
a
n
是各项不为
0
a
n
a
n
1
的等差数列，
c
为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
a
n<
/p>
f
n
1
f
n
.
常见裂项公式
：
（
1
）
（
2
）
1
n
(
n
1)(
n
1)
1
< br>n
(
n
1)
n
1
1
n
1<
/p>
，
1
n
(
n
k
)
(
k
n
1
1
1
n
k
)
；
1
1
1
1<
/p>
(
)
（
a
n
的公差为
d
）
；
a
n
a
n
< br>1
d
a
n
a
n
1
1
1
；
（
3
）
(
a
n
1
a
n
)
.
< br>（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）
a
n
a
n
1
d
[<
/p>
1
1
2
n
(
n
1)
1
(
n
1)(
n
2)
]
；
(
2
n
)
2
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
1
(
)
；
(
)
；
a
n
（
4
）
a
n
(
2
n
<
/p>
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
< br>(2
n
1)(2
n
1)
2
2
n
1
2
n
1
（
5
）
a
n<
/p>
n
2
1
2
(
n
1
)
n
1
1
1
1
n
n
,<
/p>
则
S
1
；
n
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2<
/p>
n
1
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
sin
1
tan(
n
< br>1
)
tan
n
；
（
6
）
cos
n
c
os(
n
1
)
（
7
）
n<
/p>
(
n
1)!<
/p>
1
n
!
1
(
n
1)!
；
n
1
n
)
2
n
1
n
（
8
）常见放缩公式：
2(
例
6
求数列
1
1
2
,
1
< br>n
2
n
n
1
2(
n
n<
/p>
1
)
.
1
2
3
,
,
1
n
< br>n
1
,
的前
n
项和
.
解：设
a
n
n
1
<
/p>
n
（裂项）
n
n
1
1<
/p>
1
1
则
S
n
（裂项求和）
1
2
2
3
n
n
<
/p>
1
＝
(
2
1
)
(
3
2
)
(
n
1
< br>n
)
1
＝
n
1
1
1
1
1<
/p>
1
例
7
求和
S
n
.
1
3
3
5
5
< br>7
(2
n
1)(2
n
1)
2
1
2
n
例
8
在数列
a
n
中，
a
n
，又<
/p>
b
n
，求数列
b
n
的前
n
项的和
.
a
n
a
n
1
n
1
< br>n
1
n
1
1
2
n
n
解：
∵
a
n
n
1
< br>n
1
n
1
2
2
1
1
∴
b
n
8
(
)
（裂项）
n
n
1
n
n<
/p>
1
2
2
∴
数列
b
n
的前
n
项和
1
1
1
1
1
1
1
S
n
8
[(
1
)
(
)
(
)
(
)]
（裂项求和）
2
2
3
3
4
n
n
1
1<
/p>
＝
8
(
1
)
n
1
8
n
＝
n
1
1
1
1
cos
1
例
9
求证：
cos
0
cos
1
cos
1
cos
2
cos
< br>88
cos
89
sin
2
1
1
1
1
< br>解：设
S
< br>
cos
0
cos
1
c
os
1
cos
2
cos
88
cos
89
sin
1
tan(
n
1
)
tan
n
（裂项）
∵
cos
n
cos(
n
1
)
1
1
1
∴
S
（裂项求和）
cos
0
cos
1
cos
1
cos
2
cos
88
cos
89
1
{(tan
1<
/p>
tan
0<
/p>
)
(tan
2
tan
1
)
(tan
3
<
/p>
tan
2
)<
/p>
[tan
89
tan
88
]}
＝
sin
1
cos
1
1
1
(tan
89
tan
0
)
＝
cot
1
＝
2
＝<
/p>
sin
1<
/p>
sin
1
sin
1
∴
原等式成立
1
1
1
1
变式
求
S
n
.
3
15
35
63
1
1
1
1
3
15
35
63
解：
1
1
1
1
1
3
3
5
5<
/p>
7
7
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
3
5
2
5
7
< br>2
7
9
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
(
)
(
)
2
3
3
5
5
7<
/p>
7
9
1
1
(1
)
2
9
4
9
五
.
< br>分段求和法：
例
10
在等差数列
a
n<
/p>
中
a
10
23,
a
25<
/p>
22
，求：
（
1
）数列
a
n
前多少
项和最大；
（
2
）数列
a
n
前
n
项
和
.
六
.
分组求和法
:
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
可把数列的每一项分成多个项或把
数列的项重新组合，使其转化成常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
1
1
1
例
11
求数列的前
n
项和：
1
1
,
< br>
4
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，…
a
a
a
1
1
1
解：设
S
n
(
1
1
)
(
4
)
<
/p>
(
2
7
)
(
n
1
3
n
2
)
a
a
a
将其每
一项拆开再重新组合得
1
1
1
S
n
(
1
< br>2
n
1
)
(
1
4
7
3
n
< br>2
)
（分组）
a
a
a
(
3
n<
/p>
1
)
n
(
3
n
1
)
n
当
a
1
a
＝
1
时，
S
n
n
＝
（分组求和）
2
2
1
1
n
a
a
1<
/p>
n
(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
.
<
/p>
1
a
1
2
2
1
a
例
12
求数列
n
n
1
2
n
1
的前
n
项和
.
解：设
a
< br>k
k
(
k
1
)(
2
k
1
)<
/p>
2
k
3
3
k
2
k
∴
S
n<
/p>
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
＝
(
< br>2
k
3
3
k
2
k
)
k
1
k
1
n
n
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
2
k
< br>3
k
k
（分组）
3
2
k
1
k<
/p>
1
k
1
n
n
n
＝
2
(
1
3
2
3
n
3
)
<
/p>
3
(
1
2
2
2
n
2
)
(
1
2
<
/p>
n
)