高三年级一轮复习专题_数列通项公式与求和方法总结
1984年属相-
.
.
.
.
专题一
：
数列通项公式的求法详解
（
八种方法
）
一
、
观察法
（
关键是找出各项与项数
n
的关系
.
）
例
1
：
根据数列的前
4
项
，
写出它的一个通项公式
：
（
1
）
9
，
99
，
999
，
9999
，
…
（
2
）
1
,
2
,
3
1<
/p>
2
4
5
9
16
,
4
,
（
3
）
1
,
10
17
2
,
3
1
< br>,
2
2
,
（
4
）
5
1
2
,
,
2
3
3
4
,
,
4
5
< br>n
n
2
2
n
;
（
3
）
a
n
答案
：
（
1
）
a
n
10
1
（
< br>2
）
a
n
n
2
.
;
（
4
）
a
n
(
1
)
n
1
< br>n
1
n
1
n
1
二
、
公式法
公式法
1
：
特殊数列
例
2
：
已知数列
{
a
n<
/p>
}
是公差为
d
的
等差数列
，
数列
{
b
n
}
是公比为
< br>q
的
(
q
∈
R
且
q
≠
1)
的等比数列
，
若函数
f
(
x
)
=
(
x
－
1)<
/p>
2
，
且
a
1
=
f
(
d
－
1)
，
a
3
=
f
(
d
+1
)
，
b
1
=
f
(
q
+1
)
，
b
3
=
f
(
q
－<
/p>
1)
，
(1)
求
数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式
；
答案
：
a
n
=
a
1
+(
n
－
1)
d
= 2(
n
－
1)
；
b
n
=
b
·<
/p>
q
n
－
1
=4
·
(
－
2)
n
－
1
例
3.
等差数列
a
n
是递减数列
，
且
a
2
a
3
a<
/p>
4
=48
，
a<
/p>
2
a
3
a
4
=12
，
则数列的通项公式是
（
）
(A)
a
n
2
n
12
(B)
a
n
2
n
4
(C)
a
n
2<
/p>
n
12
(D)
a
n
2<
/p>
n
10
(D)
例
4.
<
/p>
已知等比数列
a
n
的首项
a
1
1
，
公
比
0
q
<
/p>
1
，
设数列
<
/p>
b
n
的通项为
b
n
a
n
1
a
n
2
，
求数列
b
n
的通
项
公式
.
简析
：
由题意
，
b
n
1
a
n
2
a
n
3<
/p>
，
又
a
n
是等比数列
，<
/p>
公比为
q
∴
b<
/p>
n
1
a
n
2
a
n
3
q
，
故数列
b
n
是等比
b
n
a
n
1
a
n
2<
/p>
n
1
n
数列
，
易得
b
n
q
(
q
1
)
q
q
(
q
1
)
.
点评
：
当
数列为等差或等比数列时
，
可直接利用等差或等比数列的通项公
式
，
只需求首项及公差公比
.
公式法
2
：
知
s
n
利用公
式
a<
/p>
n
s
1
,
n
1
.
S
n
S
< br>n
1
,
n
2
2
例
5
：
已知下列两数列
< br>{
a
n
}
的前
n
项和
s
n
的公式
，
求
{
a
n
}
的
通项公式
.
（
1
）
S
n
n
3
n
1
.
（
2
）
s
n
n
1
答案
：（
1
）
a
n
=3
n
< br>
3
n
2
，（
2
）
a
n
2<
/p>
(
n
1
)
0
点评
：
先分
n=1
和
n
2
两种情况
，
然后验证能否
2
n
1
(<
/p>
n
2
)
学习
.
资料
.
.
.
.
统一
.
三
、
累加法
【
型如
a
n<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
的地退关系递推关系
】
简析
：
已
知
a
1
a<
/p>
,
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
其中
f(n)
可以是关于
n
的一次
、<
/p>
二次函数
、
指数函数
、
分式函数
，
求通项
a
n
.
①
若
f(n)
是关于
n
的一次函数
，
累加后可转化为等差数列求和
;
②
若
f(n)
是关于
n<
/p>
的指数函数
，
累加后可转化为等比
数列求和
;
③
若
f(n)
是关于
n
的二次函数
，
累加后可分组求和
; <
/p>
④
若
f(n)
是
关于
n
的分式函数
，
< br>累加后可裂项求和各式
相加得
例
5
：
已知数列
6
，
9<
/p>
，
14
，
21<
/p>
，
30
，…
求此
数列的一个通项
.
.
答案
：
a
n
n
2
5
(
n
N
)
n
n
例
6.
若在数列
a
n
中
，<
/p>
a
1
3
，
a
n
1
a
n
2
，
求通项
a
n
.
答案
：
a
n
=
2
1
例
7
.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
，
a
n
a
< br>n
1
四
、
累积法
【
形如
a<
/p>
n
1
=
f
(n)
·
a
n
型
】
（
1
）
当
f(n)
为常数
，
即
：
1
1
(
n
2
)
< br>，
求此数列的通项公式
.
答案
：
a
n
2
n
(
n
1
)
n
a
n
1
q
（
其中
q
是
不为
0
的常数
），
此时数列为等比数列
，
a
n
=
a
1
q
n
1
.
a
n
（
< br>2
）
当
f(n)
为
n
的函数时
,
用累乘法
.
例
8
：
在数列
｛
a
n
｝
中
，
a
1
=1,
(n+1)
·
a
n
1
=n
·
a
n<
/p>
，
求
a
n
的表达式
.
例
9
：
已知数列
a
n<
/p>
中
，
a
1
答案
：
a
n
1
，
前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
S
< br>n
n
(
2
n
1
)
a
n
，
试求通项公式
a
n
. .
3
1
.
思考题
1
：
已知
a
n
<
/p>
1
na
n
n
1
,
a
1
1
,
求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
.
分
(
2
n
1
< br>(
2
n
1
)
析
：
原
式化为
a
n
1
1
<
/p>
n
(
a
n
1
),
若令
b
n
a
n
1
,
则问题进一步转化为
b
n
<
/p>
1
nb
n
形式
，
累积得解
.
五
、
构造特
殊数列法
构造
1
：【
形如
a
n
1
ca
n
d
,
(
c
0
,
其中
a
1
a
)
型
】
（
1
）
若
c=1
时
，
数列
{
a
n
< br>}
为等差数列
;
（
2
）
若
d=0
时
，
数
列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3
）
若
c
1
且d
0
时
，
数列
{
a
n
}
为线性递推数列
，
其通项可通过待定系数法构造等比
数列来求
.
方
法
如
下
：
设
< br>a
n
1
c
(
a
n
)
,
得
a
n
1
ca
n
(
c
1
)
,
与
题
设
a
n
1<
/p>
ca
n
d
,
比
较
系
数
得
d
,
(
< br>c
0
)
，
c
1
学习
.
资料
.
.
.
.
所以
：
a
n
d
d
d
d
为首项
，
以
c
为公比的等比数列
.
c
(
a
n
1
)
,
即
a
n
构成以
a
1
c
1
c
< br>
1
c
1
c
1
例
10
：<
/p>
已知数
{
a
n<
/p>
}
的递推关系为
a
n
1
2
a
n
1
，
且
a
1
1
求通项
a
n
.
答案<
/p>
：
a
n
2
n
1
构造
2
：
相邻项的差为特殊数列
例
11
：
在数列
a
n
中
，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n
2
构造
3
：
倒数为特殊数列
【
形如
a
n
2
1
1
a
n
1
< br>a
n
，
求
a
n
.
提示
：
变为
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1
a
n
< br>)
.
3
3
3
pa
n
1
】
ra
n
1
s<
/p>
a
n
（
n
N
）
，
，
求数列的通项公式
.
答案
a<
/p>
n
1
例
12
：
已知数列<
/p>
｛
a
n
｝
中
a
1
1
且
a
n
1
a
n
1
1
b
n
n
六
、
待定系数法
：
例
13
：
设数列
{<
/p>
c
n
}
的各项是
一个等差数列与一个等比数列对应项的和
，
若
< br>c
1
=2
，
c
2
=4
，
c
3
=7
，
c
4
=12
，
求通项公式
c
n
n
1
解析
：
设
c
n
a
(
n
1
)
d
bq
建立方程组<
/p>
，
解得
.
点评
：
用待定系数法解题时
，
常先假定通项公式或前
n
项和公式为某一多项式
，
一般地
，
若数列
{
a
n
}
为等差数列
：
2
n
1
则
a
n
bn
c
，
s
n
bn
cn
（
b
、
ｃ
为
常
数
）
，
若
数
列
{
a
n
}
为<
/p>
等
比
数
列
，
则
a
n
Aq
，
s
n
Aq
n
A
(
Aq
< br>
0
,
q
1
)
.
七
、
迭代法
【
一般是递推关系含有的项数较多
】
例
14
：（
1
）
数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
0
,
且
a
1
a
2
< br>a
n
1
a
n
2
(
n
1
)
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
解析
：
由题得
a
1
a
2
a
n
1
a
n
< br>2
(
n
1
)
①
n
2
时
，
a
1
a
2
< br>
a
n
1
2
(
n
2
)
②
0
,
n
1
2
由
①、②
得
a
n
.
（
2
）
数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
,
< br>且
a
1
a
2
a
n
1
a
n
n
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
2
,
n
2
（
3
）
已知数列
{
a
n
}
中
，
a
1
2
,
a
n
1
1
1
a
n<
/p>
,
求通项
a<
/p>
n
.
2
2
学习
.
资料