数列求和归纳整理
文艺男-
数列求和方法归纳分析
【知识总结】数列前<
/p>
n
项和求解的基本方法：公式法，倒序相加法，分组求和法，错位
相减法，裂项相消
法。
1.
公式法：即利用等差数列前
n
项和公式或等比数
列前
n
项和公式求解。
【例
1
】已知点
(
n
,
a
n
)
在函数
f
(
x
)
2
< br>x
1
图像上，数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
求
S
< br>n
.
【例<
/p>
2
】已知数列
{
a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
a
1
1
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列
.
（
1
）求数列
{
a
n
}
< br>的通
项公式；
（
2
）求数
列
{2
n
}
的
前
n
项和为
S
n
.
2.<
/p>
倒序相加法：如果一个数列
{
a
n
}
首末两端等“距离”的两项的和相等或等于
同一个常数，那么求这个数
列的前
n
项
和即可用倒序相加法。
（等差数列的前
n
项和即用此法推导的）
a
4
x
1
【例
3
】设
f
(
x
)
x
，求和：
S
f
< br>4
2
2002
4
x
4
1
x
解：由
f
(
x
)
x<
/p>
，得
f
(1
<
/p>
x
)
1
x
4
2
4
2
因为
f
(
x
< br>)
f
(1
x
)
2
f
...
2002
<
/p>
2001
f
2002
3.<
/p>
分组求和法：把数列的项重新组合后，可构成等差或等比数列，则利用此法求解。
【例
4
】
（
1
）求数列
1
,3
,5
...,[(2
n
1)
（
2
）求数列
{(
1
)
(2
n
1
)}
的前
2013
项和
S
2013
.
1
n
1<
/p>
2
1
4
1
8
1
]
的前
n
项和；
n
2
4.
错位相减法：如果一个数列的各项是由一
个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，则用此法求解
（等比数列的前
n
项和即用此法推导的）
。求解时，把数列的各项
均乘以等比数列的公比，并错后一项与
原数列各项对应相减，即可转化为特殊数列的求和
问题。
【例
5
】已知数列
{
a
n
< br>}
是首项
a
1
< br>
1
的等比数列，且
a
n
0
，数列
{
b
n
}
是首项
b
1
的等差数列，又
a
5
b
3
21
，
a
3
b
5
13
.
（
1
）求数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
（
2
）求数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
.
2
a
n
5.
裂
项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
< br>
注意：
（
1
< br>）在利用裂项相消法时要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩前面两项和后
< p>面两项；
（
2
）将通项公式裂项后，注意调整前面的系数，使之相等。
（
3
）常见的拆项公
式：
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
；
(
)
.
n
(
n
k
)
k
n
n
k
(2
n
1
)(2
n
1)
2
2
n
1
2
n
1
【例
6
】已知等比数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
3
，公比
q
满足
q
0
且
q
1
，又已知
a
1
,5
a
3
,9
a
5
成
等差数列
.
（
1
）求数列
{
a
n
< br>}
的通项公式；
（
2
）令
b
n
log
3
【例<
/p>
7
】
（
2010
山东高考）已知等差数列
{
a
n
}
满足：
a
3
7
，
a
5
a
< br>7
26
，数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
< br>n
.
（
1
）求
a
n
和
S
n
；
（
2
）令
b<
/p>
n
2
1<
/p>
1
1
1
...
，求
的值
.
a
n
b
1
b
2
b
2
b
3
b
n
b
n
< br>
1
1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
< br>n
.
2
a
n
1