数列求通项与求和总结(精)
学习教师法心得体会-
数列求和方法
等差
数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通
项变形
，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法
来求
和
.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法
.
一、直接求和法（或公式法）
将数列
转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前
n
项和公
式求得
.
例
1
求
1
2
3
4
5
6
L
< br>
99
100
．
解：原式
(2
1
)
(4
3
< br>)
(6
5
)
L
(100
99
)
3
7
11
L
199
．
由等差数列求和公式，得原式
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
50
(3
199)
5050
．
2
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前
n
项和公式的推导，
目的在于利用与首末两项等距离的两项相加
有公因式可提取，以便化简后求和
.
1
2
2
2
3
2
10
2
2
2
2
L
2
2
的和．
例
2
求<
/p>
2
2
2
1
10
2
9
3
8
10
1
分析：由于数列的
第
k
项与倒数第
k
项的和为常数
1
，故采用倒序相加法求和．
1
2
2
2
3
2
10
2
L
2
2
解：设
S
2
1
10
2
2
2
9
2
3
2
8
2
10
< br>1
10
2
9
2
8
2
1
2
2
2<
/p>
2
L
2
2
．
则
S
2
2
2
10
< br>1
2
9
3
8
10
1
S
<
/p>
5
．
两式相加，得
2
S
1
1
L
<
/p>
1
10
，
小结
：对某些具有对称性的数列，可运用此法
.
三、裂项相消法
如果一个数列
的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，
一减一加，中间
项全部相消为零，那么原数列的前
n
项之和等于第一项的被减数
与最末项的
减数之差
.
多用于分母为等
差数列的相邻
k
项之积，且分子为常数的分式型数列的求和
.
例
3
已知
1
2
L
n
1
n
(
n
1)(2
n
1)
，
6
3
5
7
2
n
1
L
<
/p>
(
n
N
)
的和．
求
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
< br>1
2
3
1
2
L
n
2
2
2
分析：首先将数列的通项公式化简，然
后注意到它可写成两项的差，
在求和的过程中，中间的项相
互抵
消了，从而可求出原数列的前
n
项和
.
解：
Q
a
n<
/p>
2
n
1
2
n
1
6
，
2
2
2
1
1
2
L
n<
/p>
n
(
n
1)(2
n
1)<
/p>
n
(
n
1)
6
1
1
1
S
n
< br>6
L
n
(
n
1)
<
/p>
1
2
2
3
1
1
1
1
1
6
1
<
/p>
L
n
n
1
2
2
3
1<
/p>
6
1
n
1
ln
.
< br>n
1
小结：
< br>如果数列
{
a
n
}
的通项公式很容易表示成另一个数列
{
b
n
}
的相邻两项的差，<
/p>
即
a
n
b
n
1
b
n
，
则有
S
n
< br>b
n
1
b
1
.
这
种方法就称为裂项相消求和法
.
四、错位相减法
< br>源于等比数列前
n
项和公式的推导，对于形如
{
a
n
b
n
}
的数列，其中
{
a
n
}
为等差数列，<
/p>
{
b
n
}
为
等比数列，均可用此法
.
例
4
求<
/p>
x
3
x
5
x
L
(2
n
1)
x
的和．
2
3
n
x
2
x
2
(1
x
n
1
)
(2
n
1)
x
n
1
解：当
x
1
时，
S
n
；
1
x
(1
x
)
2
1
< br>x
2
当
x
1
时，
S
n
n
．<
/p>
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列<
/p>
{
b
n
}
的公比；②将两个等式相减；
③利用等比数列的前
n
项和公式求和
.
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求
.
例
5
求数
列
2
，
4
，<
/p>
6
1
4
1
1
1
，
L
，
2
n
n
1
，
L
的前
n
项和
S
n
．
8
16
2
1
1
，而数列
是一个等差数列，数列
{2
n
}
n
1
是一个等
2
n
1
2
分析：此数列的通项公式是
a
n
2
n
比数列，故采用分组求和法求解．
解：
S
n
(
2
4
6<
/p>
L
2
n
)
1
1
1
1
1
1
L
n
(
n<
/p>
1)
．
2
3
4
n
1
n
1
< br>2
2
2
2
2
2
小
结：
在求和时，
一定要认真观察数列的通项公式，
如果它能拆分成几项的和，
而这些项分别构成
等差数
列或等比数列，那么我们就用此方法求和
.
求通项公式的十种方法
一、公式法
n
例
1
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
2
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式。
a
n
1
a
n
3
a
n
1
a
n
3
a
n
，则
，故数列
{
}
是
2
n<
/p>
1
2
n
2
2
n
1
2
n
2
2
n
a
n
3
a
2
3
以
1
为首项，
以
为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式，
得
，
1
< br>(
n
1)
1
n
1
2
2
2
2<
/p>
2
3
1
n
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
n
<
/p>
)2
。
2
2
n
解：
a
n
1
2
a
n
3
2
两边除以
2
n
1
< br>，得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
2
转化为
a
n
1
a
n
3
<
/p>
，说明数列
2
n
1
2
n<
/p>
2
a
n
a
3
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
< br>，进而求出数列
1
(
n
1)
{
n
}
n
n
2
2
2
{
a
n
}
的通项公式。
二、利用
a
n
S
1
(
n
1)
S
n
S
n
1
(
n
2)
<
/p>
例
2
．若
S
n
和
T
n
分别表示数列
{
a
n<
/p>
}
和
{
b
n
}
的前
n
项和，对任意正整数
a
n
2(
n
1)
，
T
n
3
S
n
4
n
.
求数列
{
b
n
}
的通项公式；
<
/p>
解
Q
a
n
2(
n
1)
a
1
4
d
2
：
S
n
n
2
<
/p>
3
n
T
n
3
S
n
4
n
3
n
2
< br>
5
n
…
…
2
分
当
n
1
时<
/p>
,
T
1
b
1
3
5
8
当
n
2
时
,
< br>b
n
T
n
T
n
1
6
n<
/p>
2
b
n
6
n
2.
……
4
分
练习
：
1.
已知正项数列
{a
n
}
，其前
n
项和
S
n
满足
10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
15
成等
比数列，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
解: ∵10
S
n
=
a
n
2
+5
a
n
+6
，
① ∴10
a
1
=
a
1
2
+5
a
1
+6
，解之得
a
1
< br>=2
或
a
1
=3
又
10
S
n
－
1
< br>=
a
n
－
1
2
+5
a
n
－
1
+6(
n
≥2)，②
由①－②得
10
a
< br>n
=(
a
n
2
－
a
n
－
1
2
)+6(
a
n
－
a
n
－
1
)
，即<
/p>
(
a
n
+
a
n
－
1
)(
a
n
－
a
n
－
1
< br>－
5)=0
∵
a
n
+
a
n
－
1
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
=5
(
n
≥2)
< br>当
a
1
=3
时，
a
3
=13
< br>，
a
15
=73
a
1
，
a
3
，
a
15
不成等比数列∴
a
1
≠3;
当
a
1
=2
时，
a
3
=12
，
a
15
=7
2
，
有
<
/p>
a
3
2
=
a
1
a
15
，
∴
a
1
=2
，
∴
a
n
=5
n
－
3
2
．
（
2006
年全国卷
I
）设数列
a
n
的前
n
项的和
4
1
2
S
n
a
n
2
n
1
< br>，
n
1,2,3,
g
g
g
3
3
3
（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
n
3
2
n
（Ⅱ）设
T
n
，
n
1,2,3,
g
g
g
，证明：
T
i
2
S
n
i
1
4
1
2
a
1
S
1
a
1<
/p>
2
2
3
3
3
，解得：
a
1
2
解：
（
I
）
所以数列
所以：
4
4
1
a
n
1
S
n
1
< br>
S
n
a
n
1
a
n
2
n
2
2
n
1
a
< br>
2
n
1
4
a
2
n
n
1
n
3
3
3
a
n
< br>2
n
是公比为
4
的等比数列
a
n
2
n
a
1
2
1
4
n
<
/p>
1
n
n
得：
a
n
4
2
（其中
n
为正整数）
4<
/p>
1
2
4
1
2
2
S
n
a
n
2
n
1
4
n
2
n<
/p>
2
n
1
2
n
1
1
2
n
1
3
3
3
3
3
3
3
（
II
）
2
n
3
2
n
3
1
1
T
n
n
1
<
/p>
S
n
2
2
1
2
n
1
2
< br>
2
n
1
2
n
1
1
3
1
1
3
T
i
< br>1
n
1
2
2
1
2
1
2
所以：
i
1
三、累加法
例
3
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
< br>
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2
n
< br>
1
得
a
n
1
a
n
2
n
1
则
n
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
< br>a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(
a
2
< br>a
1
)
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
L
(2
2
1)
(2
1
<
/p>
1)
1
2[(
n
1)<
/p>
(
n
2)
L
2
1]
(
n
1)
1
(
< br>n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
<
/p>
n
。
评注：本
题解题的关键是把递推关系式
a
n
<
/p>
1
a
n
2
n
1
转化为
a
n
1
a
n
2
n
1
，进而求
出
< br>(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
< br>a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
例
4
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
< br>a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
n
解：由
a
n
1
a
< br>n
2
3
1
得
a
n
1
a
n
2
3
1
则
a
n
< br>
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
< br>(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
(2
3
n
1
1)
(2
3
n
2
1)
L
(2
3
2
1)
(2
3
1<
/p>
1)
3
2(3
n
1
3
n
2
L
3
2
< br>3
1
)
(
n
1)
3
3(1
3
n
1
)<
/p>
2
(
n
1)
3
1
3
3
n
< br>3
n
1
3
3
n
n
1
n
所以
a
n
3
n
1.
n
n
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
3
1
转化为
a
n
1
a
n
2
< br>
3
1
，进
而求出
a
n
(
a
n
a
n
1<
/p>
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(<
/p>
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项
公式。<
/p>
n
例
5
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
n
1
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
1
两边除以
3<
/p>
，得
a
n
1
a
n
2
1
，
3
n
< br>
1
3
n
3
3
n
1
则
a
n
1
a
n
2
1
，故
3
n
1
3
n
3
3
n
1
a
n
a
n<
/p>
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a<
/p>
1
(
)
(
)
(
)
L
(
1
)
n
n
n
<
/p>
2
n
2
n
3
2
3
3
a
n
1
a
n
1
3
3
3
3
3
3
2<
/p>
1
2
1
2
1
2
1
3
(
n
)
(
n
1
)
(
n
<
/p>
2
)
L
(
2
)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
<
/p>
(
n
n
n
1
n
2
L
2
)
1
3
3
3
3
3<
/p>
3
1
n
1
(1
3
)
a
n
2(
n
1)
3
n
2
n
< br>1
1
因此
n
，
1
<
/p>
3
3
1
3
3
2
2
3
n
则
a
n
2
1
1
n
3
n
<
/p>
3
n
.
3
2
2
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
1
转化为
a
n
1
a
n
< br>2
1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
1
进而求出
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
a<
/p>
2
a
1
a
1
a
n
，
即得数列
)
(
)
(
< br>)
L
(
)
n
的
n
n
1
n
1
n
2
n
2
< br>n
3
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
通项公式，最后再求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
四、累乘法
n
例
6
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
解：因为
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n
1
< br>2(
n
1)5
n
，故
a
n
< br>a
n
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a
1
a
n
1
< br>a
n
2
a
2
a
1
[2(
n
1
1)5
n
1
][2(
n
2
1)5
n
2
]
<
/p>
L
[2(2
1)
5
2<
/p>
][2(1
1)
5
1
]
3
2
n
1
[
n
(
n
1)
L
3
2]
< br>5
(
n
1)
(
n
2)
L
2
1
3
3
2
n
1
n
(
n
< br>1)
2
5
n
!
n
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
2
5
n
(
n
1)
2
n
!.<
/p>
n
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
2(
n
1)5
n
，进而求<
/p>
a
n
出
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
< br>a
n
2
a
2
a
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
< br>(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，
求
{
a
n
}<
/p>
的通项
例
7
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
1
<
/p>
1
公式。
解：
因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
所以
a
n
1
a<
/p>
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
< br>a
n
1
na
n
用②式－①式得
a
n
< br>
1
a
n
na
n
.
则
a
n<
/p>
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
②
①
故
a
n
1
n
1(
n
2)
a
n
a
n
< br>a
n
1
a
n
!
L
3
a
2
[
n
(
n
1)
L
4
3]
a
< br>2
a
2
.
a
n
1
a
n
2
a
2
2
所以
a
n
③
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3<
/p>
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，
取
n
2
得
a
2
a
1
2
a<
/p>
2
，则
a
2
a
1
，又知
a
1
1
，则
a
2
1
，代入③得
a
n
1
3
4
5
L
n
所以，
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
!
< br>。
2
n
!
.
2
a
n
1
n
1(
n
2)
，
进
a
n
评注：
本题解题的
关键是把递推关系式
a
n
1
(
n
1)
a
n
< br>(
n
2)
转化为
而求出
a
n
a
n
1
a
L
3
a
2<
/p>
，
从而可得当
n
2
时，
a
n
的表达式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的通
a
n
1
a
n
2
a
2
项公式。
< br>五
.
构造等差或等比
a
n
1
pa
n
q
或
a
n
1
pa
n
f
(
n
)
例
8
（
2006
年福建卷）已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
).
求数列
a
n
的通项公式；
解：
Q
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
),
a
n
1
1
< br>
2(
a
n
1),
a
n
1
是以
a
1
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列。
a
n
1
2
n
.
即
a
n
2
2
1(
n
N
*
).
1
1
a
n
(
)
< br>n
1
，求
a
n
。
2
2
1
1
a<
/p>
n
(
)
n
1
两边乘以
2
n
1
得：
2
n
1
•
a
n
1
(2
< br>n
•
a
n
)
1
2
2
例
9
．已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
1
,
a
n
1
解：在
a
n
1
令
b
n
2
n
•
a
n
，则
b
n
1
b
n
1
,
解之得：
b
n
<
/p>
b
1
n
1
n
1
所以
a
n
练习
.
b
n
< br>n
1
n
2
n
2
1
n
2
）
已知数列
{
a<
/p>
n
}
满足
a
n
2
a
n
1
2
n
（
< br>，且
a
4
81
。
（
1
）求
a
1
，
a
2
，
a<
/p>
3
；