必修五数列求和题型归纳
五花海-
数列求和
1
．
公式法
直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
< br>（
1
）等差数列的前
n
项和公式
n
a
1
＋
a
n
n
n
－
1
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
.
2
2
（
2
）等比数列的前
n
项和公式
na
1
，
< br>q
＝
1
，
S
n
＝
a
1
－
a
n
q
a
1
1
－
q
n
< br>＝
，
q
≠
1.
1
－
q
1
－
q<
/p>
例
1
．
一个球从
100 m
高处自由落下，
每次着地后
又跳回到原高度的一半再落下，当它第
10
次着地时，
经过的路程是
(
)
A
．
10
0
＋
200(1
－
2
9
)
C
．
200(1
－
2
9
)
－
－
－
－
－<
/p>
B
．
100<
/p>
＋
100(1
－
2
9
)
D
．
100(1
－
2
9
)
－
－
－
－
【答案】
A
[
第
10
次着地时，经过的路程为
100
＋
2(
50
＋
25
＋
…
＋
100
×
2
9
)
＝
10
0
＋
2
×
10
0
×
(2
1
＋
2
2
1
1
－
2
9
－
2
＋
…
＋
2
)
< br>＝
100
＋
200
×
＝
100
＋
200(1
－
2
9
)
．
]
－
1
1
－
2
－
9
2
．
分组转化法
把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．
分组转化法求和的常见类型：
(1)
若
a
n
＝<
/p>
b
n
±
c
n
，且
{
b
n
}
，
{
c
n
}
为等差或等比数列，
则可采用分组求和法求
{
a
n
}
的前
n
项和．
b
n
，
n
为奇数，
(2)
通项公式为
a
n
＝
的数列，其中数列
{
b
n
}
，
{
c
n
}
是等比数列或等差数列，可采用分组
c
，
n
为偶数
n
求和法求和．
3
．
并项求和法
一个数列的前
n
项和中，
可两两结合求解，
则称之为并项求和．
形如
a
n
＝
(
－
1)
n
f
(
n
)
类型，
可采用两项合
并求解．
n
2
< br>＋
n
例
2
、
(2019·
山东青岛月考
)
已知数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和<
/p>
S
n
＝
，
n
∈
N
*
.
2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2<
/p>
a
n
＋
(
－
1)
n
an
，求数列
{
b
n
}
的前
2
n
项和．
解
(1)
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
1
；
n
< br>2
＋
n
n
－
1
2
＋
n
－
1
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
－
＝
n
.
a
1
也
满足
a
n
＝
n
，故数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
< br>n
＝
2
2
n
.
(2)
由
(1)
知
a
n
＝
n
，故
b
n
＝
2
n
＋
(
－
1)
n<
/p>
n
.
记数列
{
b
n
}
的前<
/p>
2
n
项和为
T<
/p>
2
n
，则
T
2
n
＝
(2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
2
n
)
＋
(
－
1
＋
2
－
3
＋<
/p>
4
－
…
＋
2
n
)
．
记
A
＝
2
1
＋
2
2
＋
…
＋
2
2
n
，<
/p>
B
＝－
1
＋
2
－
3
＋
4
－
…
＋
2
n
，
< br>2
1
－
2
2
n
2
n
＋
1
则
A
＝
＝
2
－
2
，
B
＝
(
－
1
< br>＋
2)
＋
(
－
3
＋
4)
＋
…
＋
[
－
(2
n
－
1)
＋
2
n
]
＝
n
.
故数列<
/p>
{
b
n
}
的前
2
n
项和
1
－
2
T
2
n
＝
A
＋
B
＝
2
2
n
1
＋
n
－
2.
[
变式探究
]
本例
(2)
中，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解
由
(1)
知
b
n
＝
2
n
＋
(
－
1)
n<
/p>
n
.
当
n
为偶数时，
2
－
2
n
1
n
n
＋
1
n
n
1
2
T
n
＝
(2
＋
2
＋
…
＋
2
)
＋
[
－
1
＋
2
－<
/p>
3
＋
4
－
…
－
(
n
－
1)
＋
n
]
＝
＋
＝
< br>2
＋
－
2
；
2
2
1
－
2
当
n
为奇数时，
T
n
＝
(2
1
＋
2<
/p>
2
＋
…
＋
2
n
)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
4
－
…
－
(
n
－
2)
＋
(
n
－
1)<
/p>
－
n
]
n
－
1
n
5
＋
＋
＝
2
n
1
－
2
＋
－
n
＝
2
n
1
－<
/p>
－
.
2
2
2
＋
＋
∴
T
＝
2
n
n
< br>＋
2
n
1
＋
－
2
，
n
为偶数，
2
5
n
＋
1
n
－<
/p>
－
，
n
为奇数<
/p>
.
2
2
练习、
(
2019·
四川巴中质检
)
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
＋
a
7
＝－
23
，
a
3
＋
a
8
＝－
29.
(1)
求数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式；
(2)
设数列
{
< br>a
n
＋
b
n
}
是首项为
1
，公比为
q
的等比数列，求
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解
(1)
设等差数列
{
a
n<
/p>
}
的公差为
d
，
则
a
3
＋
a
8
－
(
a
2
＋
a
7
)
＝
< br>2
d
＝－
6
，
∴
d
＝－
3
，∴
a
2
＋
a
7
＝<
/p>
2
a
1
＋
7
d
＝－
23
，解得
a
1
＝－
1
，
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝－
3
n
＋
2.
(2)
∵数列
{
a
n
＋
b
n
}
是首项为
1
，公比为
q
的等比数列，
∴
a
n
＋
b
n
＝
q
n
1
，即－
3
n
＋
2
＋
b
n
＝
q
n<
/p>
1
，∴
b
n
＝
3
n
－
2
＋
q
n
1
，
∴
< br>S
n
＝
[1
＋
4
＋
7
＋
…
＋
(3
n
－
2)]
＋
(
1
＋
q
＋
q<
/p>
2
＋
…
＋
q
n
1
)
＝
n
3
n
－
1
3
n
2
＋
n
当
q
＝
1<
/p>
时，
S
n
＝
＋
n
＝
；
2
2
n
3
n
－
< br>1
1
－
q
n
当
q
≠
1
时，
S
n<
/p>
＝
＋
.
2
1
－
q
4
．
裂项相消法
把数列
的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．裂项法求和在高考中经常考查，多以解
答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档．
（
1
）常见的裂项公式
①
②
1
1
1
＝
－
；
n
n
＋
1
n
n<
/p>
＋
1
1
1
1
1
＝
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
；
2
n
－<
/p>
1
2
n
＋
1
2
－
－
－
－
n
< br>3
n
－
1
－
＋
(1
＋
q
＋
q
2<
/p>
＋
…
＋
q
n
1
)
．
2
③
＝
n
＋
1
－
n
.
n
＋
n
＋
1
1
（
2
）
利用裂项相消法求和的注意事项<
/p>
1)
抵消后并不一定只剩下第一项和最
后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
2)
消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
3)
将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，
使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若
{
a
n
}
是等差数列，则
1
考点一：形如
a
n
＝
的数列求和
n
＋
k
n
＋
p
例
3
、
(
2019·
山东威海月考
)
已知等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
2
a
2
＋
a
3
＋
a
5
＝
20
，且前
10
项和
S
10
＝
100.
(
1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
若
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和．
a
n
a
n
＋
1
解
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
，公差为
d
.
由已知得
2
a
＋
a
＋
a
＝
4
a
1
＋
< br>8
d
＝
20
，
2
3
5
10
×
9
10
a<
/p>
＋
d
＝
10
a
＋
45
d
＝
100
，
1
2
1
a
1
＝
1
，
解得
< br>
d
＝
2
，
1
1
1
1
1
1
1
1
＝
a
n
－
a
，
＝
< br>
a
n
－
a
.
n
＋
1
n
＋<
/p>
2
a
n
a
n
＋
1
d
a
n
a
n
＋
2
2
d
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
< br>n
＝
1
＋
2(
n
－
1)
＝
2
n
－
1
.
1
1
1
1
(2)
b
n
＝
＝
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
，
< br>2
n
－
1
2
n
＋
1
2
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
n
所以
T
n
＝
1
－
3
< br>＋
3
－
5
＋
…
＋
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
＝
1
－
2
n
＋
1
< br>
＝
2
2
2
n
＋
1
. <
/p>
考点
2
：形如
a
n
＝
1
的数列求和
n
＋
k
＋
n
1
例
4
、
(20
19·
皖北八校联考
)
已知函数
f
(
x
)
＝
x
α
的图象过点
(4,2)
，
令
a<
/p>
n
＝
，
n
∈
N
*
.
记数列
{
a
n
}
f
n
＋
1
＋
< br>f
n
的前
n
项和为
S
n
，则
S
2
014
＝
(
)
A
．
2
013
－
1
C
．
2
015
－
1
B
．
2
014
－
1
D
．
2
015
＋
1
1
1
1
1
【答案】
C
[
由
f
(4)
＝
2
可得
4
α
＝
2
，
解得
α
＝<
/p>
，
则
f
(
x
)
＝
x
.
∴
a
n
＝
＝
＝
n
＋
1
－
2
2
f
n
＋<
/p>
1
＋
f
n
n
＋
1
＋
n
n
，
S
2
< br>014
＝
a
1
< br>＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
2
014
＝
(
2
－
1)
＋
(
3
－
2)
＋
(
4
－
3)
＋
…
＋
(
2
014
－
2
013)
＋
(
2
015
－
2
014)
＝
2
015
－
1.]
n
< br>＋
1
考点
3
：形如
a
n
＝
2
的数列求和
n
n
＋
2
2