高考数学压轴题数列求和十种方法总结
报考公务员条件-
高考数学压轴题数列求和十种方法总结
数列是高考数学的重要内容，
其中数列的求和尤为重要，
除了等差数列等比
数列有各自的求和公式，其余数列的求和讲究一定的技巧
。
题型一、公式求和
1
、
等差数
列求和公式：
S
(
a
< br>1
a
n
)
n
n
2
na
n<
/p>
(
n
1
)
1
2
d
na
1
(
< br>q
1
)
2
、等比数列求和公式：
S
n
n
a
1
(
1
q
)
a
1
q
1
a<
/p>
n
q
1
q
(
q
1
)
n
3
、
S
n
k
1
n
(
n
1
< br>)
k
1
2
n
4
、
S
n
k
2
1
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
k
1
6
5
、
S<
/p>
1
n
n
k
3
[
n
(
n
1
)]
2
< br>
k
1
2
例
1
、
已
知
a
n
是
一
个
首
项
为
a
，
公
比
< br>为
q
(0
q
1)
的
等
比
数
列
，
S
2
2
n
a
1
a
2
a
2
3
L
< br>
a
2
n
(
n
N
*
)
2
2
2(
n
解：由已知得
a
1
n
aq
n<
/p>
，
a
1)
2
n
1
a
q
2
a
2
< br>2
q
2
n
2
q
n
a
a
2
2
2
n
是首项为
a
，公比为
q
的等比数列。
当
q
1
时，
S
2
2
2
2
n
a
1
a
2
L
a
n
< br>
na
.
当
q
1
时，
S
a
2
1
[1
(
q<
/p>
2
)
n
]
a
2
(1
q
2
n
n
1
q
< br>2
)
1
q
2
求
例
2
、
已知
log
3
x<
/p>
解：由<
/p>
log
3
x
<
/p>
1
2
3
n
，求
x
x
x
< br>x
的前
n
项和。
log
2
3
1
1
得
log
3
x
log
3
2
，∴
x
，
由等比数列求和公式得
log
2
3
2
n
1
1
(
1
n
)
x
(
1
x
)
< br>2
2
＝
1
1
S
n
x
x
2
x
3
x
n
=
< br>＝
1
1
x
2
n
1
2
*
例
3
、
设
S
n
1
2
< br>3
< br>n
,(
n
N
)
，求
f
(
n
)
S
n
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1<
/p>
解：由等差数列求和公式得
S
n
∴
f
(
n
)
1
1
n
(
n
1
)
，
< br>
S
n
1
(
n
1)(
n
2
)
2
2
S
n
n
＝
2
(
n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
< br>
50
1
50
∴
当
n
8
1
，即
n
8
时，
f
(
n
)
m
a
x
50
n
二、倒序相加法求和
倒序相加法是推
导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列
（反序）
，再把它与原数列相加
，就可以得到
n
个
(
< br>a
1
a
n
)
例
1
、求
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
的值
解：设
S
sin
< br>1
sin
2
< br>
sin
3
< br>
sin
88
sin
89
………….
①
将①式
右边反序得
S
sin
89
sin
88
sin
3
sin
2
sin
1
……
②
又因为
sin
x
cos(
90
< br>
x
),
sin
x
cos
x
1
，①
+
< br>②得
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S
(s
in
2
1
o
cos
2
1
o
)
(sin
2
2
o
co
s
2
2
o
)<
/p>
(s
in
2
89
o
cos
2
89
o
)
89
∴
S
44.5
例
2
、已知函数
f
x
1
4
x
2
x
R
，点
P
1
x
1
,
y
1
，
P
2
x<
/p>
2
,
y
2
是函数
f
x
图象上的
1
．
2
两个点，且
线段
P
1
P
2
的中点
P
的横坐标为
< br>（Ⅰ）求证：点
P
的纵坐标是定值；
（Ⅱ）若数列
a
n
的通项公式为
n
a
< br>n
f
m
m
N
,
n
1
,2,
,
m
求数列
a
n
的前
m
项的和
S
m
。
（Ⅰ）证明：由题可知：
x
1
x
2
2
1
1
，所以，
2
1
1
4
x
1
4
x
2
4
y
1
y
2
f
x
< br>1
f
x
2
x
1
x
2
x
4
2
4
2
4
1
< br>
2
4
x
2
2
4
4<
/p>
4
4
4
4
1
4
x
1
x
2
2
4
x
1
4
x<
/p>
2
4
2
4
x
1
4
x
2
4
2
y
1
y
2
1
是定
值，问题得证．
2
4
x
1
x
2
x
1
x
2
点
P
的纵坐标
y
P
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：对任
意自然数
m
,
n
，
f
n
m
n
1
f
恒成立．
m
m
2
由于
S
< br>m
f
1
2
m
2
m
1
m
故可考虑利用倒写求和
f
<
/p>
f
f
f
，
m
m
m
<
/p>
m
m
的方法．即由于：
1
2
m
2
m
1
m
S
m
< br>
f
f
L
f
f
f
m
< br>
m
m
m
m
所以，
m
m
1
m
2
2
< br>
1
f
f
f
L
f
f
< br>
m
m
m
m
m
1
m
1
< br>
2
2
S
m
f
f
f
< br>m
m
m
1
1
m
1
2
f
(1)
3
m
1
< br>
2
6
所以，
< br>S
m
m
1
m
2
f
< br>
L
f
m
m
1
m
< br>f
2
f
m
m
1
3
m
1
12
例
3
．对于三次函数
f
x
ax
bx
cx
d
a
0
< br>，给出定义：设
f
'
x
是函数
3
2
y
f
x
的导数，
f
x
是
f
'
x
的导数，若方程
f
x
0
有实数解
x
0
，则称点
x
,
f
x
为函数
y
f
x
的
“
拐点
”
.
经过探究发现：任何一个三次
函数都有
“
拐点
”
；
0
0
任何一个三次函数都有对称
中心，且
“
拐点
”
就是对称中心
.
设函数
1
1
5
1
2
< br>
2018
g
g
g
x
x
3
x
2
3
x
<
/p>
，则
g
(
)
201
9
2019
2019
3
2
12
< br>
A
．
2016
分析：
1
3
1
2
5
函数<
/p>
g
x
x
x
3
x
，
3
2
12
B
．
2017
C
．
2018
D
．
2019
函数的导数
g
'
< br>x
x
x
3
，
g
'
x
2
x
1
，
2
由
g
'
< br>
x
0
0
得
2
x
0
1
0
，
解得
x
0
1
1
，而
g
< br>1
，
2
2
1
故函数
g
x
关于点
,1
对称，
2
g
x
g
1
x
< br>2
，
故设
g
1
2
<
/p>
2018
g
...
g
m
，
2019
2019
2019
则
g<
/p>
2018
2017
1
g<
/p>
...
g<
/p>
m
，
2019
2019
20
19
两式相加得
2
2018
2
m
，则
m
2018
，故选
C.
题型三、
错位相减法
错位相减法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的
方法，
这种方法主要用于求数列
a<
/p>
n
b
n
的前
n
项和，其中
a
n
、
b
n
分别是等差数列和等比数列。
例
1
、求和
S
n
解：
S
n<
/p>
3
5
7
2
n
1
2
2
n
2
2
2
2
< br>3
5
7
2
n
1
2
2
n
，
①
2
2
2
2
1
3
5
7
2
n
1
S
n
< br>
2
3
4
n
1
，
②
2
2
2
2
2
①
②，得
1
3
2
2
2
2
n
< br>
1
S
n
2
3
n
n
1
2
2
2
2
2
2
3
1
2
n
< br>1
=
(1
n
1
)
n
1
2
2
2
5
1
2
n
1
=
n
1
n
1
.
2
< br>2
2
1
2
n
1
2
n
5
故
S
n
5
n
2
5
.
< br>
n
n
2
2
2
2
3
n
1
例
2
、
求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
< br>x
(
2
n
1
)
x
………
①
解：
由题可知，
(2
n
1)
x
n
1
的通项是等差数列
2
n
1
< br>
的通项与等比数列
x
n
1
的
2
3
4
n
通项之积，设
xS
n
1
x
3
x
5
x
7
x
(
2
n
<
/p>
1
)
x
……
②
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2
x
<
/p>
2
x
(
2
n
1
)
x
1
x
n
1
(
2
n<
/p>
1
)
x
n
再利用等比数
列的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
< br>
1
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
< br>)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
(
1
x
)
2
例
3
．
已知递增等比数列
<
/p>
a
n
，
a
1
1
，
且
a
1
，
a
2
2
，
a
3
成等差数列，
设数列
b
n
的前
n
2
项和为
S
n
，点
P
n
< br>,
S
n
在抛物线
y
=
x
上．
（
1
）求数列
a
n
，
b
n
的通项公式；
< br>（
2
）设
c
n
取值范围．
2
解：<
/p>
（
1
）由
a
1
a
3
2(
a
2
2)
即
q
2
q
< br>3
0
可得
q
3
或
q
1<
/p>
．
b
n
*
，数列
c
n
的前
n
项和为
T
n
，若
T
n
2
a
1
n
N
恒成立，求实数
a
的
a
n
因为数列
a
n
为递增等比数列，所以
q
3
，
a
1
1
．<
/p>
故
a
n
是首项为
1
，公比为
3
的等比数列．所以
a
n
3
< br>n
1
．
2
2
由点
P
n
,
S<
/p>
n
在抛物线
y
=
x
上，所以
S
n
n
<
/p>
b
n
S
n
S
n
1
2
n
1(
n
< br>
2)
验证当
n
1
时，
b
1
S
1
1
也
成立
故
b
n
2
n
1
（
2
）因为
c
n
所以
T
n
b
n
2
n
1
n
1
a
n
3
1
3
5<
/p>
2
n
1
L
，
3
0
3
1
3
2
3
n
1
1
1
3
5<
/p>
2
n
3
2
n
1
T
n
1
2
3
L
n
1
n
．<
/p>
3
3
3
3
3
3
两式相减有<
/p>
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
n
1
T<
/p>
n
1
2
L
n
1
n
1
2
1
3
3
3
3
3<
/p>
1
3
n
1
2
n
1
3
n
1
2
<
/p>
3
n
1
2
n
1
．
n
3
所以，
T
n
3
1
2
n
1
n
1<
/p>
3
．
2
3
n
2
2
3
n
1
3
n
1
n
2<
/p>
n
1
2
n
1
T
n
1
T
n
(
3
n
)
(3
n
1
)
n
0
3
3
3
故数列
T
n
单调递增，又
T<
/p>
n
3
若
T
n
2
a
1
恒成立，则
3
2
a
1
．
解得：
a
2
，所以，实数
a<
/p>
的取值范围是
a
a
2
．
题型四
、
裂项相消法
裂项法的实质是将数列
中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达
到求和的目的通项分
解（裂项）
1
、乘积形式，如：
（
1
）
、
a
n
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1
(
2
n
< br>)
2
1
1
1
1
(
)
（
2
）
、
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
<
/p>
1
（
3
）
、
a
n
1
1
1
1
[
]
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
n
2
1
2
(
n
1
)
<
/p>
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
n
n
1
n
n<
/p>
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(
n
1
)
2
(
n<
/p>
1
)
2
（
4
）
、
a
n
2
、根式形式，如：
a
n
1
n
1
n
n
1
< br>
n
3
、三角函数型
sin
1
tan(
n
< br>
1
)
tan
n
cos
n
cos(
n
1
)
例
1
、
设
定<
/p>
义
在
R
上
的
函
数
f
(
x
)
对
任
意
实
数
x
1
,
x
2
满
足
关
系<
/p>
式
f
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
2,
对正整数
n
,
令
a
n
f
(
n<
/p>
),
且
a
1
1
，
设
b
n
a
n
a
n
< br>1
，
求数列
1
< br>{
}
的和
S
n
b
n
解：由题设有
f
(
n
1)
f
(
n
)
f
(1)
2
f
(
n
)
a
1
2
f
(
n
)
< br>
3
即
a
n
1
a
n
3.
所以数列
{
a
n
}
是以
1
为首项，
3
为公差的等差数列
从而
a
n
1
(
n
1)
3<
/p>
3
n
2
，于是
b
n
(3
n
2)(3
n
1).<
/p>
因为
1
1
1
1
(
)
b
n
3
3
n
< br>
2
3
n
1
所以
S
n
[(1
)
(
)<
/p>
L
(
1
3
1
4
1
1
4
7
1
1
1
1
n
)]
=
(1
)
<
/p>
=
3
n
2
3
n
1
3
3
n
1
3
n
1
例
2
．已知数列
{a
n
}
< br>为等比数列，
a
1
=2
，公比
q>0
，且
a<
/p>
2
,6,a
3
成
等差数列
.
（
Ⅰ
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）设
b
n
log
2
a
n
,
T
n
分析：
（
Ⅰ
）数列
{
a
n
}
为等比数列，
a
1
＝
2
，公比
q
＞
0
，且
a
2
，
6
，
a
3
成等差数列．
1
1
1
1
99
...
,
求使
T
n
< br>的
n
的最大值
.
b
1
b
2
< br>b
2
b
3
b
3
b
4
b
n
b
n
1
100
故：
12
＝
2
q
+2<
/p>
q
2
，
解得：
q
＝
2
或﹣
3
（负值舍去）
，
n
1<
/p>
n
故：
a
n
2
2
2
．
（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）得：
b
n
＝
log
2
a
n
＝
n
，
< br>1
1
1
1
所以：
，
b
n
b
n
1
n
n
1
n
n
1
所以：
T
n
＝
1
< br>1
1
1
1
L
，
b
1
b
2
b
2
b
3
b
3
b
4
b
n
< br>b
n
1
1
1
1
1
1
L
，
2
2
3
n
n
1
< br>n
，
n
1
99
n
99
＜
的
n
的
最大值为：
，
100
n
1
100
所以：使
T
n
＜
解得：
n
＜
99
，
故：
n
的最大值为
98
．
例
3.
已知各项都是正数的数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
< br>a
n
2
1
a
n
，
n
N
*
．
2
1
求数列
a
n
的通项公式；
<
/p>
2
设数列<
/p>
b
n
满足：
b
1
1
，
b
n
b
n
1
2
a
n
n
2
，数列
T
n
2
．<
/p>
1
的前
n
项和
T
n
.
求证：
b
n
3
若
T
n
n
4
对任意
n
N
*
恒成立，求
的取值范围．
分析：
（
Ⅰ
）
由和项
求数列通项，
注意分类讨论：
当
，
得
，
当
时，
，得数列递推关系式，因式分解可得
1
，根据
等差数列定义
(
n
< br>1)(
n
3)
得数列通项公式
1
（
Ⅱ
）因为
n
(
n
2)
，所以利用叠加法求通项公式：
1
，因此
(
n
1)(
n
3)
，从而利用裂项相消法求和得
，即证得<
/p>
恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由
（
Ⅲ
）不等式
得
，而
有最大值
，所以
试题解析：
（
1
）
时，
是以
为首项，
为公差的等差数列
…4
分
（
2
）
，
，即
……
……………9
分
（
< br>3
）由
得
，
当且仅当
时，
有最大值
，
………………………………14
分
例
4
．已知数列
a
n
满足
a
n
0
< br>，
a
1
n
1
式为
b
n
3
．若
数列
c
n
的满足
c
n
a
n
1
1
1
3
a
n
1
．等比数列
b
n
的通项公
，且
a
3
n
a
n
b
n
，则数列
c
n
的前
n
项和为
2
n
2
______________
．
分析：
a
n
1
1
1
1
3
a
n
1
，故
a
n
1
a
n
3
a
n
a
n
1
，故
a
n
1
a
n
3
a
n
a
n
1
< br>，故
3
．
a
n
a
n
1
a<
/p>
n
1
故数列
是以
3
为首项，
3
为公
差的等差数列；
a
n
1
3
3(
n
1)
3
n
，故
a
n
1
，
故
a
n
3
n
令
d
n
a
n
1
1
< br>1
1
1
1
，
2
n
2
3
n
(2
n
2)
6
n
(
< br>n
1)
6
n
n
1
n
1
<
/p>
1
n
3
1
故数列
d
n
的前
n
项和为
1
，而数列
b
n
的前
n
项和为
，
6
n
1
< br>6
n
6
2
n
n
3
1
由分组求和法可知，数列
c
n
的前
n
项和为
．
6
n
6
2
n
3
n
1
.
故答案为：
6
n
< br>
6
2
例
5
．设等差数列
a
n
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，且
a
2
4
，
S
5
30
.
数列
b
n
满足
b
1
0
，
b
n
2
b
n
1
1
，
< br>（
n
N
，
n
2
）
，
（
1
）求数列
a
n<
/p>
的通项公式；
（
2
）设
c
n
b
n
<
/p>
1
，求证：
c
n
是等比数列，且
< br>
b
n
的通项公式；
（
3
）设数列
d
n
满足
d
n
分析：
（
1
）由
a
2
<
/p>
a
1
d
4
，
S
5
5
a
1
∴
a
n
2
2
n
1<
/p>
2
n
；
（
2
）
∵
b
n
2
b
n
1
1
，
c
n
b<
/p>
n
1
，
∴
4
b
n
，求
d
n
的前
n
项和为
T
n
.
a
n
a
< br>n
1
5
4
d
3
0
得：
a
1
2
，
d
2
，
2
c
n
b
1
2
b
< br>n
1
1
n
2
（
n
2
，
n
N
）
，
c
n
< br>1
b
n
1
1
b
n
1
1
∴
c
n
是以
2
为公比的等比
数列，
又
∵
c
1
b
1<
/p>
1
1
，
n
1
n
1
∴
c
n
b
n
1
1
2
<
/p>
2
，
n
1
∴
b
n
2
1
；
（
3
）
∵
d
n
4
4
1<
/p>
1
n
1
b
n
2
n
1
1
2
1<
/p>
，
a
n
a
n
1
2
n
2
n
1
n
n
1
∴<
/p>
T
n
1
1
1
1
1
1
2
n
<
/p>
1
<
/p>
1
2
2
2
n
2
2
3
n
n
1
1
1
<
/p>
2
n
1
n
n
1
1
2
2
n
n<
/p>
1
.
n
1