专题6.4 数列求和(重难点突破)(解析版)
茂名放鸡岛-
专题
6.4
数列求和
一、考情分析
1.
< br>熟练掌握等差、等比数列的前
n
项和公式；
2.
掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见
方法。
二、经验分享
考点一
求
数列的前
n
项和的方法
n
（
a
1
< br>＋
a
n
）
n
（
n
－
1
）
(1)
公式法
①等差数列的前
n
项和公式，
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
．
2
2
a
1
（
1
－
q
n
）
a
1
－
a
< br>n
q
②等比数列的前
n
项和公式
(
ⅰ
)
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
(
ⅱ
)
当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
(2)
分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比
数列，再求解．
(3)
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)
倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推
导过程的推广．
(5)
错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列
的求和，即等比数列求和
公式的推导过程的推广．
考点二
常见的裂项公式
(1)
(2)
(3)
1
1
1
＝
－
.
n
（
n
＋
1
）
n
n
＋
1
1
1
1
1
＝
< br>
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
.
<
/p>
（
2
n
－
1
）（
2
n
＋
1
）
2
1
n
＋
< br>n
＋
1
＝
n
＋
1
－
n
.
三、题型分析
重难点题型突破
1
分组转化求和
a
n
＋
2
，
n
是奇数，
例
1
、
(2020·
信阳模拟
)
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
a
2
＝
1
，
< br>a
n
＋
2
＝
则数列
{
a
n
}
的前
20
项和为
2
a
n
，
n
是
偶数，
(
)
A
．
1121
C
．
1123
【答案】
C
【解析】由题意知，数列
{
a
2
n
}
是首项为
1<
/p>
，公比为
2
的等比数列，数列
{
a
2
n
－
1
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差
1×
1
－
2
10
10×
9
数列，故数列
{
a
n
}
的前
20
项和为
＋
10×
1
＋
×
2
＝
1123.
2
1
－
2
【变式训练
1-1
】
、
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
< br>，
a
2
＝
2
，
a
n
＋
2
－
a
n
＝
1
＋
(
－
1)
n
，
n
∈
N
*
，则
S
60
的值为
(
)
A
．
990
C
．
1 100
【答案】
A.
【解析】
：
n
为奇数时，
a
n
＋
2
－
a
n
＝
< br>0
，
a
n
＝
2
；
n
为
偶数时，
a
n
＋
2
－
a
n
＝
2
，
a
n
＝
n
.
故
S
60
＝
2×
30
＋
(2
＋
4
＋
…
＋
60)
＝
990.
a
n
2
，
a
n
是偶数，
【变式训练
1-2
】
、
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正整数，其前
n
项和为
S
n
，若<
/p>
a
n
＋
1
＝
且
3
a
n
＋
1
，
a
n
是奇数，
a
1
< br>＝
5
，则
S
2020
＝
(
)
A
．
4740
C
．
12095
【答案】
B
a
n
2
，
a
n
是偶数
，
16
8
4
【
解析】
依题意
a
n
＋
1
＝
且
a
1
＝
5<
/p>
，
a
2
＝
3×
5
＋
1
＝
16
，
a
3
＝
＝
8
，
a
4
＝
＝
4
，
a
5
＝
＝
2
，<
/p>
2
2
2
3
a
n
＋
1
，
a
n
是奇数，
2
a
6
＝
＝
1
< br>，
a
7
＝
3×
1
＋
1
＝
4
，
…
所以
数列
{
a
n
}
从第四项起构成周期为
3
的周期数列．
因为
2020
＝
3
＋
3×
672
＋
1
，
2
所以
S
2020
＝
5
＋
16
＋
8
＋
(4
＋
2
＋
1)×
672
＋
4
＝
4737.
【变式训练
1-3
】
、
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足，
a
n<
/p>
＋
1
＋
a
n
＝
4
n
－
3(
n
∈
N
*
)
．
< br>
(1)
若数列
{
a
n
}
是等差数列，求
a
1
的值；
B
．
1122
D
．
1124
B
．
1 000
D
．
99
B
．
4737
D
．
12002
(2)
当
a
1
＝
2
时，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
【答案】见解析
【解析】
(1)
解法一：∵数列
{
a
n
}
是等差数列，
∴
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
，
a
n
＋
1
＝
a
1
＋
nd
.
由
a
n
＋
1
＋<
/p>
a
n
＝
4
n
－
3
，得
a
1
＋
nd
＋
a
1
＋
(
n
－
1)
< br>d
＝
4
n
－
3
，
∴
2
dn
＋
(2
a
1
－
d
)
＝
4
n
－
3
，
1
即
2
d
< br>＝
4,2
a
1
< br>－
d
＝－
3
，解得
d
＝
2
，
a
1
＝－
.
2
解法二：在等差数列
{
a
n
}
中，
由
a
n
＋
1
＋
a
< br>n
＝
4
n
－
3
，得
a
n
＋
2
＋
a<
/p>
n
＋
1
＝
4(
n
＋
1)
－
3
＝
4
n
＋
1
，
∴
2
d
＝
a
n
＋
2
－
a
n
＝<
/p>
4
n
＋
1
－
(4
n
－
3)
＝
4
，∴
d
＝
2.
1
又
a
1
＋
a
2
＝
2
< br>a
1
＋
d
＝
2
a
1
＋
2
＝
1
，∴<
/p>
a
1
＝－
. <
/p>
2
(2)
由题意知，①当
n
为奇数时，
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
＝
a<
/p>
1
＋
(
a
2
＋
a
3
)
＋
(
a
4
＋
a
5
)
＋
…
＋
(
a
n
－
1<
/p>
＋
a
n
)
n
－
1
2
n
2
－
3
n
＋
5
＝
< br>2
＋
4[2
＋
< br>4
＋
…
＋
(
n
－
1)]
－
3×
＝
.
2
2
②当
n
为偶数时，
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋<
/p>
…
＋
a
n
＝
(
a
1
＋
a
2
)
＋
(
a
3
＋
a
4
)
＋
…
＋
(
a<
/p>
n
－
1
＋
a
n
)
2
n
2
－
3
n
＝
1
＋
< br>9
＋
…
＋
(4
n
－
7)
＝
.
2
综上，
S
＝
2
n
－
3
n<
/p>
2
，
n
为偶数
.
n
2
2
n
2
－
3
n
＋
5
，
n
为奇数，
2
重难点题型突破
2
错位相减法求和
3
< br>a
n
－
1
例
2
．
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
n
＝
.
2
(1)
求
a
n
；
<
/p>
(2)
若
b
n<
/p>
＝
(
n
－
1)
a
n
，且数列<
/p>
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
.
【答案】见解析
【解析】
：
(1)
由已知可得，
2
S
n
＝
3
a
n
－
1
，①
所以
2
S
n
－
< br>1
＝
3
a
n
－
1
－
1
(
n
≥2)
，②
①－②得，
2(
S
n
－
S
n
－
1
)
＝
3
a
n
－
3<
/p>
a
n
－
1
，