高考数学《数列》专题 数列求和学案
依恋歌词-
第
5
课时
数列求和
基础过关
求数列的前
n
项和，一般有下列几种方法：
1
．等差数列的前
n
项和公式：<
/p>
S
n
＝
＝
．
2
．
等比数列的前
n
项
和公式：
① 当
q
< br>＝
1
时，
S
n
＝
．
② 当
q
≠1
时，
S
n
＝
．
3
．
倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数
列
相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公
因子可提的数列求
和．
4
．
错
位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
5
．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．
典型例题
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
例
1.
已知数列：
1
，
1
，
< br>
1
，
1
，…，
1
n
1
，求它的前
n
2
2
4
2
4
8
< br>
2
4
2
项的和
S
n
．
解：
∵ a
n
＝
1
＋
＋
1
1
2<
/p>
1
1
＋……＋
n
1
4
2
1
n
1
1
＝
2
2
< br>1
n
∴a
n
＝
2
－
n
1
1
2
<
/p>
2
1
2
则原数列可以表示为：
< br>1
1
1
1
1
1
(2
－
1)
，
2
，
2
< br>
2
，
2
3
，…
2
<
/p>
n
1
前
n
项
和
S
n
＝
(2
－
1)
＋
2
＋
2
2
＋
…
2<
/p>
2
2
2
2
2
＋
2
1
<
/p>
2
n
1
＝
2n
－
1
1
< br>2
1
1
2
2
2
n
1
1
n
1
＝
2n
－
2
＝
2n
－
2
< br>
1
n
1
2
1
2
1
＝
1
2
n
1
＋
2n
－
2
变式训练
1.
数列
1
,
2
1
2
1
1
1
,
3
,
4
,
前
n
项的和为
< br>
（
）
4
8
16
1
n
2
n
1
n
2
n
A
．
n
B
．
< br>n
1
2
2
2
2
1
n
2<
/p>
n
1
n
2
n
C
．
n
D
．
n
1
2
2
2
< br>2
答案
:B
。解析：
S
1
2
3
4
n
n
1
2
1<
/p>
2
2
1
n
(
n
1)
1
1
2
< br>n
2
2
n
例
2.
求
S
n
＝
1
＋<
/p>
解
：∵ a
n
＝
＝
2(
1
1<
/p>
1
＋
＋…＋
．<
/p>
1
2
1
2
3
1
2
3
...
n
2
1
＝
1
2
3
<
/p>
n
n
(
n
1
)
1
1
－
)
n
n
1
< br>∴ S
n
＝
2(1
－
＋
－
＋…＋
1
2
1
2
< br>1
3
1
1
2
n
－
)
＝
n
n
1
n
1
变式训练
2
：数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
A
．
11
B
．
99
C
．
120
D
．
121
解：
C .a
n
＝
1
n
n
1
1
n<
/p>
n
1
，若前
n
项之和为
1
0
，则项数
n
为（
）
＝
n
1
n
，
∴S
n<
/p>
＝
n
1
1
，由
n
1
1
＝
10
，∴
n
1
＝
11
，
∴n＝
11
例
3.
设等差数列
< br>{a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，且
S
n
＝
(
n
项和
T
n
．
解：
取
n
＝
1
，则
a
1
＝
(
又
S
n
＝
a
1
1
2
)
a
< br>1
＝
1
2
a
n
1
2
n
)
(
n<
/p>
N
*
)
，
b
n
＝
a
n
·2
，求数列
{b
n
}
的前
2
n
(
a
1
a
n
)
n
(
a
a
)
a
1
可得：
1
n
＝
(
n
)<
/p>
2
2
2
2
*
∵a
n
≠－1(n∈N
) ∴a
n
＝
2n
－
1
∴T
n
＝1·2＋3·2
＋5
·2
＋……＋
(2n
－1)·2
2T
n
＝1·2
＋3
·2
＋5·2
＋……＋
(2n
－1)·2
①－②得：
∴－
T
n
＝
2
＋
2
＋
2<
/p>
＋
2
＋……＋
2
3
4
5
n
＋
1
2
3
4
2
3
n
①
n
＋
1
②
－
(2n
－1)·2
n
＋
1
2
3
(
1
2
n
1
)
n
＋
1
n
< br>＋
2
＝
2
＋
－
(2n
－1)·2
＝－
6
＋
(1
－n)·2
1
2
∴T
n
＝
6
＋
(n
－1)·2
n
＋
2
2
变式训练
3.
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝
2n
，
{b
n
}
为等比
数
列，且
a
1
＝
b
1
，
b
2<
/p>
(a
2
－
a
1
)
＝
b
1
.