高考数学 题型全归纳 数列求和的若干常用方法
日晚倦梳头-
数列求和的若干常用方法
数列求和是数列的重
要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列
有求和公式外，大
部分数列的求和都需要一定的技巧
.
如某些特殊数列的求和可采
用分部求和
法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法
、组合化归法，
递推法等。本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法
所谓分
组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列
适当拆开
，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
S
2
a
1
b
3
,
b
<
/p>
a
b
(
n
N
)
.
n
n
1
n
1
< br>n
n
例
1
．数列
{an}
的前
n
项和
，数列
{bn}
满
（Ⅰ）证明数列
{an}
为等比数列；
（Ⅱ）求数列
{bn}
的前
n
项和
Tn
。
S
2
a
1
,
n
N
,<
/p>
S
n
1
2
a
n
1
1
，
n
n
解析：
（Ⅰ）由
a
2
a
< br>
2
a
,
a
2
a
,
n
N
.
同
a
1
1
知
a
n
0
，
< br>
n
1
n
1
n
n
1
n
两式相
减得：
a
n
1
2<
/p>
,
{
a
}
a
n
同定义知
n
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列
.
n
1
n
1
a
2
,
b
2<
/p>
b
n
n
n
1
（Ⅱ）
b
n
1
b
n
2
n
1
,
b
2
b
1
2
0
,
b
3
b
< br>2
2
1
,
b
4
b
3
2
2
,
等式左、右两边分别相加得：
n
2
b
n
b
< br>n
1
2
n
2
,
0
1
b
n
b
1
2
2
2
1
< br>
2
n
1
3
2
n
1
2
,
1
2
T
n
(
2
< br>0
2
)
(
2
1
2
)
(
2
2
2
)
(
2
n
< br>1
2
)
(
2
0
2
1
2
2
2
n
1
)
2
n
< br>
1
2
n
2
n
2
n
2
n
1
.
=
1
2
已知等差数列
a
n
的首项为
1
，前
10
项的和为
145
，求：
a
2
a
4
10
9
d
145
d
3
2
则：
<
/p>
a
2
n
.
解析：首先由
S
10
10
a
1
a
n
a
1
(
n
1
)
d
3
< br>n
2
a
2
n
3
2
n
2
a
2
a
4
a
2
< br>n
3
(
2
2
2
2
n
)
2
n
2
(
1
2
n
)
< br>3
2
n
3
2
n
1
2
n
6
1
2
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项
（通项）
分解，
- 1 -
然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
. <
/p>
通项分解（裂项）如：
（
1
）
(
2
n
< br>)
2
1
1
1
1
1
1
a
n
1
(
)
a
n
(
2
n
< br>
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1<
/p>
2
n
1
n
(
n
1
)
n
n
1
（
2
）
a
n
（
3
）
1
1
1
1
< br>[
]
n
(
n
1
)
(
n
2
)<
/p>
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
< br>等。
2
1
2
n
b
n
a
n
<
/p>
a
n
a
n
1
，
n
1
n
1
n
1
例
3.
在数列
{an}
中，
< br>，又
求数列
{bn}
的前
n
项的和
.
解析：
∵
a
n
1
2
n
n
n
< br>1
n
1
n
1
2
∴
b
n
2
1
1
8
(
)
n
< br>n
1
n
n
1
2
2
∴
数列<
/p>
{bn}
的前
n
项和
1
1
1
1
1
1
1
S
n
8
[(
1
)
(
)
(
)
(
)]
2
2
3
3
4
n
n
1
8
(
1
＝
1
8
n
)
n
1
＝
n
1
例
4
．设｛
an<
/p>
｝是正数组成的数列，其前
n
项和为
Sn
，并且对所有自然数
n
，
an
与
2
< br>的等差
中项等于
Sn
与
2
的等比中项
.
<
/p>
(1)
写出数列｛
an
< br>｝的前三项；
(2)
求数列｛
a
n
｝的通项公式
(
写出推证过程
)
；
1
(3)
令
bn=
2
a
n
1
a
n
a
a
n
1
n<
/p>
(n
∈
N)
，求
：
b
1+b2+…+bn
-n.
解析：
(1)
略；
(2) an=4n-2.
；
(3)
令
cn=bn-1,
1
则
cn=
2
a
n
1
1
2
n
1<
/p>
2
n
1
a
n
1
1
2
1
1<
/p>
a
a
2
n
1
2
n
1
=
2
n
1
2
n
1
n
1
n
< br>=
2
b1+b2+…+bn
-
n=c1+c2+…+cn
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
2
< br>n
1
2
n
1
2
n
1
=
3
3
5
评析：
一般地，
若数列<
/p>
a
n
为等差数列，
且公差不为
0
< br>，
首项也不为
0
，
则求和：
i
1
a
a
i
n
1
i
1
首
1
a
a
先
考<
/p>
虑
i
1
i
i
1
n
n
1
1
1
1
1
1
1
n
(
)
(
)
<
/p>
a
i
1
则
i
1
a
i
a
i
1
=
d
a
1
a
n
1
a<
/p>
1
a
n
1
。
下
列
求
和
：
i
1
d
a
i
n
i
1
n
1
a<
/p>
i
a
i
1
也可用裂项求和法。
- 2 -