高考数学难点突破 难点13 数列的通项与求和
火了火了火-
难点
13
数列的通项与求和
数列是函数概念的
继续和延伸，
数列的通项公式及前
n
项
和公式都可以看作项数
n
的函
数，是函
数思想在数列中的应用
.
数列以通项为纲，数列的问题，最终归
结为对数列通项的
研究，
而数列的前
n
项和
S
n
可视
为数列
{
S
n
}
的通项。
通项及求和是数列中最基本也是最重要
的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，
本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法
.
●难点磁场
(
★★★★★
)
设
{
< br>a
n
}
是正数组成的数列，其前
n
项和为
S
n
，并且对于所有的自然数
n
，
a
n
与
2
的等差中项等于
S
n
与
2
的等比中项
.
(1)
写出数列
{
a
< br>n
}
的前
3
项
.
(2)
求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
(
写出推证过程
)
a
1
a
(3)
令
b
n
=
(
n
1
n
)
(
n
∈
N
*
< br>)
，求
lim
(
b
1
+
b
2
+
b
3
+
„
+
b<
/p>
n
－
n
). <
/p>
2
a
n
a
n
1
n
●案例探究
［例
1
］已知数列
{
a
n
}
是公差
为
d
的等差数列，数列
{
b
n
}
是公比为
q
的
(
q
∈
R
且
q
≠
1)
的等比数列，若函数
f
(
x
)=(
x
－
1)
2
，且
a
1
=
f
(
d
－
1)
，
a
3
=
f
(
d
+1)
，
b
1
=
f
(
q
+1)
，
b
3
=
f
(
q
－
1)
，
(1)
求
数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
设数列
{
c
n
}
的前
n
项和为
S
n
，对一切
n
∈
N
*
，都有
c
c
1
c
1
n
=
a<
/p>
n
+1
成立，求
b
1
b
2
c<
/p>
n
n
lim
S
2
n
1
.
S
2
n
命题意图：
本题主
要考查等差、
等比数列的通项公式及前
n
项和公式、
数列的极限，以
及运算能力和综合分析问题的能力
.
属★★★★★级题目
.
知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而
(2
)
中条件等式
的左边可视为某数列前
n
项和，
实质上是该数列前
n
项和与数列
{
a
n
}
的关系，
借助通项与前
n
项和的关系求解
c
n
是该条件转化的突破口
.
错解分析：本题两问环
环相扣，
(1)
问是基础，但解方程求基本量
< br>a
1
、
b
1
、
d
、
q
，计算
不准易出错；
(2)
问中对条件的正确认识和转化是关键
.
技巧与方
法：本题
(1)
问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然
，
(2)
问“借鸡生
蛋”构造新数列<
/p>
{
d
n
}
，运用和与通项的关系求出
d
n
，丝丝入扣
.
解：
(1)
∵
a
1
=
f
(
d
－
1)=(
d
－
2)
2
，
a
3
=
f
(
d
+1)=
d
2
，
∴
a
3
－
a
1
=
d
2
－
(
d
－
2)
2
=
2
d
，
∵<
/p>
d
=2
，∴
a<
/p>
n
=
a
1
+(
n
－
1)
d
=2(
n
－
1)
；又
b
1
=
f
(
q
+1)=
q
2
，
b
3
=
f
(
q
－
1)=(
q
－
2)
2
，
b
3
< br>(
q
2
)
2
2
∴
=
q
，由
q
∈<
/p>
R
，且
q
≠
1
，得
q
=
－
2
，
b
1
q
2
∴
b
n
=
b
·
q
n
1
=4
·
(
－
2)
n
1<
/p>
－
－
(2)<
/p>
令
c
n
=
d
n
，则
d
1
+
d
2
+
„
+
d
< br>n
=
a
n
+1
,(
n
∈
N
*
),
b
n
∴
d
n
=
a
n
+1
－<
/p>
a
n
=2,
∴
c
n
8
－
=2,
即
c
n
=2
·
b
n
=8
·
(
－
2)
n
1
；∴
S
n
=
［
1
－
(
－
< br>2)
n
］
.
< br>b
n
3
∴
S
2
n
1
1
(
2
)
S
2
n
1
(
2
)
< br>2
n
2
n
1
1
(
)
2
n
2
S
2
,
lim
2
n
1
2
1
n
< br>
S
2
n
(
)
2
n
1
2
［例
2
］设
A
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
A
n
=
3
(
a
n
－
1)
，数列
{
b
n
}
的通项公式为
b
n
=4
n
+3;
2
(1
)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
把数列
{
a
n
}
与
{
< br>b
n
}
的公共项按从小到大的顺
序排成一个新的数列，证明：数列
{
d
n
}
的
通项公式为
d
n
=3
2
n
+1
;
(3)
< br>设数列
{
d
n
< br>}
的第
n
项是数列
{
b
n
}
< br>中的第
r
项，
B
r
为数列
{
b
n
}
的前
r
< br>项的和；
D
n
为数列
{
d
n
}
的前
n
项和，
T
n
=
B
r
< br>－
D
n
，求
lim
n
T
n
.
(
a
n
)
4
命
题意图：本题考查数列的通项公式及前
n
项和公式及其相互关系
；集合的相关概念，
数列极限，以及逻辑推理能力
.
知识依托：利用项与和的关系求
a
n
是本题的先决；
(2)
问中探寻
< br>{
a
n
}
与
{
b
n
}
的相通之处，
须借助于二项式定理；而
(3)
问中利用求和公式求和则是最基本的知识点
.
错解分析：
待证通项
d
n
=3
2
n
+
1
与
a
n
的共
同点易被忽视而寸步难行；
注意不到
r
与
n
的关
系，使
T
n
中既含有
n
，又含有
r
，会使所求的极限模糊不清
.
技巧与方法：
(1)
问中项与
和的关系为常规方法，
(2)
问中把
3
拆解为
4
－
1
，再利用二项
式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔
；
(3)
问中挖掘出
n
与
r
的关系，正确表
示
B
r
，问题便可迎刃而解
.
解：
(1)
由
A
n
=
∴
a
n
+1
－
a
n
=
3
3
(
a
n
－
1)
，可知
A
n<
/p>
+1
=
(
a
n
+1
－
1)
，
2
2
a
3
3
(
a
n
+1
－
a
n
)
，即
n
1
=3
，而
a
1
=
A
1
=
(
a
1
－
1)
，得
a
1
=3
，所以数列是以
3
a
n
2
2
为首项，公比为
3
的等比数列，数列
{
a
n
}
的通项
公式
a
n
=3
n
.
2n
1
2n
n
1
(
2)
∵
3
2
n
+1
=3
·
3
2
n
=3
·<
/p>
(4
－
1)
2<
/p>
n
=3
·
［
4
2n
+C
1
(
－
1)+
„
+C
2
2
n
·
4
·
(
－
1)+(
－
1)
］
2
n
·
4
－
=4
n
+3
，
n
1
∴
3
2n
+1
∈
{
b
n
}.
而数
3
2n
=(4
－
< br>1)
2n
=4
2n
+C
1
4
2n
1
·
(
－
< br>1)+
„
+C
2
4
·
(
－
1)+(
－
1)
2n
=(4
k
+1)
，
2
n
·
2
n
·
－
< br>∴
3
2n
{
b
n
}
，而数列
{
a
n
}={
a
2
n
+1
}
∪
{
a
2
n
}
，∴
d
n
=3
2n
+1
.
3
2
n
1
3
(3)
由
3
=4
·
r
+3
，可知
r
=
，
4
r
(
7
4
r
3
)
3
< br>2
n
1
3
3
2
n
1
7
27
27
n
r
(
2
r
5
)
,
D
n
< br>
(
1
9
n
)
(
9
1
)
，
∴
B
r
=
2
4
2
1
< br>9
8
2n
+1
< br>9
2
n
1
4
3
2
n
1
21
27
n
T
n
B
r
D
n
(
< br>9
1
)
8
8
9
11
3
3<
/p>
4
n
3
2
n
,
(
a
n
)
4
3
4
n
,
8
8
4
T
9
<
/p>
lim
n
4
<
/p>
n
(
a
n
)
8
●锦囊妙计
1.
数列中
数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同
.
因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性
.
S
1
,
n
1
2
.
数列
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
与通项<
/p>
a
n
的关系式：
a
n
=
<
/p>
S
S
,
n
2
n
1
n
3.
求通项常用方法
①作新
数列法
.
作等差数列与等比数列
. <
/p>
②累差叠加法
.
最基本形式是：
a
n
=(
a
n
－
a
n
－
1
+(
a
< br>n
－
1
+
a
n
－
2
)
+
„
+(
a
2
－
a
1
)+<
/p>
a
1
.
③归纳、猜想法
.
4.
数列前
n
项和常用求法
①重要公式
1
n
(
n
+1)
2
1
1
2
+2
2
+
„
+
n
2
=
n
(
n
+1)(2
n
+1)
6
1
1
3
+2
3
+
„
+
n
3
=(1+2+
„
+
n
)
2
=
n<
/p>
2
(
n
+1)<
/p>
2
4
1+2+
„
+
n
=
②等差数列中
S
m
+
n
=
S
m<
/p>
+
S
n
+
mnd
，等比数列中
S
m
+
n
=
S
n
+
q
n
S
m
=
S
m
+
q
m
S
n
.
③裂项求和：将数
列的通项分成两个式子的代数和，即
a
n
=
f
(
n
+
1)
－
f
(
n
)
，然后累加时抵
消中间的许多项
.
应掌握以下常见的裂项：
1
1
1
1
< br>
,
n
n
!
(
n
1
)!<
/p>
n
!
,
ctg
α
ctg2
α
,
n
(
n
1
)
n
n
1
sin
2
1
1
1
< br>
1
r
1
r
C
n
C
n
C
n
,
等
n
(
n
1
)!
n
!
(
n
1
)!
④错项相消法
⑤并项求和法
数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法
.
●歼灭难点训练
一、填空题
1.(
< br>★★★★★
)
设
z
n
=(
则
lim
S
n
=_________.
< br>n
1
i
n
)
，
(
n
∈
N
*
)
，记
S
n
=
｜
z
2
－
z
1
｜
+
｜
z
3
－
z
2
｜
+
„
+
｜<
/p>
z
n
+1
－
z
n
｜，
2
2.(
★★★★★
)
作边长为
a
的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角
形，在
新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分
别为
_________.
二、解答题
3.(
< br>★★★★
)
数列
{
a
n
}
满足
a
1
=2
，对于任意的
n
∈
N
*
都有
a
n
＞
0,
且
(
n
+1)
a
n
2
+
a
n
·
a
n
+1
－
－
na
n
+1
2
=0
，又知数列
{
b
n
}
的通项为
b
n
=2
n
1
+1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
及它的前
n
项和
S
n
；
(2)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
；
(3)
猜想
S
n
与
T
n
的大小关系，
并说明理由
.
4.(
★★★★
)
数列
{
a
n
}
中，
a
1
=8,
a
4
=2
且满足
a
n
+2
=2
a
n
+1
－
a
n
,(
n
∈
N
*
).
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
S
n
=
｜<
/p>
a
1
｜
+
｜
a
2
｜
+
„
+
｜
a
n
｜
,
求
S
n
;
(3)
设
b
n
=
1
(
n
∈
N
*
),
T<
/p>
n
=
b
1
+
b
2
+
„„
+
b
n
(
n
∈
N
< br>*
),
是否存在最大的整数
m<
/p>
，使得对
n
(
1
2
a
n
)<
/p>
任意
n
∈
N
*
均有
T
n
＞
m
成立？若存在，求出
m
的值；若不存在，说明理由
.
32
5.(
★★★★★
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且
S
n
=(
m
< br>+1)
－
ma
n
.
对任意正整数
n
都成立，<
/p>
其中
m
为常数，且
m
＜－
1.
(1)
求证：
{
a
n
}
是等比数列；
(2)
设数列
{
a
n
}
的公比
q
=
f
(
m
)
，数列
{
b
n
}
满足：
b
1
=
1
a
1
,
b
n
=
< br>f
(
b
n
－
1
)(
n
≥
2,
n
∈
N
*
).
试问当
m
3
为何值时，
lim
(
b
n
lg
a
n
)
lim
3
(
b
1
b
2
b
2
b
3
b
n
1
b
n
)
成立？
n
n
< br>
6.(
★★★★★
)
已知数列
{
b
n
}
是等差数列，
b
1
=1,
b
1
+
b
2
+
„
+
b
10
=145.
(1)
求数列
< br>{
b
n
}
的通项
b
n
；
(2)
设数列
{
< br>a
n
}
的通项
< br>a
n
=log
a
(1+
1
)(
其中
a
＞
0
且
a
≠
1),
记
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和，
b
n
< br>试比较
S
n
与
< br>1
log
a
b
< br>n
+1
的大小，并证明你的结论
.
3
7.(
★★★★★
)
设数列
{
a
n
}
的首项
a
1
=1
，前
n
项和
S
n
满足关系式：
3
tS
n
－
(2
t
+3)
S
n
－
1
=3
t
(
t
＞
0,
n
=2,3,4
„<
/p>
).
(1)
求证：数列
{
a
n
}
是等比数列；
(2)
设数列
{
a
n
}
的公比为
f
(
t
)
，作数列
{
b
n
}
，使
b
1
=1,
b
n
=
f
(
通项
b
n
；
(3)
求和：
b
1
b
2
－
b
2
b
3
+
< br>b
3
b
4
－„
+
b
2
n
－
1
b
2<
/p>
n
－
b
2
n
b
2
n
+1
.
参考答案
难点磁场
1
b
n
1
)(
n
=2,3,4
„
)
，求数列
{
b
< br>n
}
的
a
1
2
2
S
1
，
S
1
=
a
1
，
2
a
2
a
< br>2
∴
1
2
a
1
，解得
a
1
=2.
当
n
=2
时，有
2
2
S
2
，
S
2
=
a<
/p>
1
+
a
2
，将
a
1
=2
代入，
2
2
a
2
整理得
(
a
2
－
2)
2
=16
，
由
a
2
＞
0
，
解得
a
2
=6.
当
n
=3
时，
有
3
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
，
将
a<
/p>
1
=2
，
2
S
3
，
2
解析：
(1)
由题意
，当
n
=1
时，有