数列求和与数列的极限专项训练
万圣节几月几号-
数列求和与数列的极限专项训练
【例题精选】：
2
，……
，－
100
的后
200
项和是
。
3
2
199
分析
：把问题改写成，求数列－
100
，……
，
200
，的前
200
项的和，
3
1
改写后的数列为首项是－
100
，公差是
的等差数列，其
200
项的和为
3
n
(
n
1
)
S
na
1
d
2
200
199
1
4
0100
200
< br>(
100
)
< br>
2
3
3
40100
< br>
答案：
。
3
例
1
：
等差数列
200
，
199
1
1
1<
/p>
例
2
：
求和：
x
x
2
2
……
x
n
n
x
x
x
1
1
1
解
< br>：所求的和
S
n
x
2
x
< br>4
……
x
2
n
2
4
<
/p>
……
2
n
＋
x
x
x
2
2
2
< br>2
2
……
2
n
项
当
x<
/p>
1
时，
S
n
n
n
2
n
4
n
< br>;
1
1
1
x
2
(
1
x
2
n
)
x
2
x
2
n
< br>
2
n
当
x
1
时，
S<
/p>
n
1
1
x
2
1
2
x
x
2
n
1
x
2
n
2
1
2
n
x
2
n
x
2
1
< br>
小结：
通过将式子展开、整理，将问题转化为两个等比数列和一个常数列的
和，在运用等比数列求和公式时要注意公比
q
1
的条件。
1
2
3
n
，
，
，…，
n
，…的前
n<
/p>
项和
S
n
，并证
明
2
S
n
<
/p>
4
。
2
4
8
2
n
1
1
n
·
，数列
n
分析：
由于
n
是等差数列，
n
是等比数列，因此，
2
2
n
2
例
3
：<
/p>
求数列
可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。<
/p>
1
2
3
n
解：
S
n
……
n
,
2
4
8
2
1
1
2
n
1<
/p>
n
S
n
……
n
n
1
2
< br>4
8
2
2
1
1
1
1
1
n
两式相减得
S
n
……
n
<
/p>
n
1
2
2
4
8
2
2
n
1
1
1
2<
/p>
2
n
1
2
n
1
1
2
1
n
1
n
n
1
2
2
< br>1
n
S
2
n
2
n
1
2
n
于是
S
n
2
，所以
2
S
n
2
2
4
.
例
4
：
数列
a
n
是首项为
3
，公差为
2
的等差数列，前
n
项和记为
S
n
，求
1
1
1
A
n
……
S
1
S
2
S
n
解：
由已知
a
1
3
，<
/p>
d
2
n
(
n
1
)
S
n
n
3
2
n
(
n
<
/p>
2
)
2
1
1
1
1
1
S
n
n
(
n
2
)
2
<
/p>
n
n
2
A
n
1
1
1
1
1
1
1
< br>
1
1
1
1
…
< br>
2
3
2
4
3
5
n
2
n
n
< br>
1
n
1
1
1
n
n
2
< br>1
1
1
1
1
2
2
n
1
n
2
3
n
2
< br>
5
n
4
(
n
1
)(
n
2<
/p>
)
例
5
：
求下列极限
2
2
n
1
（
1
）
lim
2
2
……
2
n
n
1
< br>n
2
n
1
1
1
1
（
2
）
lim
n
1
< br>1
……
1
n
3
4
n
2
1
1
1
< br>
1
（
3
）
lim
……
n
1
·
4
4
·
7
7
·
10
(
3
n
2
)(
3
n
1
)
< br>
n
n
3
(
2
)
（
4
）
lim
n
1
n
3
(
2
)
n
1
解：
1
< br>（
1
）原式
< br>lim
2
1
< br>
2
……
2
n
n
n
1
(
1
2
n
)
·
2
n
1
< br>
lim
2
< br>·
n
n
1
2
<
/p>
2
n
2
n
lim
2
n
n
1
1
2
n
2
< br>
lim
n
1
1
2
n
1
1
1
<
/p>
1
（
2
）
n
1
1
1
……
1
3
4
5
n
2
< br>
2
3
4
n
1
2
n
n
·
·
·
……
3
4
5
n
2
n
2
2
n
2
原式
lim
lim
2
n
n
2
n
2
1
n
1
1
1
1
（
3
）
……
1
·
4
4
·
7
7
·
10
(
3
n
2
)
(
3
n
1<
/p>
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
……
< br>
3
4
4
7
7
10
3
n
2
3
n
1
1
1
n
1
3
3<
/p>
n
1
3
n
1
n
1
1
lim
lim
n
3
n
1
n
1
3
3
n
（
4
）原式
lim
n
2
1
3
n
2
3
(
2
)
< br>
3
n
1
3
小结
：本
例（
1
）、（
2
）、（
3
）是分子，分母由多项式组成的分式的极限，
这类问题往往与数列求和、
求积相联系，
一般
应先对极限式子变形，
再运用极限
n
法
则求极限，（
4
）是
lim
q
类型的极限，这类问题要特别注意极限存在的条件。
n
n
·
3
n
1
例
6
：
若
lim
，则实数
x
的取值范围是
n
n
(
x<
/p>
2
)
n
n
3
n
1
3
n
3
。
分析：
将式子变形为
1
x
2
，则
1
，解得
< br>，若极限值为
n
3
3
1
x
2
3
3
n
1
<
/p>
1
x
5
。
答案：
1
x
5
。
例
7
：
已知数列
< br>a
n
，
b
n
都
是由正数组成的等比数列，公比分别为
p
，
q
，
其中
p
q
，且
p
1
，
q
<
/p>
1
，设
c
n
a
n
b
n
，
S
n
为数列
c
n
的前
n
项和，求
lim
S
n
。
n
S
1
n
分析
：这是
1997
年理科数学高考试题，主要考查等比数列概念、求和公式，
数列极限的
运算等基础知识，
考查文字运算能力和逻辑推理能力，
在推理过
程中
要运用分类讨论的数学思想。
a
1
p
n
1
b
1
q
n
1
解：
S
n
p
1
q
1
n
n
a
(
q<
/p>
1
)
p
1
b
(
p
1
)
q
1
S
n
1
1
S
n
1<
/p>
a
1
(
q
1
)
p
n
1
1
b
1
(
p
1
)
q
n
1<
/p>
1
分两种情况讨论：
（
1
）
p
1
p
q
0
，<
/p>
0
lim<
/p>
q
1
p
S
n
n
S
n
1
n
< br>
q
n
1
1
p
a
1
(
q
1
)
1
n
b
< br>1
(
p
1
)
n
n
p
p
p
lim
n
q
n
1
1
1
n
1
p<
/p>
a
1
(
q
1
)
1
n
1
b
1
(
p
1
)
n<
/p>
1
n
1
p
p
p
p
·
a
1
(
q
1
)
p
a
1
(
q
1
)
< br>（
2
）
p
1
0
q
p
1
S
lim
n
n
S
n
1
a
1
(
q
1
)(
p
n
1
)
b
1
(
p
1
)(
q
n
1
)
lim
n
a
(
q
1
)(
p
n
1
1
)
b
(
p
1
)(
q
n
1
1
)
1
1
a
(
q
1
)
b
< br>1
(
p
1
)
1
1
a
1
(
q
1
)
b
1
(
p
1
< br>)
例
8
：
一个公比绝对值小于
1
的无穷等比数列的所有项的和是
9
，各项平方<
/p>
和是
27
，则此数列的首项
a
1
，公比
q
。
分析：
设这个等比数列的首项为
a
1
，公比为
q
，且
q
1
，则各项平方也组
成等比数列，其首项是
a
1
2
，公比是
q
2
（<
/p>
q
2
1
）
a
1
1
q
9
2
a
1
<
/p>
27
2
1
q
9
1
解之得
a
1
，
q
2
2
例
9
：
在直角三角形
ABC
中，
< br>斜边
AB
=5
，
直角边
AC
=4
，
⊙
O
1
是
ABC
的内切圆，
作⊙
O
2
和
AB
、
AC
、及⊙
O
1
都相切，再作⊙
O
3
和
AB
、
AC
、
及⊙
O
2
都相切，
如此无限继续下去，
求所有
这些圆面积的和。
解
：如图所示，
AB
=5
，<
/p>
AC
=4
，可求得⊙
O
的半径
r
1
1
4
O
1
AB
，则
cos
2
，
5<
/p>
1
cos
2
1
sin
2
10
又设
⊙<
/p>
O
n
与⊙
O
n
1
的半径分别
为
r
n
和
r<
/p>
n
1
，则
r
n
1
r
n
1
sin
r
n
< br>
1
r
n
10
r
n
10
1
r
n
1
(
n
2
)
10
1
2
⊙
O
1
，⊙
O
< br>2
，…，⊙
O
n
，…
的面积组成的数列
r<
/p>
n
里以
为首项
10<
/p>
1
q
为公比的等比
数列，且
0
q
1
。
10
1
<
/p>
2
所有这些圆的面积和为