高中数学特殊数列通项求和知识总结+题库
贝拉日记-
特殊数列的通项和前
n
项和求法
高考要求
数列的概念
数列的概念和表示法
等差数列的概念
等差数列
要求层次
A
B
C
B
C
重难点
根据一些数列的前几项抽象、
归纳数列的通项公式
根据数列的递推公式写出数列的前几项
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
灵活应用求和公式解决问题
等差数列
的通项公式与
前
n
项和公式
等比数列的概念
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
灵活应用求和公式解决问题
等比数列
等比数列的通项公式与
前
n
项和公式
例题精讲
板块一：特殊数列通项
（一）
知识内容
求数列的通项方法
1
、
由等差，等比定义，写出通项公式
2
、
利用迭
加
a
n
-a
n
-1
=f(n)
、迭乘
a
n
/a
n-1
=f(n)<
/p>
、迭代
3
、一
阶递推
a
n
1
pa
n
q
,
我们通常将其化为
a
n
1
A
p
a
n<
/p>
A
4
、利用换元思想
5
、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6
、对含
a
n
与
S
n
的题，进行熟练转化为同一种解
题
看成
{
b
n
}
的等比数列
（二）主要方法：
1
、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项
.
2
、运用等差（等比）数列的通项公式
.
3
、已知数列
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
，则
a
n
n
1
S<
/p>
1
（注意：不能忘记讨论
n
1
）
< br>S
S
n
2
n
1
n
4
、已知
数列
{
a
n
}
前
n
项之积
T
n
，一般可求
T
n-1
，则
a
n
＝
T
n
（注意：不能忘记讨论
n
1
）
.
T
n
－
1
5
、已知
a
n
a
n
1
f
(
n
)(
n
2)
，且
{f(n)}
成等差（比）数列，则求
a
n
可用累加法
.
6
、已知
a
n
f
(
n
)(
n
2)
，求
a
n
用累乘法
.
a
n
1
7
、
已知数列
{
a
n
}
的递推关系，
研究
a
n
与
a
n
－
1
的关系式的特点
，
可以通过变形构造，
得出新数列
{<
/p>
f
(
a
n
)}
为等差或等比数列
.
< br>8
、已知
a
n
< br>与
S
n
的关系式，利用
a
n
S
n
S
n
< br>
1
(
n
2)
，将关系式转化为只含有
a<
/p>
n
或
S
n
的递推关系，再利
用上述方法求出
a
n
.
例如：数列<
/p>
{
a
n
}
：
2,4,6,8,10,
，是一个递增数列
，且是无穷数列，无界数列，
它的首项
a
1
2
，
a
n
2
n
是它的一个通项公式；
其中
a
1
< br>2,
a
n
a
n
1
2(
n
≥
2
)
是它的一个递推公式；
它的前
n
项和
S
n
2
4
2
n
2(1
2
n
)
n
(
n
1)
．
（三）典例分析：
1.
公式法
1
【例
1
】
⑴
在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
a
n
ln
< br>
1
，则
a
n
（
）
n
A
．
2
ln
n<
/p>
B
．
2
(
n
1)ln
n
C
．
2
n
ln
n
D
．
1
n
ln
n
⑵
数列<
/p>
a
n
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
2
a
n
1
，试求
a
n
的通项公式．
【例
2
】
<
/p>
设数列
a
n<
/p>
中
a
1
1
，且
S
n
n
2
a
n
，求
a
n
2.
递推法
【例
3
】
<
/p>
⑴已知数列
a
n
满足
a
n
1
a
n
3
n
2
，且
a
1
2
，求
a
n
．
< br>⑵已知
a
1
< br>1
，
a
n
1
n
2
，求
a
n
．
a
n
n
【变式】
设
a
1
2
< br>，
a
n
1
a
2
2
，
b
n
n
，
n
N
*
，则数列
b
n
的通项
b
n
．
a
n
1
a
n
1
⑵已知数列
a
n
满足：
a
1
m
（
m
为正整数）
，
a
n
1
所有可能的取值为
__________
．
a
n
，
当
a
n
为偶数时
，若
a
6
1
，则
m
2
3
a
1
，
当
a
n
为奇数时
< br>
n
【变式】
某
校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第
k
棵树种植在点
k
1
k
2
< br>
x
x
1
5
T
T
k
k
1
5
< br>
5
P
k
x
k
，
y
k
处，其中<
/p>
x
1
1
，
y
1
1
，当
k
≥
2
时，
，
k
1
k
2
y
<
/p>
y
T
T
k
k
1
5
5
T
(
a<
/p>
)
表示非负实数
a
的整数部分，例如
T
(2.6)
<
/p>
2
，
T
(0.2
)
0
．
<
/p>
按此方案，第
6
棵树种植点的坐标应为<
/p>
；第
2008
棵树种植点的坐标应为
．
n
1
1
【例
4
】
在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
< br>n
1
1
a
n
n
．
2
n
a
⑴设
b
n
n
，求数列
b
n
的通项公式；
n
⑵求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
．
【例
5
】
<
/p>
各项均为正数的数列
{
a
n
}
，
a
1
a
，
a
2
b
，且
对满足
m
n
p
q
的正
整数
m
，
n
，
p
，
q
都
有
a
p
a
q
a
m
a
n
< br>．
(1
a
m
)(1
a
n
)
(1
a
p
)(1
a
q
)
⑴
当
a
1
4<
/p>
，
b
时，求<
/p>
a
3
；
5
2
1
a
n
为等比数列，并求通项
a
n
．
1
a
n
⑵在⑴的条件下，将
a
n
用
a
n
1
表示出来（其中
n
< br>N
）
．
⑶在⑴的条件下证明
⑷证明：对
任意
a
，存在与
a
有关的常数
，使得对于每个正整数
n
，都有
1
≤
a
n
≤
．
【变式】
已
知数列
a
n
中
a
1
<
/p>
1
，且
a
2
k
a
2
k
1
(
1)
k
，
a
2
k
1
a
2
k
3
k<
/p>
，其中
k
1,
2,
3
．
求
a<
/p>
n
的通项公式
【例
6
】
<
/p>
在数列
{
a
n<
/p>
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
1
< br>，求证
{
}
是等差数列，并求通
项
a
n
．
<
/p>
2
a
n
a
n
1
1
【变式】
⑴
已知数列
a
n
中，
a
n
0
，且对
于任意正整数
n
有
S
< br>n
(
a
n
)
，求通项
a
n
．
2
a
n
⑵设正数数列
< br>a
0
,
a
1
,
a
2
,
求
a
n
的通项公式．
3.
综合方法求通项
a
n
,
满足
< br>a
n
a
n
2
a
n
1
a
n
2
a
n
1
(
n
≥
2)
，其中
a
0
a
1
1
，
【例
7
】
<
/p>
⑴已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
3
a
n
，求通项
a
n
；
a
n
3
1
2
1
)
，求通项
a
n
．
< br>
a
n
⑵已知数列
a
n
< br>中，
a
n
0
，且对于任意正整数
n
有
S
n
(
a
n
【例
8
】
<
/p>
设
a
n
是正数组成的数列，且有
a
n
2
2
2
S
n
，对
n
≥
1
恒
成立，求
a
n
．
【例
9
】
<
/p>
已知数列
a
n
满足：
S
n
1
S
n
a
n
1
，又
a
1
2
，求
a
n
.
9
S
【例
10
】
设数列
a
n
的前
n
项和为<
/p>
S
n
，
点
n
，
n
n
N
均在函数
y
3
x
< br>
2
的图象上，
求数列
a
n
的
n
< br>通项公式
.