高考文科数学练习题解析数列求和
天比高-
第四节
数列求和
题型一
分组转化法求和
若数列的通项为分段
函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用
分组转化法，就是对原数
列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减．
[
典例
]
<
/p>
(2019·
吉林调研
)
已知数列
{
a
n
}
是等比数列，
a
1
＝
1
，
a
4
＝
8
，
{
b
n
}
是等差数列，
b
1
＝
3
，
b
4
< br>＝
12.
(1)
求数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
设
c
n
＝
a
n
＋
b
n
，求数列
{
c
n
}
的前
n
项和
S
n
.
[
解
]
(1)
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，由
a
4
＝
a
1
q
3
得
8
＝
1
×
q
3
，所以
q
＝
2
，所以
a
n
＝
2
n
1
.
设
{
b
n
}
的公差为
d
，由
b
4
＝
b
1
＋
3
d
得
12
＝
3
＋
3
d
，所以
d
＝
3
，所以
b
n
＝
3
n
. <
/p>
a
1
1
－
q
n
1
×
1
－
2
n
n
(2)
因为数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
＝
＝
2
－
1
，
数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
b
1
n
1
－
q
1
－
2<
/p>
n
n
－
1
n
n
－
1
3
3
＋
d
＝
3
n
＋
×
3
＝
n
2<
/p>
＋
n
，
2
2
2
2
3
3
所以
S
n
＝
2
n
< br>－
1
＋
n
2
＋
n
.
2
2
[
方法技巧
]
分组转化法求和的常见类型
－
[
提醒
]
<
/p>
某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
从而求得原
数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
[
针对训练
]
(2018·
焦作四模
)
已知
{
a
n
}
为等差数列，且
a
2
＝
3
，
{
a
n
}
前
4
项的和为
16
，数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
4
，
b
4
< br>＝
88
，且数列
{
b
n
－
a
< br>n
}
为等比数列．
(1)
求数列
{
a
n
}
和
{
b
n
－
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解：
(1)
设
{
a
n
}
的公差为
d
，因为
a
2
＝
3
，
{
a
n
}
前
4
项的和
为
16
，
a
＋
d
＝
3
，
1
a
1
＝
1
，
所以
解得
< br>4
×
3
d
＝
2
，
4
a
＋
d
＝
16
，
2
1
所以
a
n<
/p>
＝
1
＋
(
n
－
1)
×
2
＝
2
n
－
1.
设
{
b
n
－
a
< br>n
}
的公比为
q
，
则
b
4
－
a
4
＝
(
b
1
－<
/p>
a
1
)
q
3
，
因为
b
1
＝
4
，
b
4
＝
< br>88
，
b
4
－
a
4
88
－
7
所以
q
3
＝
＝
＝<
/p>
27
，解得
q
＝
3
，
b
1
－
a
1
4
－
1
所以
b
n
－
a
n
＝
(4
－
< br>1)
×
3
n
1
＝
3
n
.
(2)
由
(1)
< br>得
b
n
＝
3
n
＋
2
n
－
1
，
所以
S
n
＝
(3
＋
3
2
＋
3
3
＋
…
＋
3
n
< br>)
＋
(1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
2
n
－<
/p>
1)
3
1<
/p>
－
3
n
n
1
＋
2
n
－
1
3
n
＝
＋
＝
(3
－
1)
＋
n
2
2
2
1
－
3
3
n
1
3
＝
＋
n
2
－
.
2
2
题型二
错位相减法求和
如果一个数列的各项
是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这
个数列的前
n
项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前
n<
/p>
项和公式就是用此法推导的
.
a
1
a
2
a
3
a
n
< br>[
典例
]
(2019·
南昌模拟
)
已知数列
{
a
n
}
满足
＋
2
＋
3
＋…＋
n
＝
n
2
＋
n
.
2
2
2
2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；<
/p>
－
1
n
a
n
(2)
若
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2
a
1
a
2
a
3
a
n
[
解
]
(1)
∵
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
＝
n
2
＋
n
，
2
2
2
< br>2
a
n
－
1
a
1
a
2
a
3
∴当
n<
/p>
≥
2
时，
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
－
1
＝
(
n
< br>－
1)
2
＋
n
－
1
，
2
2
2
2
a
n
＋
两式相减得
n
＝
2
n
(
n
≥
2)
，∴
a
n
＝
n
·
2
n
1
(
n
≥
< br>2)
．
2
a
1
又∵当
n
＝
1
时，
＝
1
＋
1
，
2
∴
a
1
＝
4
，满足
a
n
＝
n
·
2
n
1
.
∴
a
n
＝
< br>n
·
2
n
1
.
－
1
n
a
n<
/p>
(2)
∵
b
n<
/p>
＝
＝
n
(
－
2)
n
，
2
∴
S
n
＝
1
×
< br>(
－
2)
1
＋
2
×
(
－
2)
2
＋
3
×
(
－
2)<
/p>
3
＋
…
＋
n
×
(
－
2)
n
.
2
＋
＋
＋<
/p>
－
－
2
S
n
＝
1
×
(
－
2)
2
＋
2
×
(
< br>－
2)
3
＋
3
×
(
－
2)
4
＋
…
＋
(
n
－
1)<
/p>
×
(
－
2)
n
＋
n
(
－
2)
n
1
，
∴
两
式
相
减
得
3
S
n
＝
(
－
2)
＋
(
－
2)
2
＋<
/p>
(
－
2)
3
＋
(
－
2)
4
＋
…
＋
(
－
2)
n
－
n
(
－
< br>2)
n
－
2[1
－
－
2
n
]
－
－
2
n<
/p>
1
－
2
3
n
＋
1
－
2
n
1
＋
2
< br>n
＋
1
n
＋
1
－
n
(
－
2)
＝
－<
/p>
n
(
－
2)
＝－
，
3
3
1
－
－
2
3
n
＋
1
－
2
n
1
＋
2
∴
S
n
＝－
.
9
[
方法技巧
]
错位相减法求和的策略
(1)
如果数列
{
a<
/p>
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是
等比数列，求数列
{
a
n
·
b
n
}
< br>的前
n
项和时，可采用错
位相减
法，一般是和式两边同乘以等比数列
{
b
n
}
的公比，然后作差求解．
(2)
在写
“
S<
/p>
n
”
与
“
qS
n
”
的表达式时
应特别注意将两式
“
错项对齐
”
以便下一步准确写出
“
S
n
－
qS
n
”
的表达式．
(3)
在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于
1
和不等于
1
两种情况求解．
< br>
[
针对训练
]
1
3
5
7
1
．数列
，
，
，
，…的前
10
项
之和为
________
．
2
4
8
16
1
3
5
19
解析：
因为
S
10
＝
＋
＋
＋
…
＋
10
，①
2
4
8
< br>2
1
1
3
17
19
所以
S
10
＝
＋
＋
…
＋
10
＋
11
.
②
2
4
8
2
2
2
1
1
2
2
19
＋
＋
…
＋
10
－
11
①－②得
S
10
＝
＋
2
2
2
2
4
8
1
1
9
1<
/p>
－
1
2
2
19
＝
＋
－
11
2
1
2
1
－
2
3
1
19
3
×
2
10
－
23
＝
－
9
－
11
＝
，
<
/p>
2
2
2
2
11
3
×
2
10
－
23
3 049
所以
S
10
＝
＝
.
2
10
1
024
答案：
3 049
1 024
＋
＋
＋
＋
1
＋
＝
2
．
(2019·
临川一中质检
)
已知等差数列
{<
/p>
a
n
}
满足
a
3
＝
5
，其前
6
项和为
36<
/p>
，等比数列
{
b
n
}
的前
n
项
和
S
n
＝
2<
/p>
－
2
*
n
－
1
(
n
∈
N
)
．
1
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
3
a
1
< br>＋
2
d
＝
5
，
a
1
＝
1
，
解：
(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，由已知得
解得
所以
a
n
6
a
1
< br>＋
15
d
＝
36
，
d
＝
2
，
＝
2
n
－
1(
n
∈
N
*
)
．
对于数列
{
b
n
}
，因为
S
n
＝
2
－
1
2
n
< br>－
1
，所以当
n
＝
1
时，
b
< br>1
＝
S
1
＝
2
－
1
＝
1
，
1
1
1
当
n
≥
2
时，
b
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
2
－
2
n
－
1<
/p>
－
2
－
2
n
－
2
＝
n
－
1
，
2
综上所述，
b
n
＝
2
n
－
1
(
n
∈
N<
/p>
1
*
)
．
(2)
由
(1)<
/p>
得
a
n
b
n
＝
2
n
－
1
－
，
2
n
1
2
n
－
3
2
n
－
1
3<
/p>
5
所以
T
n
＝
1
＋
1
＋
2
＋
…
＋
n
－
2
< br>＋
n
－
1
，①
2
2
2
2
2
n
－<
/p>
3
2
n
－
1
1
1
3
5
T
n
＝
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
－
1
＋
n
，②
2
2
2
2
2
2
2
n
－
1
1
1
1
1
①－②得，
T
n
＝
1
＋
1
＋
＋
< br>2
＋
…
＋
n
－
2
－
n
2
2
2
2
2
2
n
＋
3
＝
3
－
n
，
< br>2
所以
T
n
＝
6
－
4
n
＋
6
2
n<
/p>
＋
3
n
＝
6
－
n
－
1
.
2
2
题型三
裂项相消法求和
如果一个数列的通项
为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过
累加将一些正、负项相互
抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前
n
项和
.
[
典例
]
<
/p>
(2019·
湖南十三校联考
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
2
a
n
－
n
.
(1)
证明：数列
{
a
n
＋
1}
是等比数
列，并求数列
{
a
n
< br>}
的通项公式；
(2)
记
b
n
＝
1
＋
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
n
＋
1
a
n
a
n
＋
1
1
[
解
]
(1
)
由
a
1
＝<
/p>
S
1
＝
2
a
1
－
1
，得
a
1
＝
1
，
由
< br>n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－<
/p>
1
＝
(2
a
n
－
n
)
－
(2
a
n
－
1
－
n
＋
1)
，
< br>即
a
n
＝
2
a
n
－
1
＋
1
，
所以
a
n
＋
1
＝
2(
a
n
－
1
＋
1)(
n
≥
2)
，又
a
1
＋
1
＝
2
，
< br>
所以数列
{
a
n
＋
1}
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数
列，
所以
a
n
＋
1
＝
2<
/p>
n
，
a
n
＝
2
n
－
1.
(2)
由
(1)<
/p>
知，
b
n
＝
1
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
1
1
＝
< br>
a
n
a
n
＋
1
a
n
a
n
＋
1
2
n
1
1
＝
n
＝
n
－
n
＋
1
< br>，
n
＋
1
2
－
1
2
－
1<
/p>
2
－
1
2
－
1
4
1
1
1<
/p>
1
1
1
－
＋
－
＋
…
＋
(
n
－
n
< br>＋
1
)
则
T
n
＝
3
<
/p>
3
7
2
－
1
2
－
1
1
＝
1
－
n
＋
1
.
2
－
1
[
方法技巧
]
1
．
用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)
裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发
现被消去项的规律为止．
(2)
消项
规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几
项．
2
．
几种常见的裂
项方式
数列
(
n
为正整数
)
1
(
k
为非
零常数
)
n
n
＋
k<
/p>
1
2
4
n
－
1
裂项方式
1
1
< br>1
1
－
＝
n
n
＋
k
k
n
n
＋
k
1
1
1
1
< br>－
＝
4
n
2
－
1
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
n
＋
n
＋
1
< br>＝
n
＋
1
－
n
1
n
＋
n
＋
1
1
log
a
1
＋
< br>
(
a
>0
，
a
≠
1)
n
[
针对训练
]
1
1
＋
n
＝
log
a
(
n
＋
1)
－
log
a
n
log
a
1
1
．
(2019·
成都检测
)
在递减的等差数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
a
3
＝
a
2
则数列
a
a
的
2
－
4.
若
a
1
＝
13
，
n
n
＋
1
前
n
项和的最大值为
(<
/p>
)
24
A.
143
24
C.
13
B
．
1<
/p>
143
6
<
/p>
13
D
．
解析：
选
D
设等差
数列
{
a
n
}
的公差为
d
，
则
d
<0
，
因
为
a
1
a
3<
/p>
＝
a
2
a
1
＝
13
，
所以
13(13
2
－<
/p>
4
，
＋
2
d
)
＝
(13
＋
d
)
2
－
4
，解得
d
＝－
2
或
d
＝
2(
舍去
)
，所以
a
n
＝
a
1
＋
(
< br>n
－
1)
d
＝
13
－
2(
n
－
1)
＝
15
1
1
1
1
1
1<
/p>
－
2
n
，则
＝
＝
(
－
，所以数列
a
a<
/p>
的前
n
项和<
/p>
)
a
n
a
n
＋
1
15
－
2
n
13
－
2
n
2
2
n
－
15
2
< br>n
－
13
n
n
＋
1
S
n
＝
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
－
＋
－
＋
…
＋
－
＝
(
－
－
，易知当
n
(
)
2
－
13
－
< br>11
－
11
－
< br>9
2
13
2
n
－
13
)
2
n
－
15
2
n
－
13
1
1
6
－
＋<
/p>
1
＝
，故选<
/p>
D.
＝
6
时，
S
n
取得最大值，最大值为
×
13
2
13
2
．
(2018·
潍坊二模
)<
/p>
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
2
，<
/p>
a
n
>0(
n<
/p>
∈
N
*
)
，
S
6
＋
a
6
是
S
4
＋
a
4
，
S
5
＋
a
5
的等差中项．
5