等差、等比数列的前n项和知识梳理
医患沟通技巧-
等差、等比数列的前
n
项和
【考纲要求】
1
．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；
2
．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；
3
．掌握数列的通项
a
n
与前
n
项
和
S
n
之间的关系式。
【知识网络】
等差数列的求和公式
等差、等比数列
的前
n
项和
等比数列的求和公式
【考点梳理】
【高清课堂：数列的求和问题
388559
知识要点】
知识点一：数列的前
n
项和
S
n
的相关公式
1.
等
差数列的前
n
项和
S
< br>n
公式：
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
<
/p>
na
1
d
An
2
Bn
（
A
、
B
为常数）
2
2
当
d
0
时，
S
n
是关于
n
的二次式且常数项为
0
；
S
n
当
d=0
时
（
a
1
≠
0<
/p>
）
，
S
n
=na
1
是关于
n<
/p>
的正比例式
.
2.
等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
当
q
1
时，
a
n
a
< br>1
，
S
n
a
1
a
2
a
3
L
a
n
na
1
，
a
1
(1
q
n
< br>)
a
1
a
n
q
当
q
1
时，<
/p>
S
n
1
q
1
q
3.
任意数列的第<
/p>
n
项
a
n
与前
n
项和
S
n
之间的关系式：
(
n
1)
S
1
a
n
S
n
S
n
1
(
< br>n
2)
【典型例题】
类型一：等差数列的前
n
项和公式及其性质
例
1.
等差数列
{
a
n
}
的前
30
项之和
为
50
，前
50
项之和为
30
，求
S
80
。
n
< br>(
n
1)
2
整体代入，
或者应用公式
S
n
An
Bn
。
d
，
2
n
(
n
1)
d
,
【解析】法一
:
∵
{
a
n
}
为等差数列，
∴
S<
/p>
n
na
1
2
【思路分析】
根据等差数列前
n
项公式
S
n
na
1
30
2
30
S
< br>30
a
1
d
50
......(
1
)
30
2
∴
2
S
50
a
50
50
d
30
......(
2
)
50
1
2<
/p>
50
2
30
2
30
50
79
d
d
d
20
，
即
1
a
1
(2)-(1)
有
20
a
1
2
2
2
80
(
80
1
)
79
d
∴
S
80<
/p>
80
a
1
d
80
(
a
1
)
80
。
2
2
法二
:
∵
{
a
n
}
为等差数列，
∴
S
n
An
2
Bn
,
2
2
1
)
S
30
30
A
30
B
50
30
A
30
B
........(
∴
即
2
2
2
)
30
50
A
50
B
.......(
S
50
50
A
50
B<
/p>
2
2
∴
(2)-(1)
有：
(50
30
)
A
(50
30)
n
20
即
20(80
A
B<
/p>
)
20
,
∴
80
A<
/p>
B
1
,
∴<
/p>
S
80
80<
/p>
2
A
80
B
80(80
A
B
)
80
。
法三
:
∵
{
a
n
}
为等差数列，<
/p>
∴
S
n
n
(
a
1
a
n
)
，
a
31
< br>
a
50
a
1
a
80
,
2
20
(
a
31
a
50
)
10
(
a<
/p>
31
a
50<
/p>
)
10
(
a
1
a
80
)
,
2
∵
a
31
,
a
3
2
,
…
,
<
/p>
a
50
也为等差数列，
< br>
∴
S
50
S
< br>30
a
31
< br>
a
32
a
50
∴
a
1
a
80
∴
S
80<
/p>
S
50
S
30
30
50<
/p>
2
,
10
10
80<
/p>
(
a
1
a
80
)
40
(
a
1
a
80
)
< br>
80
.
2
< br>【总结升华】法一、二均可用方程思想求出
A
、
B
、
a
1
、
d
来，然后求未知，运算量则相对很大，此时
要注意整体思想的运用。
举一反三：
【变式】设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
< br>8
a
9
（
）
A
．
63
B
．
45
C
．
36
D
．
27
3
2
S
3
a
d
9
1
< br>a
1
d
3
3
2
【解析】法一：依据已知有：
即
6
5
2
a
5
d
12
S
6
a
d
36
1
6
1
2
a
1
1
解得
，所以
a
7
a
8
a
9
13
15
17
45
。
d
2
法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列
S
3
、
S
6
S
3
、
a
7
a
8
a
< br>9
成等差数列，
所以
2(
S
6
S
3
)
S
3
(
a
7
a
8
a
9
)<
/p>
，
有
a
7
a
8
a
9
13
15
17
45
，故选
B
a
n
7
n
45
例
2.
（
2016
桂林模拟）等差数列
{
a
n
}
、
< br>{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
、
T
n
，且
，则使得
n
为
T
n
3
b
n
n
整数的正整数的
n
的个数是（
）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
【思
路分析】
需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前
n<
/p>
项和的比值的问题。
【解析】
∵等差数列
{
a
n
}
、
{
b
n
}
，
S
a
1
< br>a
2
n
1
b
b
2
n
1
，
b
n
1
，
2
2
n
(
a
1
< br>
a
2
n
1
)
a
n
na
n
S
2<
/p>
n
1
2
,
∴
n
(
b
b
)
b
n
nb
n
T
2
n
1
1
2
n
1
2
S
n
7
n
45
,
又
T
n
3
n
∴
a
n
a
n
7(
2
n
1)
45
7
<
/p>
66
,
∴
b
(2
n
1)
3
2
n
4
n
a
n
经验证，当
n=1
，
3
，
5
，
13
，
35
时，
为整数，
b
n
a
n
则使得
为整数的正整数的
n
的个数是
5
．
b
< br>n
故选
C
．
(2
n
1)(
a
1
a
n
1
)
{
b
n
}
所以已知等差数列
{
a
n
}
、
(2
n
1)
a
n
，
2
a<
/p>
2
n
1
S
2
m
1
a
S
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，则
(1)
n
2
n
1
，
(2)
m
。
b
n
2
m
1
T
2
n
1
b
< br>n
T
2
n
1
【总结升华】
由于等差数列
{
a
n
}
中
S
2
n
1
举一反三：
【变式
1
】等差数列
{
a
n
}
中，若
a
5
13
,
则
S
9
_________.
【解析】由
S
2
n
1
(2
n
1)(
a
1
a
2
n
1
)
(2
n
1)
a
n
，得
S
9
9
a
5
9
13
117
.
2
S
n
2
n
3
a
，则
10
=
.
T
n
7
n
2
b
10<
/p>
【变式
2
】已知两等差数列
{
a
n
}
< br>、
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
、
T
n
，且
【解析】
a
10
S
19
2
19
3
< br>41
.
b
10
T
19
7
19
2
131
类型二：等差数列求和
公式的应用
【高清课堂：等差数列
382420
典型例题三】
例
3
．设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
< br>S
n
n
(
a
1
a
n
)
.
求证：
数列
{
a
n
}
为等差数列．
2
【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。
证明：
由
S
n
n
(
a
1
a
n
)
(
n
< br>1)(
a
1
< br>a
n
1
)
得
S
n
1
，所以
2
2
(
n
1)(
a
1
a
n
1
)
n
(
a
1
a
< br>n
)
a
n
1
S
n
1
S
n
2
2
整理得
(
n
1)
a
n
1
na
n
< br>a
1
，又得
(
< br>n
2)
a
n
(
n
1)
a
n
1
a
1
(
n
1)
相减并整理得
:
a
n
1
a
n
1
2
a
n
(
n
< br>2)
所以数列
{
a
n
}
是个等差数列
举一反三：
【变
式
1
】设
{a
n
}
是等差数列
,
证明以
b
n
=
a
1
a
2
<
/p>
a
n
*
(n
∈
N
)
为通项公式的数列
{b
n
}
是等差数列
.
n
证法一
:
设等差数列
{a
n
}
的公差是
d(
常数
),
当
n
≥
2
时，
b
n
b
n
1
=
=
a
1
a
2
< br>
a
n
a
1
a
2
a
n
1
-
n
1
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
(
n
1
)(<
/p>
a
1
a
n
1
)
2
n
2
(
n
1
)
a
1
a
n
a
1<
/p>
a
n
1
1
=
（
a
n
a
n
1
< br>
）
2
2
2
1
=
d
(
常数
)
2
=
∴
{b
n
}
是等差数列
.
证法二
:
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
na
1
n
(
< br>n
1)
d
,
2
a
a
2
a
n
1
n
(
n
1)<
/p>
n
1
d
d
∴
b
n
=
1
[
na
1
< br>d
]
a
1
d
n
(
a
1
)
n
n
2
2
2
2
∴
< br>{b
n
}
是等差数列
.
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有
:
*
(1)
定义法
:a
n+1
-a
n
=d(
常数
)(n
∈<
/p>
N
)
{a
n
}
是等差数列
;
*
(2)
中项公式法
:2a
n+1
=a
n<
/p>
+a
n+2
(n
∈
N
)
{a
n
}
是等差数列
;
*
(3)
通项公式法<
/p>
:a
n
=kn+b(k
< br>、
b
是常数
)(n
∈
N
)
< br>{a
n
}
是等差数列
;
2
*
(4)
前
n
项和公式法
:S
n
=An
+Bn(A
、
B
是常数
)(n
∈
N
)
{a
n
}
是等差数列
.
1
*
【变式
2
】已知数列
{
a
n
}
，
a<
/p>
n
∈
N
，
S
n
=
(
a
n
2
)
2
，求证：
{a
n
}
是等差数列；
<
/p>
8
1
1
【答案】
a
n+1
= S
n+1
–
S
n
(
a
n
1
2
)<
/p>
2
(
a
n
2
)
2
,
8
8
∴
8a
n+1
=
(
a
n
1
2
)
< br>2
(
a
n
2
)
2
,
∴
(
a<
/p>
n
1
2
)
2
(
a
n
2
)
2
0
,
∴
(
a
n
1
a
n
)(
a<
/p>
n
1
a
n
4)
0
，
∵
a
n
∈
< br>N
，∴
a
n
1
a
n
0
，
<
/p>
*
∴
a
n
1
a
n
4
0
，即
a
n
< br>
1
a
n
4
，
∴数列
{a
n
}
是等差数列
.
例
< br>4
．
等差数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>
,
若
a
3
12
,
S
12
0
,
S
13
0
.
（
1
）求
公差
d
的取值范围；
（
2
）
n
为何值时，
S
n
最大，并说明理由
。
【解析】
S
12
a
12
11
（
1
）由
12
1
d<
/p>
0
2
2
a
1
11
d
13
0
S
12
13
13
a
1
a
1
6
a
0
2
d
0
又由
a
3
a
1
2
d
12
得
< br>a
1
12
2
d
代入不等式组
∴
< br>24
7
d
0
，
解出
3
d
0
24
7
d
3
.
（
2
）方法一：由（
1
）知：
a
3
0
且
d
0
∴数列
{
a
n
}
是递
减数列，
12
a
12
11
d
由
S
12
0
1
2
0
0
得
S
12
13
13
a
1
13
< br>2
d
0
d
∴
a
1
5
d
0
a
6
0
< br>2
即
，
a
1
6
d
0
a
7
< br>0
∴
{
a
n
}
中最后一个正数项是
a
6
，
a
7
开始为负数项
∴当
n=6
时，
S
n
最大
.
方法二：由（
1
< br>）知：
a
3
< br>0
且
d
0
∴数列
{
a
n
}
是递减数列，
若要
S
n
最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项
.
由
S
12(
a
1
a
12
)
12
2
0
∴
a
1
a
12
0
即
a
6
< br>a
7
0
,
由
S
13(
a
1
a
13
)
13
2
0
，
∴
a
1
a
13
0
,
即
2
a
7
0
,
∴
{
a
n
}
中最后一个正数项是
a<
/p>
6
，
a
7
开始为负数项
∴当
< br>n=6
时，
S
n
最大
.
方法三：
S
n
(
n
1)
2
d
n
(12
2
d
)
n
(
n
1)
n
na
1
2
d
d<
/p>
[
n
1
(5
24
)]
2
d
(5
24
)
2
2
2
d
8
d
∴
a
< br>6
a
7
a
7
0
,
∴
a<
/p>
6
0
∴
1
24
(5
)]
2
最小时
S
n
有最大值，
2
d
1
24
24
当
d
3
时，
6
(5
)
6.5
7
2
d
1
24
2
∴当
n=6
时
[
n
(5
)]
最小，即
S
6
最大，
2
d
方法四：
{
a
n
}
是等差数列，故设
S
n
an
2
bn
，如图所示
∵
d<0,
∴当
[
n
∵
S
12
0
,
S
13
0
，
∴抛
物线与
x
轴的另一个交点在
n=12<
/p>
与
n=13
之间。
∴对称轴
l
的位置在
6
与
6.5
之间，
易知
n=6
对应的<
/p>
A
点与对称轴的距离比
n=7
对应的点
B
与对称轴的距离要近，
故
A
为最高点，
S
6
最大。
举一反三：
【变式】在等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
0
，
S
9
S
12
，求当
n
为何值时，
S
n
最小。
【解析】法一：∵
S
9
S
12
，∴
S
12
S
9
a
10
a
11
a
12
<
/p>
0
∵
a
10
a
12
2
a
11
，∴
a
11
0
，
∵
a
1
0
< br>，∴
d
0
∴
a
1
,
a
2
,...,
a
9
,
a
10
均为负数，
a
11
0
，而
a
< br>12
以及以后各项都为正数，
∴当
n
10
或
n
11
时
，
S
n
有最小值为
S
10
S
11
。
法二：设数列
{
a
n
}
< br>的公差为
d
，则
由
S
9
< br>S
12
，得
9
< br>a
1
即
a
1
1
0
d
，
∵<
/p>
a
1
0
，∴
d
0
，
∴
S
n
na
1
9(9
1)
12(12
1)
d
12
a
1
d
，
2
2
n
(
< br>n
1)
1
21
d
21
441
d
dn
2
< br>
dn
(
n
)
2
d
，
2<
/p>
2
2
2
2
8
∴当
n
10
或
n
11
时，
S
n
有最小值为
S
10
S
11
。
类型三、等比数列的前
n
项和公式及其性质<
/p>