2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-4 数列求和
she解散了吗-
专题
6.4
数列求和
【考情分析】
1.
< br>熟练掌握等差、等比数列的前
n
项和公式；
2.
掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见
方法。
【重点知识梳理】
知识点一
求数列的前
n
项和的方法
(1)
公式法
①等差数列的前
n
项和公式
n
（
a
1
＋
a
n
）
n
（
n
－
1
）
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
．
2
2
②等比
数列的前
n
项和公式
(
ⅰ
)
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
a
1<
/p>
（
1
－
q
n
）
a
1
－
a
n
q
(
ⅱ
)
当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
(2)
分组转化法
< br>把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)
倒序相加法
< br>把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)
错位相减法
< br>主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过
程的推广．
(6)
并项求和法
< br>一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项
求和．形如
a
n
＝
(
－
1)
n
f
(
n
)
类型，可采用两项合并求解．
例如，
S
n
＝
100
2
－
99
2<
/p>
＋
98
2
－
97
2
＋
…
＋
2
2
－
1
2
＝
(100
＋
99)
＋
(98
＋
97)
＋
…
＋
(2
＋
1)
＝
5 050.
知识点二
常见的裂项公式
1
< br>1
1
(1)
＝
< br>－
.
n
（
n
＋
1
）
n
n
＋
1
1
1
1
1
－
(2)
＝
.
（
2
n
－
1
< br>）（
2
n
＋
1
）
2
2
n
－
1
2<
/p>
n
＋
1
(3)
1
n
＋
n
＋
1
＝
n
＋
1
－
n
.
【典型题分析】
高频考点一
分组转化求和
【例
1
】（
2020·
天津卷）已知
a
n
为等差数列，
b
n
为等比数列，
< br>a
1
b
1
1
,
a
5
5
a
4
a
3
,
b
5
4
< br>b
4
b
3
．
（
Ⅰ）求
a
n
和
b
n<
/p>
的通项公式；
（Ⅱ）记
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
，求证：
S
n
S
n
2
S
n
1
n
N<
/p>
2
*
；
3
a
n
2
b
n
,
n
为奇数
,
a
a
n
n
2
（Ⅲ
）对任意的正整数
n
，设
c
n
求数列
c
n
的前
2
n
项和．
a
n
< br>
1
,
n
为偶数
.
b
n
1
【
答案】
（Ⅰ）
a
n
n
，
b
n
2
【解析】
(
Ⅰ
)
设
等差数列
a
n
的公差为
d
，等比数列
b
n
的公比为
q
.
由
a
1
< br>1
，
a
5
5
a
4
a
3
，可得
d
=1.
从而
a
n<
/p>
的通项公式为
a
n
n
.
由
b
1
1
,
b
5
4
b
4
b
3
< br>
，
又
q
≠0
，可得
q
4
q
4
0
，解得
q
=2
，
从
而
b
n
<
/p>
的通项公式为
b
n
2
(
Ⅱ
)
证明：由
(
Ⅰ
)
可得
S
n
故
S
n
S
n
2
n
1
2
n
1
4
< br>n
6
n
5
4
；
（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）
.
n
2
n
1
9
< br>4
9
.
n
(
n
1
)
，
2
1<
/p>
1
2
2
2
n
1
n
2
n
(
n
1)(
n
2)(
n
3)
，
S
< br>n
，
1
4
4
2
从而<
/p>
S
n
S
n
2
S
n
1
2
所以
S
< br>n
S
n
2
S
n
1
.
1
(
n
1)(
n
2)
0
，
2
(
Ⅲ
)
当
n
奇数时，
c
n
3
a
n
< br>
2
b
n
a
n
a
n
2
(3<
/p>
n
2)2
n<
/p>
1
2
n
1
2
n
1
，
n
(
n
2)
n
2
n
当
n
为偶数时，
c
n
a
n
1
n
1
n
，
b
n
1
2
n
n
< br>2
2
k
2
2
k
2
2
2
n
1
，
对任意的正整数
n
，有
c
2
k
<
/p>
1
2
k
1
2
k
1
2
n
1
k
1
k
1
<
/p>
和
c
2
k
k
1
n
2
k
1
1
3
5
2
3
<
/p>
k
4
4
4
4
k
1
n
2
n
3
2
n
1
n
①
4<
/p>
n
1
4
1
n
1
3
5
由①得
c
2
k
2
3
4
4
k
1
4
4
4
2<
/p>
n
3
2
n
1
n
1
②
4
n
4
3
n
1
2
由①②得
c
2
k
2
4
k
1
4
4
2
1
1
2
2
n
<
/p>
1
4
4
n
n
n
1
1
4
4
1
4
1
2
n
<
/p>
1
，
n
1
4
4
2
1
1
4
4
n
由于
1
1
4
n
1
2
n
1
2
2
1
1
2
n
< br>1
1
5
6
n
5
，
n
n
4
4
n
< br>
1
3
3
4
4
4
4
1
2
3
4
n<
/p>
1
从而得：
c
2
k
k
1
n
5
6
n
5
.
< br>9
9
4
n
n
4
n
6
n
5
4
.
因此，
c
k
c
2
k
1
< br>
c
2
k
n
2
n
1
9
4
9
k
1
k
1
k
1
2
n
< br>4
n
6
n
5
4
所以，数列
< br>
c
n
的前
2
n
项和为
.
n
2
n
1<
/p>
9
4
9
【方法技巧】分组法求和的常见类型
(1)
若
a
n
＝
b
n
±
c
n
，且
{
b
n
}
，
{
c
n
}
为等差或等比数列，可
采用分组法求
{
a
n
< br>}
的前
n
项和．
b
n
，
n
为奇数，
< br>(2)
通项公式为
a
n
＝
的数列，其中数列
{
b
n
}
，<
/p>
{
c
n
}
是等比或等差数列，可采用分组法求
c
n
，
n
为偶数
和．
【变式探究】
(2019·
天津高考
)
设
a
n
是等差数列，
b
n
是等比数列。已知
.
a
< br>1
4,
b
1
6
，
b
2
2
a<
/p>
2
2,
b
3
2
a
3
4
（Ⅰ）求
a
n
和
b
n
的通项公式；
1,
2
k
n
2
k
1
,
c
1
1,
c
n
k
*
c
n
b
,
n
2
,
k
（Ⅱ）设数列
满足
其中
k<
/p>
N
.
a
c
（
i
）求数列
2
n
2
n
1
的通项公式；
.
；
（
ii
）求
a
c<
/p>
n
N
*
i
i
i
1
2
n
【答案】（Ⅰ）
2
n
*
a
n
3
n
1
2
n
1
b
n
3
2
n
（Ⅱ）（
i
）
a
2
n
c
2
n
1
9
4
n
1
*
（
< br>ii
）
a
c
n
N
27
2
i
i
i
1
5
2
n
1
n
< br>12
n
N
【解析】
(
Ⅰ
)
设等差数列
a
n
的公差为
d
，等比数列
b
n
的公比为
q
.
6
q
2
< br>4
d
2
6
2
d
d
3
2
6
q
2
4
< br>
2
d
4
12
4
d
q<
/p>
2
，
依题意得
，解得
故
a
n
4
(
n
1)
3
3
n
1
，
b
n
6
2
n
1
3<
/p>
2
n
.
a
n
a
n
3
n
1
b
< br>n
b
n
3
2
n
所以，
的通项公式为
，
的通项公式为
.
(
Ⅱ
)(
i
)
a
2
n
c
2
n
< br>1
a
2
n
b
n
1
3
2
n
1
3
2
n
1
9
4
n
1
2
n
.
a
c
所以，数列
2
n
2
n
i
i
2
n
1
的通项公式为
a
<
/p>
c
2
n
2
n
1
9
4
n
1
.
< br>(
ii
)
a
c
a
a<
/p>
c
1
a
a
c
i
i
i
i
i
1
i
1<
/p>
i
1
i
1
2
i
2
n
2
n
2
i
1
n
n
2
2
1<
/p>
n
n
i
2
4
3
9
4
1
<
/p>
2
i
1
3
2
2
n
1
5
2
n
1
<
/p>
9
4
1
4
n
1
4
n
*
27
2
2
n
1
5
2
n
1
n
12
高频考点二<
/p>
错位相减求和
n
N
.
【例
2
】（
2020·
新课标
Ⅰ
）设
{
a
n
}
是公比不为
1
的等比数列，
a
1
为
a
2
，
a
3
的等差中项．
（
1<
/p>
）求
{
a
n
}
的公比；
（<
/p>
2
）若
a
1
1
，求数列
{<
/p>
na
n
}
的前<
/p>
n
项和．
【答
案】
（
1
）
-
2
；
（
2
）
S
1
(1
3
n
)(
2)
n
n
9
.
【解析】
（
1
）设
{
a
n
}
的公比为
q
，
a
1
为
< br>a
2
,
a
3
的等差中项，
2
a
1
a
2
a
3
,
a
1
0,
q
2
q
2
0
，
q
1,
q
2
；
（
2
）设
{
na
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1,
a
n
<
/p>
(
2)
n
1
，
S
n
1
1
2
< br>
(
2)
3
(
2)
2
n
(
2)<
/p>
n
1
，①
2
S
2
n
1
(
2)
2
(
2)
3
(
2)
3
(
n
<
/p>
1)(
2)
n
1
n
(
2)
n
，②
①
②得，
3
S
n
1
(
2)
(
2)
2
< br>
(
2)
n
1
n
(
2)
n
1
(
2)
n
1
(1
3
n
)(
2)
n
1
(
2)
n
(
2)
< br>n
3
，
S
1
(
1
3
n
)(
2)
n
<
/p>
n
9
.
【举一反三】
（
2
020·
新课标Ⅲ）设数列
{
a
n
}
满足
a
1
=3
，
a
n
1
3
a
n
4
n
．
（
1
）计算
a
2
，
a
3
，猜
想
{
a
n
}<
/p>
的通项公式并加以证明；
（
2
）求数列
{2
n
a
n
}
的前
n
项和
S
n
．
【答案】
（
1
）
a
，
a
（
2
）
< br>S
n
1
2
5
3
7
，
a
n
2
n
1
，证明见解析；
n
(2
n
1)
2
2
.
【解析】
<
/p>
（
1
）由题意可得
a
2
3
a
1
4
9
4
5
，
a
3
3
a
2
< br>
8
15
8
7
，
由数列
a
n
的前三项可猜想数列
a
n
是以
3
为首项，
2
为公差的等差数列，即
a
n
2
n
1
证明如下：
当
n
1
时，
a
1
3
成立
；
，