2021届高考数学苏教版一轮总复习35 数列求和
黄石寨-
课时作业
35
数列求和
1
．
(2020·
福建泉州质检
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差
d
≠
0
，
a
3
＝
6
，
且
a
1
，
a
2
，
a
< br>4
成等比数列．
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
，求数列<
/p>
{
a
n
＋
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
a
4
＝
a
2
2
< br>，
a
1
·
解：
(1)
根据题意，得
a
＝
6
，
< br>3
2
a
1
a
1
＋
3
d
＝
a
1
＋
d
，
即
< br>a
＋
2
d
＝
6
，
1
a
1
＝
2
，
a
1
＝
6
，
解得
或
(
不合题意，舍去
)
，
d
＝
2
d
＝
0
所以
a
n
＝<
/p>
a
1
＋
(
n
－
1)
d
＝
2
＋
2(
n
－
1)
＝
2
n
.
(2)
由
(1)
得
b
n
＝
2
a
n
＝
2
2
n
＝
4
n
，
所以数列
{
b
n
}
是首项为
4
，公比为
4
的等比数列．
n
2
＋
2
n
所以
S
n
＝
< br>(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
)
＋
(
b
1
＋
b
2
＋
b
3
< br>＋
…
＋
b
n
)
＝
2
4
1
－
4
n
2
4
n
＋
1
－
4
＋
＝
n
< br>＋
n
＋
3
.
1
－
4
2
．
(2020·
黑龙江大庆模拟
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
＝
120
，
a
n
＋
1
＝
3
a
n
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
设
b
n
＝
log
3
a
2
n
－
1
，求数列
b
b
的前
n
项和
T
n
.
n
n
＋
1
解：
(1)
∵
S
4
＝
120
，
a
n
＋
1
＝
3
a
n
，
∴
{
a
n
}<
/p>
是公比
q
＝
3<
/p>
的等比数列．
a
1
1
－
3
4
又
S
4
＝
＝
120
，解得
a
1
＝
3
，
1
－
3
∴
{
a
n
}
是以
3
为首项，以
3
为公比的等比数列，
其通项公式为
a
n
＝
a
1
q
n
－
1
＝
3
n
.
(2)
∵
b
n
＝
log
3
3
2
n
－
1
＝
2
n
－
1
，
∴
T
n<
/p>
＝
1
1
1
＋
＋
…
＋
1
×
3
3
×
5
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
1
1
1
1
1
＝
2
1
－
3
＋
< br>3
－
5
＋
…
＋
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
1
1
n
1
< br>－
＝
2
2
n
＋
1
＝
2
n
＋
1
.
3
．
(2020·
洛
阳统考
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差
d
≠
0
，若
a
3
＋
a
9
＝
22
，且
a
5
，
a
8
，
a
13
成
等比数列．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
a
n
＋
1
2
(2)
设
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
a
n
a
< br>n
＋
1
解：
(1)
设数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
，依题意，
2
a
1
＋
10
d
＝
22
，
解得
a
1
＝
1
，
d
＝
2
，
2
<
/p>
a
1
＋
7
d
＝
a
1
＋
4
d
a
< br>1
＋
12
d
，
∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
< br>2
n
－
1.
< br>
a
n
＋
1
2
4
n
2
4
n
2
(2)
b
n
＝
＝
＝
a
n
a
n
＋
1
2
n
< br>－
1
2
n
＋
1
4
n
2
－
1<
/p>
1
1
1
1
－
＝
1
＋
＝
1
＋
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
，<
/p>
2
n
－
1
2
n
＋
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
－
1
－
－
∴
S
n
＝
< br>1
＋
2
×
＋
1
＋
2
×
3
5
＋
…
＋
1
＋
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
< br>
3
1
2
n
2
＋
2
n
1
＝
n
＋
2
1
－
< br>2
n
＋
1
＝
.
2
n
＋
1
<
/p>
4
．
(2020·
成都检测
)
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
公比
q
>1
，
且
a
2
＋
1
为
a
1
，
a
3
的等差中项，
S
3
＝
< br>14.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记
b
n
＝
a
n
·
log
2
a
n
，求数列
{
b<
/p>
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解：
(1)
由题意，得
2(
a
2
＋
1)
＝
a
1
＋
a
3
.
又
S
3
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
14
，
∴
2(
a
< br>2
＋
1)
＝
14
－
a
2
，∴
a
2
＝
4.
∵
S
4
1
3
＝
q
＋<
/p>
4
＋
4
q
＝
14
，∴
q
＝
2
或
q
＝
2
.
∵
q
>1
，∴
q
＝
2.
∴
a
n
＝
a
2
q
n
－
2
＝
4·
2
n
－
2
＝
2
n
.
(2)
由
(1
)
，知
a
n
＝
2
n
，∴
b<
/p>
n
＝
a
n
·
log
2
a
n
＝
2
n
·
n
.
∴
T
n
＝
1
< br>×
2
1
＋
2
×
2
2
＋
3
×
2
3
＋
…
＋
(
n
－
1)
×
2
n
－
1
＋
n
×
2
n
.
∴
2
T
n
＝
1
×
2
2
＋
2
×
2
3
＋
3
×
2
4
＋
…
＋
(
< br>n
－
1)
×
2
n
＋
n
×
2
n
＋
1<
/p>
.
∴－
T
n<
/p>
＝
2
＋
2
2
＋
2
3
＋
2
4
＋
…
＋
2
n
－
n
×
2
n
＋
1
2<
/p>
1
－
2
n
＝
1
－
2
－
n
×
2
n
＋
1
＝
(1
－
n
)2
n
＋
1
－
2.
∴
T
n
＝
(
n<
/p>
－
1)2
n
＋<
/p>
1
＋
2.
5<
/p>
．
(2020·
武汉调研
)
已知正项等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满
足
S
2
＋
4
S
4
＝
S
6
，
a
< br>1
＝
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的公比
q
；
(2)
令
b
n
＝
a
n
< br>－
15
，求
T
< br>＝
|
b
1
|
＋
|
b
2
|
＋…＋
|
b
10
|
的值．
解：
(1){
a
n
}
是正项等比数列，若
q
＝
1
，则
S
n
＝
na
1
＝
n
，
< br>∴
S
2
＝
2,4
S
4
＝
4
×
4
，
S
6
＝
6
，不合
题意，
∴
q
≠
1
，从而
S
a
1
1
－<
/p>
q
n
n
＝
1
－
q
.
由
S
2
＋
4
S
4
< br>＝
S
6
可知
a
1
1
－
q
2
<
/p>
a
1
1
－
q
4
a
1
1
－
q
6
1
－
q
＋
4·
1
－
q
＝
1
－
q
，
∴
(1
－
q
2
)
＋
4(1
－
q
4
)
＝
1
－
q
6
，而
q
< br>≠
1
，且
q
>0
，
∴
1
＋
4(1
＋
q
2
)
＝
1
＋
q
2
＋
q
4
，即
q
4
－
3
q
2
－
4
＝
0
，
∴
(
q
2
－
4)(
q
2
＋
1)
＝
0
，∴
q
＝
2.
(2)
由
(1)
知
a
n
＝
2
n
－
1
，
则<
/p>
a
1
－
2
n
n
的前
n
项和
S
n
＝
1
－
2
＝
2
n
－
1.
当
n
≥
5
时，
b
n
＝
2
n
－
1
－
15>0
，
n
≤
4
时，
b
n
＝
2
n
－
1
－
15<0
，<
/p>