数学求和方法
徐传化-
知识要点：
数列求和的常用方法
1
．公式法；
2
．倒序相加法；
3
．错位相减法；
4
．分组转化法；
5
．裂项相消法．
1
．公式法；
(
1
)
等差数列
{
a
n
}
的前项
n
和
S
n
n
(
a<
/p>
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
< br>d
；
2
2
(
q
1
)
na
1
(
2
)
等比数列
{
a
n
}
的前项
n
和
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q
；<
/p>
(
q
1
)
1
q
1
q
< br>1
(
3
)
1
2
2
2
3
2
n
2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
；
6
1
(
4
)
1
3<
/p>
2
3
3
3
n
3
n
2
(
n
1
)
2
.
4
2
．倒
序相加法．
利用等差数列求和的方
法，将一个数列倒过来
排序，它与原数列相加
．
如：等差数列
{
a
n
}
前<
/p>
n
项和公式的推导：
< br>
S
n
a
1
a
2
a
n
S
a
a
a
< br>2
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
n
1
1
n
n
(
n
1
< br>)
S
n
.
2
3
．
错位相减法．
利用等
比数列求和公式
的推导方法求解，一般
可解决形如一个等差数<
/p>
列和一个等比
数列对应项相乘所得数
列的
求和．
如：等比数列
{
a
n
}
前
n
< br>项和公式的推导：
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
qS
a
a
a
a
(
1
q
)
S
n
a
< br>1
a
n
1
2
3
n
n
1
n
(
q
1
)
na
1
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q
.
(
q
1
)
1
q
1
q
1
4
．分组转化法．
通项虽不是等差或等比
数列，但通项是由等差
或等比数列的和的形式
，则可
进行拆分，分别利用基
本数列的和公式求和．
<
/p>
如求
{
n
(
n
1
)}
前
n
项的和：
n
(
n
1
)
n
2
n
]
< br>
S
n
(
1
2
1
)
(
2
2
2
)
(
n
2
n
< br>)
(
1
2
2
2
3
2
n
2
)
(
1
2
3
<
/p>
n
)
1
1
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
n
(
n
1
)
6
2
1
n
(
n
1
)(
n
2
)
3
5
．裂项相消法
．
把数列和式中的各项分
别裂开后，消去一部分
< br>从而计算和的方法，适
用于通
1
1
1
1
1
<
/p>
常见的拆项方法有：
项为
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
为等差数列，
(
).
a<
/p>
n
a
n
1
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
1
1
1
<
/p>
；
n
(
n
1
)
n
n
1
1
1
1
1
(
2
)
(
)
；
(
2<
/p>
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
< br>
1
1
1
1
1
(
3
)
[
]
；
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
1
1
(
4
)
(
a
b
)
；
a
< br>
b
a
b
m
1
m
m
(
5
)
C
n
C
n
1
C
n
；
(
< br>6
)
n
n
!
(
n
1
)!
<
/p>
n
!
；
(
7
)
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2
).
(
1
)
习
题讲解
例
1
：
(
1
)
等差
数列
{
a
n
}
的通项
a
n
2
n
1
，
b
n
解：
差数列
{
a
n
}
中，
a
n
2
n
1
，
< br>[
3
(
2
n
1
)
]
n
S<
/p>
n
n
(
n
2
)
，
2
S
b
n
n
n
2
,
n
[<
/p>
3
(
n
2
)]
n
1
T
n
n
< br>(
n
5
).
2
2
a
1
a
2
<
/p>
a
n
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
n
(
2
)
已知等比数列<
/p>
{
a
n
}
的公比为
2
，且前
4
项之和等于
1
，那么前
8
项之和是多少
.
解：
a
5
a
6
a
7
a
8
q
4
(
a
1
a<
/p>
2
a
3
a
4
)
2
4
1
16
，
< br>
a
1
a
2
a
8
1
16
17
.
2