收益还原法公式推导过程(精选.)
清油火锅-
收益法公式的推导过程
首先，要知道两个最基
本的公式，即等比数列求和公式、收益还原法的一般公式，其它所有公式
都是在这两个基
本公式的基础上推导出来。
等比数列求和公式
：
设首项为
a
1
,
公比为
q
,
a
n
为
第
n
项，
Sn
为前
n
项之和，则：
a
n
a
1
q
n
1
q
n
1<
/p>
S
n
< br>
a
1
q
1
(
1
s
)
n<
/p>
1
(1
s
)
n
1
S
n
a
1
< br>a
1
(1
s
)
1
s<
/p>
上述公式中的
q
的含义是等比数列的公比
（即
q=a
2
/a
1
）
，当采用
s
< br>表示递增或递减率时公式为：
a
n
a
1
(
1
s
)
n<
/p>
1
Sn
的推导
过程如下：
S
n
a
1
a
2
a
3<
/p>
...
a<
/p>
n
1
a
n
①
在上式两边分别乘以
q
，可得
qS
n
qa
1
qa
2
qa
3
...
qa
n
1
qa
n
< br>①
-
②可得：
a
2
a
3
a
4
...
a
n
qa
n
②
(1
<
/p>
q
)
S
n
a
1
qa
n
a
1
qa
1
q
n
1
a
1
a
1
q
n
<
/p>
a
1
(1
q
n
)
(
q
n
1)
S
n
a
1
q
1
收益还原法的一般公式
：
收益还原法一般公式的原理是把各
年的资金全部折现到估价时点。
a
n
a
1
a
2
P
...
(1
r
1
)
(1
r
1
)(1
r
2
)
(1
r
1
)(1
r
2
)...(1
r
n
)
当还原利率每年不变为
r
时，上述公式变为：
P
a
n
a
1
a
2
...
(1
r
)
< br>(1
r
)
2
(1
r
)
n
当还原利率每年不变为
r
时，纯收益也不变为
a
时，公式变为：
word.
P
a
a
a
...
2
n
(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
一、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于
零，土地有限使用年期下的计算公式：
P
a
1
(1
)
n
r
(1
r
)<
/p>
以下为推导过程：
由于
a
和
r
每年都不变，根据收益
还原法的一般公式，可知：
P
a
a
a
...
①
(1
<
/p>
r
)
(1
r
)
2
(1
r
)
n
a
(1
r
)
n
1
< br>a
(1
r
)
n
2
a
..
.
②
(1
<
/p>
r
)
n
(1
r
)
n
(1
r
)
n
(1
r
)
n
1
< br>
(1
r
)
n
2
.
.
.
<
/p>
1
a
③
(
1
r
)
n
上述公式③中的分子（红色字体部分）
，即为一个
首项为
1
，
公比为
< br>(1+r)
的等比数列的和，把等
比数列求和公式代入到
上述公式③中可得：
n
(1
r
)
n
1
(1
r
)
1
1
(1
r
)
1
r
a
P
a
(1
r
)
n
(1
r
)
n
(1
r
)
n
1
a
(1
r
)
n
1
a
n
r
(1
r
)
r
(1
r
)
n
a
1
【
1
< br>
】
n
r
(1
r
)
二、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于零，土地无限年期下的计算公式：
1
极限值
=0
，则：
土地无限年期，则
n=
无穷大，则上述公式中的
n
(1
r
)
a
a
P
【<
/p>
1
0
】
=
r
r
三、当
t
年以前（含
t<
/p>
年）纯收益有变化，其值为
ai
，
t
年以后纯收益无变化，其值为
a
，
r
每年不
变且大于零，
有限使用年期的价格计算公式：
a
i
a
1
P
[1
]
i
t
n
t
r
(1
r
)
(1
r
)
i
1
(1
r
)
word.
t
该公式的推导过程其实利用了收益法一般公式和每年纯收益不变的公式，推导过程
如下：
根据收益还原法的一般公式可得：
P
[
a
t
a
1
a
2
a
a
...
]
[
...
]
2
t
t
< br>
1
n
(1
r
)
(1
r
)
(
1
r
)
(1
r
)
(1<
/p>
r
)
t
a
i
a
a
[
...
]
i
t
1
n
(1
r
)
(1
r
)
i
1<
/p>
(1
r
)
t
a
i
a
a
a
a
a
a
a
< br>a
[
...
]
[
...
]
[
.
..
]
①
i
2
t
2
t
t
1
n
(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
< br>(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
(
1
r
)
i<
/p>
1
t
a
i
a
a
a
a
a
a
a
a
[
...
]
[
< br>
...
< br>
...
]
< br>②
i
2
t
2
t
t
1
n
(1
<
/p>
r
)
(1
r
)
(
1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
(1
r
)
(1
< br>
r
)
(1
r
)
i
1
(1
r
)
上述公式①中的红色字体部分
，一减一加，是为了把
t
年以后的纯收益不变情况补齐为从第一
年
开始纯收益就不变的情况，经过这样的处理后，变成了两个已知的求和公式（即公式②
中的红色部分
和紫色部分）
，这两部分即为
a
和
r
都不变的有限年期价格计算
公式，代入上式中可得：
a
i
a
1
a
1
P
[1
]
< br>[1
]
i
n
t
r
(
1
r
)<
/p>
r
(1
r
)
i
1
(1
r
)
i
1
t
t
t
a
i
a
1
1
[1
1
]
i
n
t
(1
r
)
r
(1
r
)
(1
r
)
a
i
a
1
1
[
]
①
<
/p>
i
t
n
(1
r
)
r
(1
r
)
(1
r
)
i
1
i
1
t
a
i
a
1
[1
]
i
t
n
t
(1
< br>
r
)
r
(1
r
)
(1
r
)
备注：个人认为，上述倒数第二步即公式①更容易记忆。
四、当
t
年以前（含
t
年）纯收益有变化，其值为
ai
，
t
年以后纯收益无变化，其值为
a
，
r
每年不变
且大
于零，无限使用年期的价格计算公式
1
土地无限年期，则
n
=
无穷大，则上
述公式中的
(1
r
< br>)
n
t
极限值
=0
，则：
a
i
a
P
i
r
(1
r
)
t
i
1
(1
r
)
t
五、还原率每年不变为
r
，纯收益按等差数列递增
或递减的计算公式：
word.