高中数列方法和解题技巧
世爵跑车-
高中数列方法与解题技巧
一
< br>、
数列求通项的
10
种方法
二
、
数列求和的
7
种方法
三
、
6
道高考数列大题
数列求通项的
10
种方法
一、公式法
例
1
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
2
a
n
3
2
n
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
方法：
等式两边同
时除以
2
n
1
，构造成等差数列，利用等差数列公式求解。
形式：
a
n
项系数与后面所
加项底数相同
二、累加法
例
2
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
a
n
1
a
n
< br>
2
n
1
方法
：
........................
将上述各式累加，中间式子首尾项
相抵可求得
a
n
a
2
a
1
2
1<
/p>
1
形式
：
a
n
1
数化为
1
。
例
3
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
a
n
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
.
方法
：同例
2
例
4
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
< br>，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
方法
：等式的两边同除以
3
，
，将
a
n<
/p>
系数化为
1
，再用累加法。
三、累乘法
例
5
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式<
/p>
.
。
a
n
f
n
；
要求
a
n
< br>
1
、
a
n
的系数均为
1
，对于
a
n
不为
1
时，需除以系
a
n
1
2
n
1
< br>5
n
a
n
方法
：
........................
..
将上述各式累乘，消除中间各项，可求得
a
n
a
2
2
1
1
5<
/p>
1
a
1
形式
：
a
n
1
f
n
•
a
< br>n
；
a
n
1
是
a
n
的关于
n
的倍数关系。
例
6
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
< br>1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式
.
方法
：
本题与例
5
不同之处是想要通过错位相减法，
求出
a
n
1
与
a
n
的递推关系，
然后才能用
累成法求。
四、待定系数法（
X,Y,Z
法）
例
7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
n
，
a
1
< br>
6
，求数列
a
n
的通项公式
.
方法
：构造数列
a
n
1
形式
：
a
n
1
x
•
5
n
1
2
a
n
x
•<
/p>
5
n
,
反解
x
。
ka
n
f
n
例
8
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
< br>1
3
a
n
5
2
n
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
<
/p>
方法
：
构造数列
a
n
1
<
/p>
x
•
2
0
n
1
y
3
a
n
x
•
2
y
，
本题中递推关系中含常数
n
4
，对于常数项，可看成是
n
。对于不同形式的
n
要设不同的参数。
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
< br>1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式<
/p>
.
方法
：同例
8
，但它的参数要设
3
个。
五、对数变换法
5
例
10
已
知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
n
a
n
，
a
1
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
方法
：等式两边
同取对数得到
lga
n
1
或者累加法求之。
形式
：
a
n
1
六、迭代法
例
11
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
lg2
n
lg3
5lg
a
n
，然后可利用待定系数法
f
n
a
n
x
,
其中对与
a
n
的高次方特别
有效。
a
3(
n
1)2
n
n
，
a
1
5
，求数列
{
a
}
的通项公式
.
n
方法
：按照数列对应函数关系，由
a
1
逐
层加上去，直到推到
a
n
为止。
形式
：
a
n
1
f
a
n
< br>
8(
n
1)
8
，
a
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
1
2
2
(2
n
1)
(2
n
3)
9
七、数学归纳法
例
12
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
方法
：演算
a
n<
/p>
的前
4
项，猜测、发现项数
n
与项值之间的关系，然后证明猜测的正确性。
<
/p>
形式
：对于形式比较繁复，无从下手时，可以考虑用数归法去大胆
猜测。
八、换元法
例
13
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
方法
：令
b
n
1
(1
<
/p>
4
a
n
1
24
a
n
)
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
16
1
24
a
n
，可将数列
a
n
递推关系转化为数列
b
n
的递推关系。从而去掉
，实现有理化或者整式化。
形式
：
a
n
1
f
1
< br>
a
n
或者
a
n
1
f
<
/p>
a
n
九、不动点法
例
14
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
<
/p>
21
a
n
24
，
a
1
4
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
4
a
n
1
21
x
24
方
法
：
求函
数
x
f
x
，
两
个自
变
量
与对
应
函
数相等
时
的
值，
解
得
4
x
1
a
n
1
3
a
n
3
x
1
2,
x
2
3
。即存在
k
使得
k
，由此可构成新的
等比数列
a
n
1
2
a
n
2
形式<
/p>
：
a
n
1
f
1
a
n
f
2
a
n
，且对应函数有两个不同的解。
7
a
n
2
，
a
1
2
，求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式
.
2
a<
/p>
n
3
例
15
已知数列
{
a
n
}
满足
a<
/p>
n
1
方法
：本题对应函数的解相等，为
1
，所以不能用不动点法，只能才用数归法做。
十、阶差法（逐项相减法）