怎样把实际问题化成数学问题复习题
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全国初中（初二）数学竞赛辅导
第二十八讲
怎样把实际问题化成数学
问题
(
一
)
数学从逻辑上讲，是训练思维的工
具．通过学习数学可以使人更加聪明，办事
更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一
方面，如果从应用上讲，数学也是一
种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各
种实际问题．那么怎样把一个
实际问题化成数学问题来解决呢？这是一个比较复杂的过程
，大体上可以通过以下
步骤进行：
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(1)
了
解实际问题中量的关系和图形元素的关联；
(2)
根据量或图形间的关系，寻找
相应的数学模式；
(3)
考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；
(4)
应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；
(5)
由数学问题的解答，对实际问
题作出解释与讨论；
(6)
推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．
但是由于实际问题千变万化，
特别复杂，所以当把实际问题化成数学问题求解
时，
也有不同的
思考方法．
下面提出几点较为常见的方法，
供读者参考．
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1
．抽象分析法
例
1
“七桥
问题”．在
18
世纪东普鲁士的首府哥尼斯堡有一条河，叫作布
勒
格尔河，横贯城区，在这条河上共架有七座桥
(
图
2
-
146)
．所谓“七桥问题”就是：
一个人要一次走过这七座桥，但对每一座桥只许
通过一次，问如何走才能成功？这
个问题，引起当时德国人的好奇，很多人都热衷于解决
它，但谁也没有成
功．
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欧拉<
/p>
(Euler)
是一位大数学家，
由于千
百人的失败，
使他猜想：
这种走法可能根
本不存在．但是怎样证明这种走法不可能呢？欧拉运用抽象分析法，将之化成数学
问题
，于
1736
年证明了他的猜想，使“七桥问题”得到圆满的解
决．那么欧拉是怎
样抽象成数学问题进行思考的呢？
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使问题简单化．
作为解决实际问题的第一步，
要尽可
能使问题简单化．
为此要抓住问题的要点，
做初步的抽象处理．
显然岛的大小和桥的长短与问题无关，因此可以不加考虑．如
果把岛及陆地用点表示，桥
用线表示，那么这个问题就成了一笔画问题
(
图
2
-
147)
．
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1 / 7
在图
2<
/p>
-
147
中，
由
A
到
B
有桥<
/p>
1
；
由
B
到
D
有桥
2
，
桥
3
；
由
D
到
C
< br>有桥
4
，
桥
5
；
由
C
到
A
有桥
7
；
由
A
到
D
有桥
6
，共七座桥．这样，就把实际问题数学化了，使问
题的解决推进了一步．
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一般说来，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形
，使其简单化，
以利于找到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种体现．先
把实际问
题化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解变形，化为最简方程，
较
容易地求出方程的解，实际问题也就解决了．
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寻找解决问题的方法．
问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以
分析，从中发现
规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．
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(1)
假如只有三座桥
(
图
2
-
148)
．对于图<
/p>
2
-
148(a)
来说，无论从哪个端点起一笔
画出总是可能的．但对图
2
-
148(b)
来说，无论从哪个端点起，
一笔画完总是不可能
的．
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(2)
假如有四座桥
(
图
2
-
149)
．
< br>对于图
2
-
149(a)
，
(b)
来说，
显然
可以一笔画成．
但
对图
2
-
149(c)
来说，却不能一笔画成．
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研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提
出了网络这一概
念，以便利用新概念的特性，解决已经提出的问题．
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定义
网络是由有限个点
(
称作网络的顶点
)
和有限
条线
(
称作网络的弧
)
所组成
的图形．这些点和线满足以下条件：
Emxvx
OtOco
(i)
每条弧都以不同的两个顶点作为端点；
2 / 7
(ii)
每个顶点至少是一条弧的端点；
(iii)
各弧彼此不相交．
这样，所谓一笔画问题，就是网络
中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾
画出来的问题．
(3)
研
究网络能一笔画出的特点，
寻找解决问题的方法．
我们假定一个
网络能一
笔画出来，
那么这个网络中显然有一点为起点，
另一点为终点，
其他各点为通过点．
设
某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿
另一条弧画回来，因此，最初是画出去，然后进出若干次后，把集中在某点的弧全
部通过完毕为止，最后一次必须是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条．而
终
点的情况刚好与起点相反，
先是画进，
再画出，
进出若干次，
最后一次必是画进，
因此终点也集中奇数
条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经
过若干次进出，最终回到起
点．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途通过的
点所集中的弧显然也必定是偶数条
．
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通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶数条弧，
< br>另一类顶点集中了奇数条弧．
我们称前者为偶点，
后者为
奇点．
例如，
在图
2
< br>-
149(b)
中，
A
，
B
为奇点，
C
，
D
为偶点．通过对图
2
-
148
和图
2
-
149
的考察，我们可以直观
地想到如下结论：
6ewMyirQFL
(i)
一
个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是
0
或
2
．
(ii)
一个网络中的奇点个数若是
0
或
2
，那么
这个网络一定能一笔画出来．
<
/p>
欧拉证明了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件
是当且仅当这个网络的任意两个顶点都有弧连接，并且奇数点的个数等于
0<
/p>
或
2
．
kavU
42VRUs
(4)
回到原问题．
利用欧拉定理，
“七桥问题”
很容易就解决了．
因为在图
2
-
147
中，奇点个数是
4<
/p>
，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按约定条件通过七座
桥．<
/p>
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(5)
推广．
如果一个网络的奇点个数不是
0
或
2
，
则这个网络不可能一笔画成．
那
么要多少笔才能画
成呢？这就成为多笔画的问题了．多笔画的研究发展了网络理论
的研究与应用，后来发展
成现代数学的一个分支——图论．
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归纳上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解决实际问
题的思维过程：
(1)
把实际问题简单化，抽象成数学问题．
(2)
解
决问题是靠发现事物间由简单到复杂、由特殊到一般的内在联系．
(3)
发
现的思路是以具体实例作为经验观察，
由简到繁地考察构成实例间的基本
事实和关系；再由诸特例作出一般的归纳猜想，并加以理论证明．
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(4)
应用论证后的法则，解决各种难题，实际上是化难为易．
(5)
把
法则加以推广，以解决更多的实际问题，并扩展数学的理论和应用．
2
．数据处理法
有些实际问题需要收集问题中的若
干对应数据，从数据中观察相关变量的依存
关系或对应关系，可以得到大致体现实际问题
有关变量变化规律的数学模型，从而
解答实际问题．下面举一个实例，说明这种方法的应
用．
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3 / 7