奥数讲座(3年级-下)(15讲)
祖国需要你的胃-
三年级奥数讲座（二）
目录
第一讲
从数表中找规律
第二讲
从哥尼斯堡七桥问题谈起
第三讲
多笔画及应用问题
第四讲
最短路线问题
第五讲
归一问题
第六讲
平均数问题
第七讲
和倍问题
第八讲
差倍问题
第九讲
和差问题
第十讲
年龄问题
第十一讲
鸡兔同笼问题
第十二讲
盈亏问题
第十三讲
巧求周长
第十四讲
从数的二进制谈起
第十五讲
综合练习
第一讲
从数表中找规律
在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出
发，继续研究数列的
规律性。
例
1
下图
是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字
.
分析与解答
这个数字三角形的每一行
都是等差数列（第一行除外），因此，第
5
行中的括号内填
20
，第
6
行中的
括号内填
24
。
例
2
用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：
①
这个三角阵的排列有何规律？
②
根据找
出的规律写出三角阵的第
6
行、第
7<
/p>
行。
③
推断第
2
0
行的各数之和是多少？
分析与解答
①首先可以看出，这个三角阵的两
边全由
1
组成；其次，这个三角阵中，第一行由
1
个数组成，第
2
行有两个数
„第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：
三角阵中的每一个数（两边上的
数
1
除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和
.
如：
2=1+1
，
3=2+1
，
4=3+1
，
6=3
＋
3
。
②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第
6
行的数为
1
，
5
，
10
，
10
，
5
，
1
；第
7
行的数为
1
，
6
，
15
，
20
，
15
，
6
，
1
。
③要求第
20
行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
< br>
至此，我们可以推断，第
20
行各数之和为
< br>2
19
。
[
本题中的数表就是著名的杨辉三角
，这个数表在组合论中将得到广泛的应用
]
例
3
将自然
数中的偶数
2
，
4
，
6
，
8
，
10
„按下表排成
5
列，问
2000
出现在哪一列？
分析与解答
方法
1
：<
/p>
考虑到数表中的数呈
S
形排列，
我们不妨把每两行分为一组，
每组
8
个数，
则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为
B
、
C
、
< br>D
、
E
、
D
、
C
、
B
、
A.
因此，
我们只要考察
2000
是第几组中的第几个数就可以了，因为<
/p>
2000
是自然数中的第
1000
个偶数，而
1000
÷
8
＝
125
，即
2000
是第
125
组中的最后一
个数，所以，
2000
位于数表
中的第
250
行的
A
列。
方
法
2
：仔细观察数表，可以发现：
A<
/p>
列中的数都是
16
的倍数，
B
列中数除以
16
余
2
或者
14
，
C
列中的数除以
16
余
4
或
12
，
D
列的数除以
16
余
6
或
10
，
E
列中的数除
以
< br>16
余
8.
这就是说，数表中数
的排列与除以
16
所得的余数有关，我们只要考察
2000
除以
16
所得的余
数就可以了，因为
2000
÷
16=1
25
，所以
2000
位于
A
列。
学习的目的不仅仅是为了会做一道题，
而是要学会思考问题的方法
.
一道题做完了，
我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么„这样学习才
< br>能举一反三，不断进步。
就例
3
而言，如果把偶数改为奇数，
2000
改为
1993
，其他条件不
变，你能很快
得到结果吗？
例
4
按图所
示的顺序数数，问当数到
1500
时，应数到第几列？
1993
呢？
分析与解答
方法
1
：同
例
3
的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有
9
个数，其余各
组都只有
8
个数。
（
1500-9
）÷
8
＝
186
< br>„
3
（
1993
—
9
< br>）÷
8
＝
248
所以，
1
500
位于第
188
组的第
3
个数，
1993
位于第
249
组的最后一个数，即
1500<
/p>
位于第④列，
1993
位于第①列。
方法
2
：考虑除以
8
所得
的余数
.
第①列除以
8
余
1
，第②列除以
8
余
2
或是
8
的倍
数，
第③列除以
8<
/p>
余
3
或
7
，
第④列除以
8
余<
/p>
4
或
6
，
第⑤列除以
8
余
5<
/p>
；
而
1500
÷
8=187
„
4
，
1993
÷
8=249
„
1
，则
1993
位于第①列，
1500
位于第④列。
例
5
从
1
开始的自然数按下图所示的规则排列，
并用一个平行四边形框出九个数，
能否
使这九个
数的和等于①
1993
；②
1143<
/p>
；③
1989.
若能办到，请写出平行四
边形框内的最
大数和最小数；若不能办到，说明理由
.
分析与解答
我们先来看这九个数的和有什么规律
.
仔细观察，
容易发现：
12+28<
/p>
＝
2
×
20
，
13+27=2
×
20
，
14+26=2
×
20
，
19+21
＝
2
×
20
，即：
20
是框中九个数的平均
数
.
因此，框中九
个数的和等于
20
与
9
的乘积
.
事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行
四边形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的
数乘以
9
。
①
因为
1993
不是
9
的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的
和等于
1993
。
②
114
3
÷
9
＝
12
7
，
127
÷
8
＝
15
„
7
.
这就是说，如果
1143
是符合条件
的九个数的和，
则正中间的数一定是
127
，
而
127
位于数表中从右边数的
第
2
列
.
但从
题中的图容易看出，
平行四边形正中间的数不能位于第
1
行，也不能位于从左数的第
1
列、第
2
列、第
7
列
和第
8
列，因此，不可能构成以
127
为中心的平行四边形。
③
19
89
÷
9=221
，
< br>221
÷
8=27
„
5
，即
1989
是
9
的倍数，且数
221
位于数表中从左
起的第
5
列，故可以
找到九个数之和为
1989
的平行四边形，如图：
其中最大的数是
229
，最小的数是
213.
习题一
1.
观察下面已给出的数表，并按规律填空：
< br>
2.
下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。<
/p>
3.
下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，
1993
在哪一列？
4.<
/p>
从
1
开始的自然数如下排列，则第
2
行中的第
7
个数是
多少？
解答
<
/p>
1.
第
5
行的括
号中填
25
；第
6
行的括号中填
37
。
2.<
/p>
这个数表的规律是：
第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的
数的差的
2
倍
.
即：
8=2
×（
6
< br>—
2
），
10
< br>＝
2
×（
10
< br>—
5
），
4=2
×（
9
—
7
< br>），
18=2
×（
20
—
11
）
.
因此，
括号内填
12
。<
/p>
3.19
93
应排在
B
列。
4.
参看下表：
第
2
行的第
7
个数为
30.
第二讲
从哥尼斯堡七桥问题谈起
故事发生在
18
世纪的哥尼斯堡城
.
流经那里的一条河中有两个小岛，
还有七座桥把
这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多
.
在这美丽的地方，人们议论着
一个有
趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
对于这个貌似简单的问题，许多人
跃跃欲试，但都没有获得成功
.
直到
1
836
年，瑞
士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性
。
欧拉
解决这个问题的方法非常巧妙
.
他认为：人们关心的只是一次不
重复地走遍这
七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点
，而桥则可
以看成是连接这些点的一条线
.
这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）
能否一笔画出的问题了
.
那么，
什么叫一笔画？什么样的图可
以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题
的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方
面的简单知识。
数学中，
我们把由有限个点和连接这些点的线
（线段或
弧）
所组成的图形叫做图
（如
图（
a
））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边
.
如图（
b
）中，有
三
个结点：
E
、
F
、
G
，四条边：线段
EG
、
FG
以及连接
E
、
F
的两段弧
.
从图（
a
）、（
b
）中
可以看出，任意两点之间都有一
条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一
点，如
A
到
I
的通路为
A
→
H
→
I<
/p>
或
A
→
D
→
I
„），这样的图，我们称为连通图；而下
图
中（
c
）的一些结点之间却不存在通
路（如
M
与
N
），像这样的图就不是连通图。
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍
历每条边恰好一次，
即每条边都只画一次，不准重复
.
从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通
图
< br>.
但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，
我们就
来探求解决这个问题的方法。
<
/p>
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点
称为偶点
.
如上图（
a
）中的八个结点全是奇点，上图（
b
）
中
E
、
F
为奇
点，
G
为偶点。
容易知道，上图（
b
）可以一笔画出，即从奇点
E
出发，
沿箭头所指方向，经过
F<
/p>
、
G
、
E
，最后到达奇点
F
；同理，从奇点
F
出发也可以一笔画出，最后到达奇点
E.
而从偶
点
G
出发，却
不能一笔画出
.
这是为什么呢？
事实上
，这并不是偶然现象
.
假定某个图可以一笔画成，且它的结点<
/p>
X
既不是起点，
也不是终点，而是中间点
，那么
X
一定是一个偶点
.
这是因为无论何时通过一条边到达
X
，由于不能重复，必须从另一条边离开
X.
这样与<
/p>
X
连结的边一定成对出现，所以
X
必
为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点
.
由此可以看出，在一个可以一
笔画出的图中，奇点
的个数最多只有两个。
在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言：这个图无法一笔画出，也即游人
不可能不重复地一次走遍七座桥
.
更进一步地，欧拉在
解决七桥问题的同时彻底地解决
了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：
①凡是由偶点组成的
连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后
一定能以这个点为终点画完
此图。
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以
一个奇
点为起点，另一个奇点为终点。
③其他情况的图，都不能一笔画出。
下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
例
1
观察下
面的图形，
说明哪些图可以一笔画完，
哪些不能，
为什么？对于可以一笔画
的图形，指明画法
.
分析与解答
（
a
）图：
可以一笔画，因为只有两个奇点
A
、
B
；画法为
A
→头部→翅膀→尾部→
翅膀→嘴。
(b
）图：不能一笔画，因为此图不是连通图。
（
c
）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：
A
、
B
、
C
< br>、
D
。
（
d
）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：
A
→
C
→
D
→
A
→
B
→
E
→
F
→<
/p>
G
→
H
→
I
→
J
→
K
→
B
。
（
e
）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
F
→
G
< br>→
H
→
I
→
J
→
B
→
D
→
F
→
H
→
J
→
A
。
（
f
）图：
不能一笔画出，因为图中有八个奇点。
注意：在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的
.
事实上，对于有两个奇点
的图来说，任一个
奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来
说，任一个偶点都可
以作为起点，最后仍以这点作为终点。
例
2
下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？
分析与解答
一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数
.
通过观察可以发现，上图
中所有的结点都是
偶点，因此，这个图可以一笔画出
.
画时可以任一结点作为起点
。
例
3
<
/p>
下图是某地区所有街道的平面图
.
甲、<
/p>
乙二人同时分别从
A
、
< br>B
出发，
以相同的速度
走遍所有
的街道，最后到达
C.
如果允许两人在遵守规则的条件下可以选
择最短路径的
话，问两人谁能最先到达
C
？
分析与解答
本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达
C
，
而且两人的速度相同
.<
/p>
因此，
谁走
的路程少，谁便可以先到达<
/p>
C
。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是
所有街道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：
A<
/p>
和
C.
这就是说，此
图可以以
A
、
C
< br>两点分别作为起点和终点而一笔画成
.
也就是说，甲可以
从
A
出发，不重
复地走遍所有的街道，
最后到达
C
；
而从
B
出发的乙则不行
.
因此，
甲所走的路程正好等
于所有街道路程的总和，
而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达
C
。
例
4
下图是某展
览厅的平面图，
它由五个展室组成，
任两展室之间都有门相通，
整个展
览厅还有一个进口和一个出口，
问游人能否一次不重复地穿过所有的门，
并且从入口进，
从出口
出？
分析与解答
这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，
就可以发现：我们并
不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走
遍所有的门，与七
桥问题较为类似
.
因
此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整
个展厅的外部也看作一
个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连
.
这样，
展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）<
/p>
能否一笔画成的问题了，即能否从
A
出发
，一笔画完此图，最后再回到
A
。
上图（
b
）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以
A
作为起点和终点而一笔
画完此图
< br>.
也即游人可以从入口进，
一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来
.
下面仅给出一种参观路线：
A
→
E
→
B
→
C
→
E
→
F
→
C
→
D
< br>→
F
→
A
。
注
意：本题中，必须以
A
分别作为起点和终点
.
这就要求图中必须没有奇点，否则，
若有两个奇点，虽能
一笔画出，但与从入口入、出口出（即游人的出发和终止点都在展
厅外）
有矛盾，
其他有多个奇点的情况则根本不可能一笔画出。
另外，
通过前面的学习，
大家已经知道：
一个图如果能够一笔画出，
则画的方法不止一种，
但各种方
法大同小异
.
因此，本书中，一笔画的问题，一般我们只给出一
种画法。
例
5
一张纸
上画有如下图所示的图，
你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两
个三角形？
分析与解答
一次连续剪下图中的三个正方形和
两个三角形，
必须要求剪刀连续剪过图中所有的
线
.
即上述问题实质上是这个图能否一笔画出的问题。
显然，图中有两个奇点，因此可以
一笔画出，剪刀所走的路线可以是：→
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
F<
/p>
→
G
→
E
→
I
→
G
→
H
→
A
→
I
→
C.
< br>这样，
就能用剪刀一次连续剪下三个正方形和两
个三角形
。
例
6
<
/p>
下图是一个公园的平面图
.
要使游客走遍
每条路而不重复，问出入口应设在哪里？
分析与解答
本题实际上是这个图以哪两点为起
点和终点一笔画出的问题
.
观察左图，可以发现
仅有两个奇点：
H
与
B
点
.
因此，出入口应分别设在
H
点与
B
点
< br>.
习题二
1.
请将图中的小黑点按
1
，
2
，
3
，
4
，
5
„的顺序，用线连接起来，看看是什么？
2.
请一笔画出下列各图
.
3.
判断下列各图能否一笔画出，并说明理由
.
4.
下图是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应设在哪
里？
5.
下图是一个商场的平面图，顾客
可以从六个门进出商场（阴影部分为各商品部，
空白处为通道），请你设计一种能够一次
走遍各通道而又不必走重复路线的进出方法
.
习题二解答
1.
左图是鹿，右图是青蛙。
2.<
/p>
图（
1
）（
2<
/p>
）都可从
A
开始，最后到
B
，或从
B
开始画，最后到<
/p>
A.
图（
3
）则
可
以从眼睛开始，沿线画至点
B
。
3.
前面图中，（
1
）
（
2
）
（
3
）均不能一笔画出，这是因为：图（
1
）中
有四个奇点，
图（
2
）有四个奇点，图
（
3
）有六个奇点。
图（
4<
/p>
）和图（
5
）均可一笔画出，这是因为图
（
4
）和图（
5
）都没有奇点
.
画时可
以从任一点开
始。
4
.
出入口应分别设在两个奇点处，即
A
、
B
处。
5.
可选
C
、
D
分别作为入口和出口
.
事实上，本题是把每条通道看作是边，通道的交
点
看作是结点（每个门也作为结点），于是问题就转化为右图能否一笔画出的问题
.
显
然以
D
、
C
分别作为起点和终点可一笔画完此图
.
如右图，顾客的行进路线可以是：
D
→
C
→
O
→
E
→
F
→
A
→
B
→
E
→
D
→
O
→
B
→
C.
第三讲
多笔画及应用问题
上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了
利用一笔画来研究一
些简单的实际问题
.
然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一
笔画理论不能直接用
来解决这些问题
.
因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一
类
的问题作一些深入研究。
一、多笔画
我们把不能一笔画成的图，归纳为
多笔画
.
首先，我们来考虑一个不能一笔画成的
图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可
< br>转化为连通图
.
）
下面，我们就用简单熟悉的图来研
究这个问题
.
通过前面的学习我们已经知道：当
奇点个数不是
0
或
2
时，图不能一笔画出
.
因此，我们可以猜想；奇
点个数是研究多笔
画问题的关键。
观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完
此图）的关系表格。
为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表
示，第二笔画出的部
分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己
画出
.
奇点个数与笔画数的关系可列表如下：
容易看
出，笔画数恰等于奇点个数的一半
.
事实上，对于任意的连通图
来说，如果
有
2n
个奇点（
n
为自然数），那么这个图一定可以用
n
笔画成
.
公式如下：
奇点数÷
2=
笔画数，即
2n
÷
2=n
。
细心的同学可能会问：
2n
是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，
这种情况不可能
出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数
.
想一想，这是为什么
呢？
例
1
观察下面的图，看各至少用几笔画成？
分析解答
（
1
）图中有
8
个奇结点，因此需用
4
笔画成。
（
2
）图中有
12
个奇点
，需
6
笔画成。
（
3
）图是无奇点的连通图，可一笔画成。
例
2
判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？
分析解答
图中共有
4
个奇点，因此，显然无法一
笔画成
.
要想改为一笔画，关键在于减少奇
点的数目（把奇点的个数减少到
0
或
2
），具体方法有两种：
①去边
.
即将多余的两奇点间的边去掉
.
这种方法只适用于多余的两奇点间有边相
连的情况，如对下图就不适
用
.
本题中，可去掉连结奇点
B
、
C
的边
BC
。
②添边
.
即在多余的两奇点间添上一条边
.
本题中，可以在奇点
A
、
C
间添上边
AC.
添边的方法适用于任
意多笔画的图。
改为一笔画时，具体实现的方案很多，如本题中，我们可以通过上述两种方法把奇
点个数减少到
0
。
小结：对于有
2n
（
n
为大于
< br>1
的自然数）个奇点的连通图来说，改为一笔画的方法
一
般是：在多余的
n-1
（或
n
）对奇点间，各添上一条边；如果这
n-1
对（
或
n
对）奇
点间都有边相连，也可以在
这
n-1
（或
n
）对间各去掉一条边。
例
3
将下图改为一笔画
.
分析解答
图（<
/p>
1
）中有
6
个奇
点，因此可添上两条（或
3
条）边后可改为一笔画；又因为这<
/p>
个图中，把这
6
个奇点任意分为
3
对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉
< br>两条边后改为一笔画，举例如图（
3
）～（
6
）。
图（
2
）中
有
4
个奇点，因此，可添上
2
条（或
1
条）边后改为一笔画；又因为把
奇点按
A
与
B
，
C
与
D
（或
A
与
D
，
B
与
C
< br>）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可
去掉两条（或
1
条）边后改为一笔画
.
举例如图（
7
）～（
8
）
.
<
/p>
说明：图（
6
）运用了两种方法，去掉边
BC
，添上边
AD
与
EF.
二、应用问题
在学习
了一笔画与多笔画的理论以后，我们来看看这些理论在实际问题中的应用。
例
4
下图是
某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（
D
与
E
两厅除外），并且有一个入口和一个出口
.
问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所
有的门？
如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办
到？
分析解答
类似于上一节中的问题，我们把每个厅看作一个结点（室外也看作一个结点），两
厅之间有门相通可看作两结点之间有线相连，于是问题转化为图（
2<
/p>
）能否一笔画完的
问题
.
显然，图中有四个奇点：
A
、
B
、
C
、
F
，不可能一笔画出，即游人不可能一次不重
复地穿过所有的门。
4
个奇点时，只要把连接其中两个奇点的一条边去掉，这个图就只剩下两个奇点，
就可以一笔画出，即游人可以用剩下的两个奇点分别作为起点和终点，不重复地穿过所
有的门
.
关掉一扇门实际上就是去掉一条边
.
因此，我们可以考虑去掉边
AC
或
AB.
但是，
值得注意的是
：游人必须从入口进入，也即结点
F
必须作为起点，而本题中有
4
个奇点
且只允许去掉一条边，因此<
/p>
F
必须是奇点，也即不能去掉与
F
相连的边。
<
/p>
通过上面的分析，我们知道：只要关闭
A
、
C
之间的门，或
A
< br>、
B
之间的门，游人就
可以从入
口（边
FC
或
FD
或
FE
）入，一次不重复地穿过所有的门。
例
5
下图是
某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室间有一门相通
.
请
你设计一个出口，使参观者能够从入口处
A
进去，一次不重复地经过所有的门，最后由
出口走出花房。
< br>
分析解答
同上分析，可把每个花室看作一个点（花房外也看作是一个结
点），每个门看作是
连接两结点的边，于是，上图就转化为右图
.
设计一个出口，实际上是添一条与结点
A
相连的边，使新图能够以
A
为起点和终点一笔画出，也就是
说，新图中，所有的点都必
须是偶点
.
观察右图，
发现只有
A
、
F
两个奇点，所以，应把
边添在
A
与
F
之间（如右图），
即：把出口开在花室
F
处。
例
4
与例
5<
/p>
都是把多笔画改为一笔画的实际应用。
例
6
下图
中的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的里数
.
邮递员从
邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局
.
问：邮递员怎样走，路线最合理？
分析解答
邮递员走的路程最短时，路线最合
理
.
利用一笔画的知识分析可得：因为邮递员从
邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最理想的，但实际上图中却有
8
个奇点，邮递员
必须重复走某些路线
.
根据多笔画改为一笔画的方法得知：重复走的路线的两个端点应
为奇点<
/p>
.
重复的总路程应该尽可能短。
我们把
需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的
路线如右图时
，重复的路程最短，全程共走了
56
＋
4
＝
60
（里）
.
其中
56
为所有街道的
总长，
4
为所重复走的路程。
本题属于最短邮递路线问题
.
解决这样的题目时，有两点值得注意：①在所给图中，
每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；②邮递路线中，邮
递员必须以邮局作为起点和终点，
即在最后能一笔画出的图中，
所有的点都必须是偶点
.
这也与前面游人可以选
择进出口的问题不同。
例
7
右图是某地区街道的平面图，
图上的数字表示那条街道的长度。
清晨，
洒水车
从
A
出发，要洒遍所有的街道，最后再回到
A.
问：如何设计洒水路线最合理？
分析解答
这又是一个最短路线的问题
.
通过分析可以知道：
在洒水路线中，
K
是中间点，
因此
必须成为偶点，这样洒水车必
须重复走
KC
这条边（如下左图）
.<
/p>
至此，奇点的个数并未
减少，仍是
6
个，但问题却转化为例
6
的类型
.
类似于例
6
，容易得出
，洒水车必须重复
走的路线有：
GF
、
IJ
、
BC.
即洒水路线如下右图。
全程
45
＋
3+6=5
4
（里）
.
习题三
1.
下列各图至少要用几笔画完？
2.<
/p>
游人在林间小路（如右图）上散步，问能否一次不重复地走遍所有的路后回到出
发点？如不能，应选择怎样的路线才能使全程最短，其最短路程是多少？
3.<
/p>
一辆清洁车清扫街道，每段街道长
1
公里
，清洁车由
A
出发，走遍所有的街道再
回到
A.
怎样走路程最短，全程多少公里？
4.
一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的
长度
.
请你设计一条
最短的投递路线，
并求出全程是多少？
解答
1.
（<
/p>
1
）
4
笔；（<
/p>
2
）
4
笔；（<
/p>
3
）
2
笔；（<
/p>
4
）
1
笔；（<
/p>
5
）
1
笔；（<
/p>
6
）
1
笔。
2.
游人不能一次不重复地走遍所有路后返回出发点，他必须至少重复三段路（即三
段长为
1
的小路）才能使全程最短
.
其最短程为
24
，如下左图
.
3.
清洁车走的路径为：
ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA.
即：清洁车必须至
少重
复走
4
段
1
公里的街道，如上右图
.
最短路线全
程为
28
公里。
4.
邮递
员的投递路线如下图，即：路线为：
ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIM
OJIJA.
最短
路线的全程为
39+9=48.
第四讲
最短路线问题
在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题
.
在这一讲里，我们
主要解决的问题是
如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例
1
下图<
/p>
4
—
1
中的线段
表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从
A
走到
B
处共
有多少条最短路线？
分析
为了叙述方便，我们在各交叉点
都标上字母
.
如图
4
< br>—
2.
在这里，首先我们应
该明
确从
A
到
B
的
最短路线到底有多长？从
A
点走到
B<
/p>
点，不论怎样走，最短也要走长
方形
AH
BD
的一个长与一个宽，
即
AD
＋
DB.
因此，
在水
平方向上，
所有线段的长度和应等
于
A
D
；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于
DB.
这样我们走的这条路线才是最短路
线
.
为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖
< br>直方向上不能向上走
.
因此只能向右和向下走。
有些同学很快找
出了从
A
到
B
的所有最短路线，即：
A
→
C
→
D
→
G
→
< br>B A
→
C
→
< br>F
→
G
→
B
A
→
C
→
F
→<
/p>
I
→
B A
→<
/p>
E
→
F
→
G
→
B
A
→
E
→
F
→
I
→
B A
→
E
→
H
→
I
→
B
通过验证，我们确信这六条路线都是从
A
到
B
的最短路线
.
如果按照
上述方法找，
它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”
.
当然如果图形更复杂
些，做到“不重”也是很困
难的。
现在观察这种题是否有规律可循。
1.
看
C<
/p>
点：由
A
、由
F
和由
D
都可以到达
C
，而由
F
→
C
是由下向上走，由
D
→
C
是
由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都
不可能是最短路线
.
因此，从
A
到
C
只有一
条路线。
同样道
理：从
A
到
D
、从
A
到
E
、
从
A
到
H
也都
只有一条路线。
我们把数字“
1
”分别标在
C
、
D
、
E
、
H
这四个点上，如图
4
—
2
。
2.
看<
/p>
F
点：从上向下走是
C
< br>→
F
，从左向右走是
E
→
F
，那么从
A
点出发到
F
，可以是
A
→
C
→
F<
/p>
，
也可以是
A
→
E
→
F
，
共有两种走法
.
我们在图
< br>4
—
2
中的
F
点标上数字
“
2
”
.2=1
＋
1.
第一个“
1
”是从
A
→
C
的一种走法；第二个“
1
”是从
A
→
E
的一种走法。
3.
看
G<
/p>
点：从上向下走是
D
→
< br>G
，从左向右走是
F
→
G
，那么从
A
→
G
我们在
G
点标上数字“
3
”
.3
＝
2+1
，“
2
”是从
A
→
F
的两种走法，“
1
”是从<
/p>
A
→
D
的一种走
法。
4
.
看
I
点：从上向下走是
F
→
I
，从左向右走是
H
→
I
，那么从出
发点
在
I
点标上“
3
”
.3
=2+1.
“
2
”是从
A
→
F
的两种走法；
“
1
”是从
A
→
H
的一种走法。
5.
看<
/p>
B
点：从上向下走是
G
< br>→
B
，从左向右走是
I
→
B
，那么从出发点
A
→
B
可以这样
走：
共有六种走法
.6=3
＋
3
，第一个“
3
”是从
A
→
G
共有三种走法，第二个“
3
< br>”是从
A
→
I
< br>共有三种走法
.
在
B
点标上“
6
”。
我们观察图
4
—
2
发现每一个小格右下角上标的
数正好是这个小格右上角与左下角
的数的和，这个和就是从出发点
A
到这点的所有最短路线的条数
.
这
样，我们可以通过
计算来确定从
A
→<
/p>
B
的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。
解：由上面的
分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为
这格右下角应标的数
字
.
我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。
根据这种“对角线法”，
B
点标
6
，那么从
A
到
B
就有
6
条不同的最短路线（见图
4
—
3
）。
答：从
A
到
B
共有
6
条不同的最短路线。
例
2
图
4
—
4
是一个街道
的平面图，
纵横各有
5
条路，
某人从
A
到
B
处
（只能从北向南
及
从西向东），共有多少种不同的走法？
分析因为
B
点在
A
点的东南方向，题目要求我们
只能从北向南及从西向东，也就是
要求我们走最短路线。解：如图
4
—
5
所示。
答：从
A
到
B
共有
70
种不同的走法。
例
3
如图<
/p>
4
—
6
，从甲地
到乙地最近的道路有几条？
分析
要求
从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有
几条
.
把各交叉点标上字母，如图
4
—
7.
这道题的图形与例
1
、例
2
的图形又有所区别，
< br>因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的。
①由甲→
A
有
1
种走法，由甲→
F
有
1
种走法，那么就可以确
定从甲→
G
共有
1
＋
1
＝
2
（种）走法。
< br>②由甲→
B
有
1
种走法，由甲→
D
有
1
种走法，那么可以确定由甲→
E
共有
1+1
＝
2
（种）走法
.
③由
甲→
C
有
1
种
走法，
由甲→
H
有
2
种走法，
那么可以确定由甲→
J
共有
1+2=3
（
种）
走法。
④由甲→
G
有
2
种走法，由甲→
M
有
1
种走法，那么可以确定从甲→
N
共有
2
＋
1=3
（种）走法。
⑤从甲→
K
有
2
种走法，从甲→
E
有
2
种走法，那么从甲→
L<
/p>
共有
2
＋
2=4
（种）走
法。
⑥从甲→
N
有
3
种走法，从甲→
L
有
4
种走法，那么可以确定
从甲→
P
共有
3
＋
4=7
（种）走法。
⑦从甲→
J
有
3
种走法，从甲→
P
有
7
种走法，那么从甲→乙
共有
3+7=10
（种）走
法。
解：
在图
4
—
7
中各交叉点标上数，
乙处标上
10
，
则从甲到乙共有
10
条最近
的道路。
例
4
某城市
的街道非常整齐，如图
4
—
8
所示，从西南角
A
处到东北角
< br>B
处要求走最近
的路，并且不能通过十字路口
C
（因正在修路）
.
问共
有多少种不同的走法？
分析
因为
B
点在
A
点的东北角，所以只能向东和向
北走
.
为了叙述方便，在各交叉
点标上
字母，如图
4
—
9.
①
从
A
→
A
1
有
1
种走法，
A
→
A
11
有
1
种走法，那么可以确定从
A
→
< br>A
10
共有
1
< br>＋
1=2
（种）走法。
②
从
A
→
A
2
有
1
种走法，
A
→
A
10
有
2
种走法，
那么可以
确定从
A
→
A
9
共有
1+2=3
（种）
走法。
③
从
A
→
A
3
有
1
种走法，
A
→
A
9
有
3
种走法，
那么可以确定从
A
→
A
8
共有
1+3=4
（种）
走法
.
④从
A<
/p>
→
A
4
有
1
种走法，
A
→
A
8
有
4
种走法，那么可以确定
A
→
A
7
，共有
1+4=5
（种）
走法。
⑤
从
A
→
A
5
有
1
种走法，
A
→
A
7
有
5
种走法，
那么可以确定
A
→
A
6
共有
1
＋
5
＝
6
（种）
走法。
⑥
从
A
→
C
1
有
1
种走法，
A
→
A
10
有
2
种走法，
那么可以
确定从
A
→
C
2
共有
1+2=3
（种）
走法。
⑦
从
A
→
C
2
有
3
种走法，
A
→
A
9
有
3
种走法，那么可以确定
A
→
C
3
共有
3+3=6
（种）
走法。
⑧
从
A
→
C
4
可以是
A
→
C
→
C
4
，也可以是
A
→
A
7
→
C
4
，因为
C
处正在修路，所以
A
→
C
→
C
4<
/p>
行不通，只能由
A
7
→
C
4
，由于
A
→
A
7
有
5
种走法，所以
A
< br>→
C
4
也有
5
种走法，从
A
→
A
6
有
6
种走法，所以从
A
→
C
5
共有
5+6
＝
11
（种）走法。
⑨从
A
→<
/p>
B
6
有
1
种走法，
A
→
C
2
有
3
种走法，<
/p>
那么可以确定从
A
→
B
7
共有
1
＋
3=4
（种）
走法。
⑩从
A
→
B
7
有
4
种走法，
A
< br>→
C
3
有
6
种走法，
那么可以确定从
A
→
B
8
共有
4
＋
6=10
（
种）
走法。
⑾从
A
→<
/p>
B
9
可以是
A<
/p>
→
B
8
→
B
9
，也可以是
A<
/p>
→
C
→
B
9
，因为
C
处正在修
路，所以
A
→
C
→
B
9
行不通，只能由
B
8
→
B
< br>9
，由于
A
→
< br>B
8
有
10
种走法，所以
A
→
B
9
。也有
10
种走法
.
从
A
→
C
4
有
5
种走法，所以从
A
→
B
10
共有
10+5=15
（种）走法。
⑿
从
A
→
C
5
有
11
种走法，
A
→
B
10
有
15
种走法，那么从
A
→
B
11
共有
15+11=26
（种）
走法。
⒀
从
A
→
B
5
有
1
种走法，
A
→
B
7
有
4
种走法，
那么可以确定从
A
→
B
4
共
有
1+4=5
（种）
走法。
⒁
从
A
→
B
4
有
5
种走法，
A
→
B
8
有
10
种走法，那么可以确定从
A
→
< br>B
3
共有
5+10=15
（种）走法
.
(15)
从
A
→
B
3
有
15
种走法，
A
→
B
9
有
10
种
走法，
那么可以确定从
A
→
B
2
共有
15
＋
10=25
（种）走法。
(16)
从
A
→
B
2
有
25
种走法，
A
→
B
10
有
15
种走法，
那么可以确定从
A
→
B
1
共有
25+15=40
（种）走法。
(17)
从
A
→
B
1
有
40
种走法，
A
→
B
11
有
26
种走法，
那么可以
确定从
A
→
B
共有
40+26=66
（种）走法。
解：如图
4-10
所示。
答：从
A
到
B
共有
66
种
不同的走法
.
习题四
1.
如果沿图
4-11
中的线段，以最短的路程，从
A
点出发到
B
点，共有多少种不同
的走法？
2.
从学校到少年宫有
4
条东西向的马
路和
3
条南北向的马路相通
.
如图
4-12
，李楠
从
学校出发，步行到少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的行走路线？
3.
如图
4-13
< br>，从
P
到
Q
共有多少种不同的最短路线？
4.
如图
4-14
所示为某城市的街道图，若从
A
走到
B
（只能由北向南、由西向东），
则共有多少种不同的走法？
5.
如图
4-15
所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？
6.
图
4-
16
为某城市的街道示意图，
C
处正在
挖下水道，
不能通车，
从
A
到
B
处的最
短路线共有多
少条？
7.
如图
4-17
所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路的条件下，可
以有多少种不同
的走法？
8.
图
4-
18
是某城市的主要公路示意图，今在
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
H
路口修建立交桥，
车辆不能通行，那么从
A
到
B
的最近
路线共有几条？
解答
1.
解：
答：从
A
到
B
共有
12
6
种走法。
2.
解：
答：从
学校到少年宫最多有
10
种不同的行走路线。
< br>
3.
解：
答：从
P
到
Q
共有
12
6
条不同的最短路线
.
4.
解：
答：从
A
到
B
共有<
/p>
12
种走法。
5.
解：
答：从
甲到乙最近的道路有
11
条。
6.
解：
答：从
A
到
B
的最短路线有
431
条
.
7.
解：
答：从
A
到
B
有
25
种不同的走法。
8.
解：
答：从
A
到
B
最短的路线有
699
条
.
第五讲
归一问题
为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法
.
除数是
几，就称几归；除数是
8
，就称为
8
归
.
而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概
就是归一
说法的来历吧！
归一问题有两种基本类型
.
一种是正归一，也称为直进
归一
.
如：一辆汽车
3
小时行
150
千米，照这样，
7
小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一
.
如：修路
队
6
小时
修路
180
千米，照这样，修路
240
千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量
；不同点在第二步
.
正归一问题是求几个单一量是多少，反归一
是求包含多少个单一量。
例
1
一只小蜗牛
6
分钟爬行
12
分米，照这样速度
1
小时爬行多少米？
分析
<
/p>
为了求出蜗牛
1
小时爬多少米，必须先求
出
1
分钟爬多少分米，即蜗牛的速
度，
然后以这个数目为依据按要求算出结果。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？
12÷6=2（分米）
② 1
小时爬几米？
1
小时
=60
分。
2×60=120
（分米）
=12
（米）
答：小蜗牛
1
小时爬行
12
米。
还可以这样想：先求出
题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即
60
分是
6
分的几倍），然后用
1
< br>倍数（
6
分钟爬行
12
分米）乘以倍数，使问题得解。
解：
1
小时
=60
分钟
12×（60÷6）＝12×1
0<
/p>
＝
120
（分米）＝
12
（米）
或
12÷
（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）
=12
（米）<
/p>
答：小蜗
牛
1
小时爬行
12
米。
例
2
一个粮食加工厂要磨面粉
20000
千克
.3
小时磨了
6000
千克
.
照这样计算，磨
完剩下的面粉还要几小时？
方法
1
：
分析
<
/p>
通过
3
小时磨
6
000
千克，可以求出
1
小时磨粉数量
.
问题求磨完剩下的要几
小时，所以剩
下的量除以
1
小时磨的数量，得到问题所求。
< br>
解：（
< br>20000-6000
）÷（6000÷3）
=7
（小时）
答：磨完剩下的面粉还要
7
小时。
方法
2
：用比例关系解。
解：设磨剩下的面粉还要
x
小时。
6000x
＝3×14000
x=7
（小时）
答：磨完剩下的面粉还要
7
小时。
例
3
学校
买来一些足球和篮球
.
已知买
3
个足球和
5
个篮球共花了
281
元；买
3
个
足球和
7
个篮球共花了
355
元
.
现在要买
5
个足球、
4
个篮球共花多少元？
分析
要求
5
个足球和
4
个篮球共花多少元，关键在
于先求出每个足球和每个篮球
各多少元
.
根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差
7-5
＝
2
（个），总价差
35
5-281
＝
74
（元）
.74
元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个
篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。
解：①一个篮球的价钱：（
355-
281
）÷（
7-5
）
=37
元
②一个足球的价钱：（
281-
37×5）÷3＝
32
（元）
③共花多少元？
32×5＋37×4=308（元）
答：买
5
个
足球，
4
个篮球共花
308
元。
例
4
一个长方体的水槽可容水
480
吨
.
水槽装有
一个进水管和一个排水管
.
单开进
水管
8
小时可以把空池注满；单开排水管
6
小时可把满池水排空
.
两管齐开需多少
小时
把满池水排空？
分析
要求
两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水
速度
.
当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内
排出
的水等于进水与排水速度差
.
解决
了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水
所需时间。
解：①进水速度：480÷8=6
0（吨
/
小时）
②排水速度：480÷6=80（
吨
/
小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（
80-60
）
=24
（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6
-
480÷8）
=24
（小时）
答：两管齐开需
24
小时把满池水排空。
例
5 7
辆“黄河牌”卡车
6
趟运走
336
吨沙土
.
现有沙土
560
吨，要求
5
趟运完，
求需要增加同样的卡车多少辆？
方法
1
：
分析
<
/p>
要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求
5
趟运完
560
吨沙土，每趟需多少辆
卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
②560
吨沙土，
5
趟运完，每趟必须运走几吨？
560÷5＝
112
（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8
-7
＝
7
（辆）
列综合算式：
560÷5÷（336÷6÷7）
-
7
＝
7
（辆）
答：需增加同样的卡车
7
辆。
方法
2
：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数
时，可以列出两种不同情况的算式：
①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除
以
6
，先求出
7
辆卡车
1
次运的吨数，再除以
7
求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以
7
，求出一辆卡车
6
次运的吨数，再除以
6
，
求出每辆卡车的载重量。
在求
56
0
吨沙土
5
次运完需要多少辆卡车时，
有以下几种不同的计算方法：
求出一
共用车
14
辆后，再求增加的辆数就容易了。
< br>
例
6
某车间要加工一批零件，原计划
由
18
人，每天工作
8
小时，
7.5
天完成任务
.<
/p>
由于缩短工期，要求
4
天完成任务，可是
又要增加
6
人
.
求每天加班工作几小时？
分析
我们把
1
个工人工作
1
小时，作为
1
个工时
.
根据已知条件
，加工这批零件，
原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，
使我们知道了工作总量
.
有了工作总量，
以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要
能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加
6
人后每天工作几小时？
1080÷（
18+6
）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？
11.25-8=3.25
（小时）
答：每天要加班工作
3.25
小时。
例
7
甲、乙两个打字员
4
小时共打字
3600
个<
/p>
.
现在二人同时工作，在相同时间内，
甲
打字
2450
个，乙打字
2050
个
.
求甲、乙二人每小时各打字多少个？<
/p>
分析
已知条件告诉我们：“在相同时
间内甲打字
2450
个，乙打字
205
0
个.”既然
知道了“时间相同”，问题就容易解决了
.
题目里还告诉我们：“甲、乙二人
4
小时共
打字
3600
个
.”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，
就可求出所用时间
了
.
解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？
3600÷4＝
< br>900
（个）
②“相同时间”是几小时？
（
245
0
＋
2050
）÷900＝
5
（小时）
③甲打字员每小时打字的个数：
2450÷5=490（个）
④乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）
答：甲打字员每小时打字
490
个，乙打字员每小时打字
410
个。
还可以这样想
：
这道题的已知条件可以分两层
.
第一
层，
甲乙二人
4
小时共打字
3600
个；第二层，在相同时间内甲打字
245
0
个，乙打字
2050
个
.
由这两个条件可以求出在
相同的时间内，甲乙二人
共打字
2450+2050=4500
（个）；打字
3600
个用
4
小时，打字
4
500
个用几小时呢？先求出
4500
是
3600
的几倍，
也一定是
4
小时的几倍，
即“相同时
间”。
解：①“相同时间”是几小时？
4×[（
2450
< br>＋
2050
）÷3600]＝
5
（小时）
②甲每小时打字多少个？
2450÷5=490（个）
③乙每小时打字多少个？
2050÷5=410（个）
答：甲每小时打字
490
个，乙每小时打字
410
个
.
习题五
1.
花果山上桃树多，
6
只小猴分
180
棵
.
现有小猴
72
只，
如
数分后还余
90
棵，
请算
出桃树有几棵？
2.5
箱蜜蜂一年可以酿
75
千克蜂蜜，
照这样计算，
酿
300
千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？
3.4
辆汽车行驶
< br>300
千米需要汽油
240
公升
.
现有
5
辆汽
车同时运货到相距
800
千米
的地方，
汽油只有
1000
公升，问是否够用？
4.5
台
拖拉机
24
天耕地
12000
公亩
.
要
18
天耕完
54000
公亩土地，
< br>需要增加同样拖
拉机多少台？
解答
1.180÷6×72+90=2250（棵）
或：180×（72÷6）
+90=2250
（棵）
答：桃树共有
2250
棵。
2.300÷（75÷5）
-5=1
5
（箱）
或
5×[（
300-75
）÷75]=5×3=15（箱）
答：要增加
15
箱蜜蜂。
3.
提示：要想得知
1000
公升汽油是否够用，先算一算行
800
千米需要的汽油，然
后进行比较
.
如果大于
1000
公升，说明不够用；小于或等于
1000
公升，说明够用。
240÷4÷300×5×800=800（公升）
800
公
升＜
1000
公升，说明够用
.
答：
10
00
公升汽油够用。
4.
提示：先求出
< br>1
台拖拉机
1
天耕地公亩数，然
后求出
18
天耕
54000
公亩需要拖
拉机台数，再求增加台数。
答：需要增加
25
台拖拉机
.
第六讲
平均数问题
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，<
/p>
如“求一个班级学生的
平均年龄、平均身高、平均分数„„”。<
/p>
平均数问
题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准
数求平均数。<
/p>
解答这类
应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数
除以它相对应的
份数，求出一份数，即平均数。
一、算术平均数
例
1
用
4<
/p>
个同样的杯子装水，水面高度分别是
4
厘
米、
5
厘米、
7
厘米和
8
厘米，
这
< br>4
个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析
<
/p>
求
4
个杯子水面的平均高度，就相当于把
4
个杯子里的水合在一起，再平均
倒入
4
个杯子里，看每个杯子里水面的高度。
解：（
4
＋
5+7+8
）÷4=6（厘米）
答：这
4
个杯子水面平均高度是
6
厘米。
例
2
蔡琛在期末考试中，政治、语文
、数学、英语、生物五科的平均分是
89
分
< br>.
政治、数学两科的平均分是
91.5
< br>分
.
语文、英语两科的平均分是
84
分
.
政治、英语两科
的平均分是
86
分，而且英语比语文多
10
分
.
问蔡琛这次考试的
各科成绩应是多少分？
分析
解题关键是根据语文、英语两科
平均分是
84
分求出两科的总分，又知道两科
< br>的分数差是
10
分，用和差问题的解法求出语文、英语各
得多少分后，就可以求出其他
各科成绩。
解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）
②语文：
89-10=79
（分）
③政治：86×2
-89
＝
83
（分）
④数学：
91.5×2
-83
＝
100
（分）
⑤生物：
89×5
-
（
89
＋
79
＋
83
＋
100
）＝
94
（分）
答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是
89
分、
79
分、
83
分、
100
分、
94
分。
二、加权平均数
例
3
果品店把
2
千克酥糖，
3
千克水果糖，
5
千克奶糖混合成什锦糖
.
< br>已知酥糖每千
克
4.40
元，水
果糖每千克
4.20
元，奶糖每千克
7
.20
元
.
问：什锦糖每千克多少元？
分析
要求混合后的什锦糖每千克的价
钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相
对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：
4.40×2+4.20×3+7.20×5＝
57.4
（元）
②什锦糖的总千克数：
2
＋
3
＋
5
＝
10
（千克）
③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）
答：混合后的什锦糖每千克
5.74
元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例
3
中的
5.74
元叫做
4.40
元、
4.20
元、
7.20
元的加权平均数
.2
千克、
3
千克、
< br>5
千克这三个数很重要，对什锦糖的单
价产生不同影响，
有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。
例
4
甲乙
两块棉田，平均亩产籽棉
185
斤
.<
/p>
甲棉田有
5
亩，平均亩产籽棉
203
斤；
乙棉田平均亩产籽棉
< br>170
斤，乙棉田有多少亩？
分析
此题
是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数
的权数的问题
.
甲棉田平均亩产籽棉
203
斤比甲乙棉田平均亩产多
18
斤，
< br>5
亩共多出
90
斤
.
乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少
15
斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就
是看
90
斤里面包含几个
15
斤，从而求出
的是乙棉田的亩数，即“权数”。
解：①甲棉田
5
亩比甲乙平均亩产多多
少斤？
（
203-185
）×5=90（斤）
②乙棉田有几亩？
90÷（
185-170
）
=6
（亩）
答：乙棉田有
6
亩。
三、连续数平均问题
我们学过的连续数有“连续自然数
”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连
续数的和求出这几个数，也叫平均问题。
例
5
已知八个连续奇数的和是
144
，求这八个连续奇数。
分析
<
/p>
已知偶数个奇数的和是
144.
连续数的
个数为偶数时，它的特点是首项与末项
之和等于第二项与倒数第二项之和，
等于第三项与倒数第三项之和„„即每两个数分为
一组，八个数分成
4
组，每一组两个数的和是
144÷4＝
36.
这样可以确定出中间的两个
数，再依次
求出其他各数。
解：①每组数之和：144÷4=36
②中间两个数中较大的一个：（<
/p>
36
＋
2
）÷2
＝
19
③中间两个数中较小的一个：
19-2=17
∴这八个连续奇数为
11
、
13
、
15
、
17
、
19
、
21
、
23
和
25
。
答：这八个连续奇数
分别为：
11
、
13
< br>、
15
、
17
< br>、
19
、
21
< br>、
23
和
25
< br>。
四、调和平均数
例
6
一个运动员进行爬山训练
.
从
A
地出发，
上山路长
11
千米，
每小时行
4.4
千米
.
爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行
5.5
千米
.
求这位运动员上山、下山的平均速
度
。
分析
这道题目是行程问题中关于求上
、
下山平均速度的问题
.
解题时应区分
平均速
度和速度的平均数这两个不同的概念
.
< br>速度的平均数
=
（上山速度
+<
/p>
下山速度）÷2，而平
均速度
=
上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。
解：①上山时间：
11÷4.4=2.5（小时）
②下山时间：11÷5.5=2（小时）
五、基准数平均数
例
7
中关村三小有
< br>15
名同学参加跳绳比赛，
他们每分钟跳绳的个数分别为
93
、
94
、
85
、
92
、
86
、
88
、
94
、
91
、
88
、
89
、
92
、
86
、
93
、
90
、
89
，求每个人平均每分钟跳绳多
少个
？
分析
从他们每人跳绳的个数可以看出
，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其
中一个数
90
做为基准数，
再找出每个加数与这个基准数的差
.
大于基准数的差作为加数，
如
93
＝
90+3
，
3
作为加数；小于基准数的差作为减数，如
87=90-3<
/p>
，
3
作为减数
.
把这些
差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再
除以和数的个数就可以算出结
果。
解：①跳绳总个数。
93+94+85+92+86+
88+94+91+88+89+92+86+93+90+89
=90×15+（
3+4+2+4+
1+2+3
）
-
（
5+4+2+2+1+4+1
）
=1350+19-19
=1350
（个）
②每人平均每分钟跳多少个？
1350÷15=90（个）
答：每人平均每分钟跳
90
个
.
习题六
1.
某次数学考试，甲乙的成绩和是
1
84
分，乙丙的成绩和是
187
分，丙
丁的成绩和
是
188
分，甲比丁多
1
分，问甲、乙、丙、丁各多少分？
2.
求<
/p>
1962
、
1973
、
1981
、
1994
、
2005
的平均数。
3.
缝纫
机厂第一季度平均每月生产缝纫机
750
台，
< br>第二季度生产的是第一季度生产
的
2
倍多
66
台，下半年平均月生产
1
200
台，求这个厂一年的平均月产量。
4.
甲种
糖每千克
8.8
元，
乙种糖每千克
7.2
元，
用甲种糖
5
千克和多少乙种糖混合，
才能使每千克糖的价钱为
8.2
元？
5.7
个连续偶数的和是
1988
，求这
7
个连续
偶数。
6.6
个学生的年龄正好是连续自然数，他们的年龄和与小明爸爸的年龄相同，
7
个
人年龄一共是
12
6
岁，求这
6
个学生各几岁？
7.
食堂买来
5
只羊，每次取出两只合称一次重量，得
到十种不同的重量（千克）：
<
/p>
47
、
50
、<
/p>
51
、
52
、<
/p>
53
、
54
、<
/p>
55
、
57
、<
/p>
58
、
59.
问
这五只羊各重多少千克？
习题六解答
1.∵
甲
+
乙
=184
（
1
）
乙
+
丙
=187
（
2
）
丙
+
丁
=188
（
3
）
（
2
）
-
（
1
）丙
-
甲
=3
（
4
）
（
3
）
-
（
4
）丁
+
甲
=185
∴甲
=<
/p>
（
185+1
）÷2=93（分）
丁
=93-1=92
（分）
乙
=18
4-93=91
（分）
丙
=187-91=96
（分）
答：甲、乙、丙、丁的成绩分别为
93
分、
91
分、
96
分、和
92
分。
2.1962+1973
＋
1981+1994+2005
=1981×5+（
13+24
）
-
（
8
＋
< br>19
）
=9915
。
9915÷5＝
< br>1983
。
3.①上半年总产量：
750×3+750×3×2＋<
/p>
66=6816
（台）
②下半年总产量：1200×6=7200（台）
③平均月产量：（
6816
＋
7200
）÷12
=1168（台）
答：平均月产量是
1168
台。
4.
（
8.8-8.2
）×5÷（
8.2
-7.2
）
=3
（千克）
答：与乙种糖
3
千克混合。
5.
分析
已知奇数个偶数的和，可以用和除以个数求出中间数，再求出其他各偶数。
中间数：1988÷7=284
其他六个数分别为
278
、
280
、
282
、
284
、
286<
/p>
、
288
、
29
0
。
<
/p>
答：这
7
个偶数分别为：
278
、
280
、
282
、
284
、
286
、
288
、<
/p>
290
。
6.
分析
6
个孩子年龄和与小明爸爸年龄相同，说明小明爸爸年龄是
12
6
岁的一半，
是
63
< br>岁
.
其他
6
个学生的年龄和也是
63
岁.
6
3÷3＝
21
（岁），
21=10<
/p>
＋
11
为中间两个
数，所以其他四人年龄依次为
8
、
9
、
12
、
13
岁。
<
/p>
答：这六个学生的年龄分别为：
8
、
9
、
10
、
11
、
12
、
13
岁。
7.
解：设
5
只羊的重量从轻到重依次为
A1
、<
/p>
A2
、
A3
、<
/p>
A4
、
A5.A1+A2=47
，
A1+A3=50„„A3+A5=58，
A
4+A5=59.10
次称重
5
只羊各
称过
4
次，所以它们的重量和应
是：<
/p>
A1
＋
A2
＋
A3
＋
A4
＋
A5
=
（
47+50+51
＋
52
< br>＋
53+54+55+57+58+59
）÷4=134
A3=
134-
（
A1+A2
）
-
（
A4+A5
）
=28
A1
＝
50-28
＝
2
2 A2
＝
47-22
＝
25
A5
＝
58-28=30
A4=59-30=29
答：这
5
只羊的重量分别为
22
千克、
25
千克、
28
千克、
29
千克、
30
千克
.
第七讲
和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题
.
为了
帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系
，常采用画线段图的方法来表示两种量间
的这种关系，以便于找到解题的途径。
例
1
甲班和乙班共有图书
160
本
.
甲班的图书本数是乙班的
3
倍，甲
班和乙班各有图书
多少本？
分析
设乙
班的图书本数为
1
份，则甲班图书为乙班的
3
倍，那么甲班和乙班图书
本数的和相当于乙班图书本数的
4
倍
.
还可以
理解为
4
份的数量是
160
本，求出
1
份的
数量也就
求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数
.
用下图表示
它们的关系：
解：乙班：
160
< br>÷（
3+1
）
=40
（本）
甲班：
40
×
3=120
（本）
或
160-40=120
（本）
答：甲班有图书
120
本，乙班有图书
40
本。
这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是
160
本；再把甲班的本数除以乙
班本数，看是不
是等于
3
倍
.
如果与条件相符，表明这题作对了
.
注意验算决不是把原式
再算一遍。
验算：
120
＋
40=160
（本）
120
÷
4
0=3
（倍）。
例
2
甲班有
图书
120
本，乙班有图书
30
本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图
书的
2
倍？
分析
<
/p>
解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量
.
从已知条件中得出，不
管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本
书，甲、乙两班图书总和是不变的
量
.
最后要求甲班图书是乙班图书的
2
倍，那么甲、乙两班图书总和
相当于乙班现有图
书的
3
倍
.
依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数
相
比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30
＋<
/p>
120=150
（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2
＋
1
＝
3
（倍）
③乙班现有
的图书本数是：
150
÷
3=50
（本）
④甲班给乙班图书本数是：
50-30=20
（本）
综合算式：
（
30
＋<
/p>
120
）÷（
2+1
）
=50
（本）
50-30=20
（本）
答：甲班给乙班
< br>20
本图书后，甲班图书是乙班图书的
2
倍。
< br>验算：（
120-20
）÷（
3
0+20
）＝
2
（倍）
（
120-20
）
+
（
30+20
）＝
150
（本）。
例
3
光明小
学有学生
760
人，其中男生比女生的
3
倍少
40
人，男、女生各有多少人？
分析
把女生人数看作一份，
由于男生人数比女生人数的
3
倍还少
40
人，
如果用男、
女生
人数总和
760
人再加上
40
人，就等于女生人数的
4
倍（见下图）。
解：①女生人数：（
760
＋
40
）÷（
3
＋
< br>1
）
=200
（人）
②男生人数：
200
×
3-40=560
（人）
或
760-200=560
（人）
答：男生有
560
< br>人，女生有
200
人。
验算：
5
60
＋
200=760
（人）
（
560+40
）÷
200=3
（倍）。
例
4
< br>果园里有桃树、
梨树、
苹果树共
552
棵
.
桃树比梨树的
2
倍多
12
棵，
苹果树比梨树
少
20
棵，
求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
分析
下图
可以看出桃树比梨树的
2
倍多
12
棵，苹果树比梨树少
20
棵，都是同梨
树相比较、以梨树的棵数为标准、作为
1
份
数容易解答
.
又知三种树的总数是
55
2
棵
.
如
果给
苹果树增加
20
棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少<
/p>
12
棵，那么就相当于
梨树的
2
倍了，而总棵树则变为
552+20-12=5
60
（棵），相当于梨树棵数的
4
倍。
解：①梨树的棵数：
（
552
＋
20-12
）÷（
1
< br>＋
1
＋
2
）
=
560
÷
4=140
（棵）
②桃树的棵数：<
/p>
140
×
2
＋<
/p>
12=292
（棵）
③苹果树的棵数：
140-20=120
（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是
29
2
棵、
140
棵和
120
棵。
例
5
549
是甲、乙、丙、丁
4
个数的和
.
如果甲数加上
2
，乙数减少
< br>2
，丙数乘以
2
，丁
数除以
2
以后，则
4
个数相等
.
求
4<
/p>
个数各是多少？
分析
<
/p>
上图可以看出，丙数最小
.
由于丙数乘以
2
和丁数除以
2
相等，也就是丙数的
2
倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙
数的
4
倍
.
乙
减
2
之后是丙的
2
倍，甲加上
2
之后也是丙的
2
倍
.
根据这些倍数关系，可以先求出丙数，
再分别求出其他各数。
解：①丙数是：（
549
＋
2-2
）÷（
2
＋
2
＋
1
＋
4
）
=549
÷
9
=61
②甲数是：
61
×
2-2=120
③乙数是：
61
×
2<
/p>
＋
2=124
④丁数是：
61
×
4=244
验算：
120+124
＋
6
1+244=549
120
＋
2=122
124-2=122
61
×
2
＝
122 24
4
÷
2
＝
12
2
答：甲、乙、丙、丁分别是<
/p>
120
、
124
、
61
、
244.
习题七
1.
小明和小强共有图书
120
本，小强的图书本数是小明的
2
倍，他们两人各有图书
多少本？
2.
果园
里一共种
340
棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的
3
倍多
20
棵，两种
树各种了多少棵？
3.
一个长方形，周长是
30
厘米，长是宽的
2
倍
，求这个长方形的面积。
4.
甲水池有水
2600
立方米，乙水池有水
1200
立方米，如果甲水池里的水以
每分种
23
立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池
中的水是甲水池的
4
倍？
5.
甲桶
里有油
470
千克，乙桶里有油
190
千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能
使甲桶油是乙桶油的<
/p>
2
倍？
6.
有
3<
/p>
条绳子，共长
95
米，第一条比第二条长
7
米，第二条比第三条长
8
米，问
3
条绳子各长多少米？
解答
1.①小明的本数：120÷（
2<
/p>
＋
1
）
=40<
/p>
（本）.②小强的本数：40×2=80（本）。
2.①杏树的棵数：
（
340-20
）÷（
3<
/p>
＋
1
）
=80<
/p>
（棵）.②桃树的棵数：80×3＋
20=260
（棵）。
3.①长方形的宽：（30÷2）÷（
2
＋
1
）
=5
（厘米）.②
长方形的长：
5×2=10（厘
米）。
③长方形的面积：10×5=50（平方厘米）。
4.①甲、乙两水池共有水：
2600
＋
1200=3800
（立方米）
②甲水池剩下的水：
3800÷（
4+1
）
=760
（立方米）
③甲水池流入乙水池中的水：
2600-760=1840
（立方
米）
④
经过的时间（分钟）：1840÷23＝
80
（分钟）。
5.①甲、乙两桶油总重量：
470+190=660
（千克）：
②当甲桶油是乙桶油
2
倍时，乙桶油是：
660÷（
2+1
< br>）
=220
（千克）：
③由甲桶倒入乙桶中的油：
220-190=30
（千克）。
6.①变化后的绳子总长
95-7
＋
8=96
（米）
.②第二条绳长：
96÷
（
1
＋
1+1
）
=32
（米）
。
③第一条绳长：
32
＋
7=39
（米）。
④第三条绳长：
< br>32-8=24
（米）
.
第八讲
差倍问题
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使
我们能比较顺利地解答此类应用题
.
下面我们
再来研究与
“和倍”
问题有相似之处的
“差
倍”应用题。
“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两
个数。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到
1
倍量
，再画图确定解题
方法
.
被除数的数量
和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求
出另一个数，最后再写
出验算和答题。
例
1
甲班的
图书本数比乙班多
80
本，甲班的图书本数是乙班的
3
倍，甲班和乙班各有
图书多少本？
分析
上图把乙班的图书本数看作
1
倍，甲班的图书本数是乙班的
3
倍，那么甲班
的图书本数比乙班多
2
倍
.
又知“甲班的图书比乙班多
< br>80
本”，即
2
倍与
80
本相对应，
可以理解为
2
倍是
80
本，这样可以算出
1
倍是多少本
.
最后
就可以求出甲、乙班各有图
书多少本。
解：①乙班的本数：
80
÷（
3-1
）
=40
（本
）
②甲班的本数：
40
×
3=120
（本）
或
40
＋<
/p>
80=120
（本）。
验算：
1
20-40
＝
80
（本）
120
÷
40=3
（倍）
答：甲班有图书
< br>120
本，乙班有图书
40
本。
例
2
菜站
运来的白菜是萝卜的
3
倍，卖出白菜
1
800
千克，萝卜
300
千克，剩下的
两种
蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
分析
这样想：
根据
“菜站运来的白莱是萝卜的
3
倍
”
应把运来的萝卜的重量看作
1
倍；“
卖出白菜
1800
千克，萝卜
300<
/p>
千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明
运来的白菜比萝卜
多
1800-300=1500
（千克）
.
从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜
重量的
3-1=2
（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的
白菜是多
少千克。
解：①运来萝卜：（
1800-30
0
）÷（
3-1
）
=750
（千克）
②运来白菜：
750
×
3=2250
（千克）
验算：
2250-1800=450
（千克）（白菜剩下部分）
750-300=450
（千克）（
萝卜剩下部分）
答：菜站运来白菜
2250
千克，萝卜
750
千克。
例
3
有两根
同样长的绳子，
第一根截去
12
米，<
/p>
第二根接上
14
米，
这时第二根长度是第
一根长的
3
倍
，两根绳子原来各长多少米？
分析
上图
，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去
12
米，第二
根绳子又
接上
14
米后，第二根的长度
是第一根的
3
倍
.
应该把变化后的第一根长度看作
1
倍，而
< br>12+14=26
（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的
< br>2
倍
.
所以，当从第一根截去<
/p>
12
米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度
也就可以求出来了。
解：①第一根截去
12
米剩下的长度：
（
12+14
）÷（
3-1
）＝
13
（米）
②两根绳子原来的长度：
13
＋
12
＝
25
（米）
答：两根绳子原来各长
25
米。
自己进行验算，看答
案是否正确
.
另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来<
/p>
各有多长
.
小结：
解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍
数的差的对应关系
.
用除法求出
1
倍数，也就是较小的数，再求几倍数。
解题规律：
差÷倍数的差
=1
倍数（较小数）
1
倍数×几倍
=
几倍的数（较大的数）
或：较小的数
+
差
=
较大的数。
例
4
三（<
/p>
1
）班与三（
2
）班原有图书数一样多
.
后来，三（
1
）班又买来新书
74
本，三
（
2
）班从本班原书中拿出
96
本送给一年级小同学，这时，三（
1
）班图书是三（
2
）班
的
3
倍，求两班原有图书各多少本？
分析
两个班原有图书一样多
.
后来三（
1
）班又买
新书
74
本，即增加了
74
本；三
（
2
）班从本班原
有图书中取出
96
本送给一年级同学，则图书减少了
96
本
.
结果是一个
班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差
96+74
＝
170
（本），也就是三（
< br>1
）班
比三（
2
）班多了
170
本图书
.
又知三（
1
）班现有图书是三（
2
）班图书的
3
倍，可见
这
170
本图书就相当于三（
2
）班所剩图书的
3-1=2
倍，三（
2
）班所剩图书本数就可以求
出来了，随之原有
图书本数也就求出来了（见上图）。
解：①后来三（
1
< br>）班比三（
2
）班图书多多少本？
74
＋
96=170
（本）
②三（
2
）班剩下的图书是多少本？
170
÷（
3-1
）
=85
（本）
③三（
2
）班原有图书多少本？
85
＋
96
=181
（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：
（
74
＋<
/p>
96
）÷（
3-1
）＋
96
＝
170
÷
2+96
＝
85
＋
96
=181
（本）
验算：
1
81+74=255
（本）
181-96=85
（本）
255
÷
85=3
（倍）
答：两班原来各有图书
181
本。
例
5
两块同
样长的花布，第一块卖出
31
米，第二块卖出
< br>19
米后，第二块是第一块的
4
倍，求每块花布原有多少米？
分析
已知
两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块
剩下的少，
第二块剩下的多
.
所剩的布第二块比第一块多
31-19=12
（米）
.
又知第二块所
剩下的布是第一块的
4
倍，
那么第二块比第一块多出的
12
米正好相当于所剩布的
（
4-1
）
倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。
解：①第二块布比第一块布多剩多少米？
31-19
＝
12
（米）
②第一块布剩下多少米？
12
÷（
4
-1
）
=4
（米）
③第一块布原有多少米？
4+31=35
（米）（两块布原有
长度相等）
综合列式：
（
31-19
）÷（
4-1
）
+31
=12
÷
3+31
=4
＋
31
=35
（米）
验算：
3
5-31=4
（米）
35-19
＝
16
（米）
16
÷
4<
/p>
＝
4
（倍）
答：每块布原有
< br>35
米长。
习题八（下）