小学奥数数学课本三年级打印版
期末考试答案-
华罗庚学校数学课本：三年级
上
册
第一讲
速算与巧算（一）
第二讲
速算与巧算（二）
第三讲
上楼梯问题
第四讲
植树与方阵问题
第五讲
找几何图形的规律
第六讲
找简单数列的规律
第七讲
填算式（一）
第八讲
填算式（二）
第九讲
数字谜（一）
第十讲
数字谜（二）
第十一讲
巧填算符（一）
第十二讲
巧填算符（二）
第十三讲
火柴棍游戏（一）
第十四讲
火柴棍游戏（二）
第十五讲
综合练习题
下
册
第一讲
从数表中找规律
第二讲
从哥尼斯堡七桥问题谈起
第三讲
多笔画及应用问题
第四讲
最短路线问题
第五讲
归一问题
第六讲
平均数问题
第七讲
和倍问题
第八讲
差倍问题
第九讲
和差问题
第十讲
年龄问题
第十一讲
鸡兔同笼问题
第十二讲
盈亏问题
第十三讲
巧求周长
第十四讲
从数的二进制谈起
第十五讲
综合练习
上
册
第一讲
速算与巧算（一）
一、加法中的巧算
1.
什么叫
“
补数
”
？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千
、整万
…
，
就把其中的一个数叫做另一个数的
“
补数
”
。
如
：
1+9=10
，
3+7=10
，
2
+8=10
，
4+6=1
0
，
5+5=10
。
又如：
1
1+89=100
，
33
＋
67=100
，
22+
78=100
，
44+56=100
，
55+45=100
，
在
上面算式中，
1
叫
9
的
“
补数
”
；
89
叫
11
的
“
补数
”<
/p>
，
11
也叫
89
的
“
补数
”.
也就是说两个数互为
“
补数
”
。
对于一个较大的数
，如何能很快地算出它的
“
补数
”
来呢？一
般来说，可以这样
“
凑
”
数：从最高位凑起，
使各位数字相加
得
9
，到最后个位数字相加得
10
。
如：
87655
→
12345
，
46802
→
5319
8
，
8<
/p>
7362
→
12638
< br>，
…
下面讲利用
“
补数
”
巧算加法，通常称
为
“
凑整法
”
。
2.
互补数先加。
例
1
巧算下面各题：
①
< br>36+87+64
②
99+136
＋
101
③
1361
＋
972
＋
639
＋
28
解：
①
式
< br>=
（
36
＋
64
）＋
87
=
100
＋
87=187 <
/p>
②
式
=
（
99
＋
101
）＋<
/p>
136
=200+136=336
③
式
=
（
136
1
＋
639
）＋（
972
＋
28
）
< br>
=
2000+1000=3000
3.
拆出补数来先加。
例
2
①<
/p>
188
＋
873
②
548
＋
996
③
9898
＋
203
解
：
①
式
=
（
188+1
2
）
+
（
87
3-12
）（熟练之后，此步可略）
＝
200+861=1061
②
式
=
（
548-4
）＋（
996
＋
4
）
=544+1000=1544
③
式
=
（
9898
＋
102
）＋（
203-102
）
=10000+101=10101
4
.
竖式运
算中互补数先加。
如：
二、减法中的巧算
1.
把几个互为
“
补数
”
的减数先加起来，再从被减数中减去。
例
3
①
300-73-27
②
1000-90-80-20-10
解：
①
式
=
300-
（
73
＋
27
）
＝
300-100=200
②
式
=1000-
（
90
＋
80
＋
20
＋
10
）
＝
1000-200
＝
800
2
.
先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例
4
①
472
3-
（
723
＋
189
）
②
2356-159-256
解：
①
式
=472
3-723-189
＝
4000-189=3811
②
式
=2356-256-159
＝
2100-159
=1941
3.
利用
“
补数
”
把接近整十、整百、
整千
…
的数先变整，再运
算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。
例
5
①
506-397
②
323-189
③
467
＋
997
④
987-178-222-390
解：
①
式
=500
＋
6-400+3
（把多减的
3
再加上）
=
109
②
式
=323-200+11
（把多减的
11
再加上）
=123+11
＝
134
③
式
=467
＋
1000-3
（把多加的
3
再减去）
＝
1464
④
式
=987-
（
178
＋
222
）
-390
＝
987-400-400+10=197
三、加减混合式的巧算
1.
去括号和添括号的法则
在只有加减运算的算式里，如果括号前面是
“
＋
”
号，则不论
去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果
括
号前面是
“
-
”
号，则不论去掉括号或添上括号
，括号里面
的
运算符号都要改变，
“+”
变
“<
/p>
-
”
，
“
-
”
变
“+”
，即：
a
＋（
b
＋
c
＋
d
）＝
a
＋
b
＋
c
＋
d
a
< br>-
（
b
＋
a
＋
d
）＝
a-b-c-d
a-
（
b-c
）＝
a-b+c
例
6
①
100
＋（
10
＋
20
＋
30
）
②
100-
（
10
＋
20+3O
< br>）
③
100-
（
30-10
）
解：
①
式
=100
＋
10
＋
20
＋
30
=160
②
式
=100-10-20-30
=40
③
式
=100-30
＋
10
＝
80
例
7
计算下面各题：
①
100
＋
10
＋
20
＋
30
②
100-10-20-30
③
100-30
＋
10
解：
①
式
=100
＋（
10+20+30
）
=
100
＋
60=160
②
式
< br>=100-
（
10
＋
20+30
）
＝
100-60=40
③
式
=100-
（
30-10
）
=
100-20=80
2.
带符号
“
搬家
”
例
8
计算
<
/p>
325
＋
46-125
< br>＋
54
解
< br>：原式
=325-125
＋
46
+54
＝
（
325-125
）
+
（
46
＋
54
）
=200+100
＝
300
注
意：每个数前面的运算符号是这个
数的符号
.
如
+46
< br>，
-125
，
+54.
而
325
前面虽然没
有符号，应看作是
+325
。
3
.
两个数
相同而符号相反的数可以直接
“
抵消
”
掉
例
9
计算
9+
2-9
＋
3
解：原式
=9-9
＋
2+3=5
找<
/p>
“
基准数
”
法<
/p>
比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为
“
基准
数
”
。
例
10
计算
78+76
＋
83
＋
82+77
＋
80
＋
79
＋
85
＝
640
习题一
一、直接写出计算结果：
①
1000-547
②
100000-85426
③
1111111111-1111111111
④
78053000000-78053
二
、用简便方法求和：
①
536+
（
541+464
）
+459
②
588
＋
264
＋
148
③
899
6
＋
3458
＋
7546
④
567+558+562
＋
555
＋
563
三、用简便方法求差：
①
1870-280-520
②
4995-
（
995-480
）
③
4250-294
＋
94
④
1272-995
四、用简便方法计算下列各题：
①
478-128+122-72
②
464-545
＋
99+345
③
537
-
（
543-163
）
-57
④
947+
（
372-447
）
-572
五
、巧算下列各题：
①
996
＋
599-402
②
744
3
＋
2485
＋
567
＋
245
③
2000-1347-253+1593
④
3675-
（
11+13+15
＋
17
＋
19
）
习题一解答
一、直接写出计算结果：
①
1000-547
＝
453
②
100000-85426=14574
③
1111111111-1111111111
＝
111111111
④
78053000000-780
53
＝
78052921947
此题
主要是练习直接写出
“
补数
”
的方法：从最高位写起，其
各位数字用
“
凑九
”
而得，最后
个位凑
10
而得。
二、用简便方法求和：
①
536
＋
（
541
＋
464
）＋
459
＝（
536+464
）
+
（
541
＋
459
）
=
2000
②
588
＋
264
＋
148
=588+
（
12+252
）
+148
＝
（
588
＋
12
）
+
（
252
＋
148
）
＝
600+400
=1000
③
8996
＋
3458
＋
7546
=
（
899
6
＋
4
）＋（
3454
＋
7546
）
=9000+11000
（把
3458
分成
4
和
=9000+11000
3454
）
＝
20000
4.
④
567
＋
558+562
＋
555
＋
563
几个
＝
560×
5+
（
7-2+2-5+3
）（以
560
为基准数）
＝
2
800+5
＝
2805
三、用简便方法求差：
①
1870-280-520
＝
1870-
（
280+520
）
=1870-800
＝
1070
②
499
5-
（
995-480
）
=4995-995+480
=4000+480=4480
③
4250-294
＋
94
=4250-
（
294-94
）
=
4250-200=4050
④
1272-995
=1272-1000+5
=277
四、用简便方法计算加减混合运算：
①
478-128
＋
122-72
=
（
478+122
）
-
（
128
＋
72
）
＝
600-200
＝
400
②
464-545
＋
99
＋
345
＝
464-
（
545-345
）
+100-1
=464-200
＋
100-1
＝
363
③
537-
（
543-163
）
-57
＝
537-
543
＋
163-57
=
（
537
＋
163
）
-
（
543+57
）
=700-600
=100
④
947
＋（
372-447
）
-572
=
947+372-447-572
=
（
947-447
< br>）
-
（
572-372
）
=500-200
=300
五、巧算下列各题：
①
996
＋
599
-402=1193
②
7443
＋<
/p>
2485
＋
567
＋
245=10740
③
2000-1347-253
＋
1593=1
993
④
3675-
（
11+13+15+17+19
）
=3600
第二讲
速算与巧算（二）
一、乘法中的巧算
1.
两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘
.
为此，
要牢
记下面这三个特殊的等式：
5×
2=10
25×
4=100
125×
8=1000
例
1
计算
①
123×
4×
25
②
125×
2×
8×
25×
5×
< br>4
解：
①
式
< br>=123×
（
4×
25
）
=123×
100
＝
12300
②
式
=
（
125×
8
）<
/p>
×
（
25×
4<
/p>
）
×
（
5×
2
）
=1000
×
100×
10=1000000
2.
分解因数，凑整先乘。
例
2
计算
①
24×
25
②
56×
125
③
125×
5×
32×
5
解：
< br>①
式
=6×
（
< br>4×
25
）
=
6×
100=600
②
式
=7×
8×
125=7×
（
< br>8×
125
）
=7×
1000=7000
③
式
=125×
5×
4
×
8×
5=
（
125×
8
）
×
（
5×
5×
4
）
=1000×
100=100000
3.
应用乘法分配律。
例
3
计算
①
17
5×
34
＋
175×
< br>66
②
67×
12+67×
35
＋
67×
52+6
解
：
①
式
=175×
< br>（
34+66
）
=
175×
100=17500
②
式
=67×
（<
/p>
12
＋
35
＋<
/p>
52
＋
1
）
＝
67×
100
＝
670
0
（原式中最后一项
67
可看成
67×
1
）
例
4
计算
①
123×
101
②
123×
99
解
：
①
式
=123×
（
1
00
＋
1
）
=
123×
100
＋
123
＝
12300
＋
123=12423 <
/p>
②
式
=123×
（
100-1
）
=12300-123=12177
4
.
几种特殊因数的巧算。
例
5
一个
数
×
10
，数后添
0
；
一
个数
×
100
，数后添
00
；
一
个数
×<
/p>
1000
，数后添
000
；
以此类推。
如：
15×
10=150
15×
100=1500
15×
1000
＝
15000
例
6
一个
数
×
9
，数后添
0
，再减此数；
一
个数
×<
/p>
99
，数后添
00
，再减此数；
一个数
×
999
，数后添
000
，
再减此数；
…
以此类推。
如：
12×
9
＝
120-12
＝
108
12×
99
＝
1200
－
12
＝
1188
12×
999
＝
12000-12=11988
例
7
一个偶数乘以
< br>5
，可以除以
2
添上
0
。
如：
6×
5
＝
30
16×
5
＝
80
116×
5=580
。
例
8
< br>一个数乘以
11
，
“
两头一拉，中间相加
”
。
如
222
2×
11
＝
24442
2456×
11
＝
27016
例
9
一个偶数乘以
< br>15
，
“
加半添
0”.
24×
15
＝（
24+12
）
×
10
＝
360
因为
24×
15
＝
24×
（
10+5
）
＝
24×
（
10
＋
10÷
2
）
=24×
10+24×
10÷
2
（乘法分配律）
＝
24×
10+24÷
2×
10
（带符号搬家）
＝
（
24+
24÷
2
）
×
10
（乘法分配律）
例
10
个
位为
5
的两位数的自乘：十位数字
×<
/p>
（十位数字加
1
）
×
100+25
如
15×
1
5=1×
（
1+1
）
< br>×
100+25=225
2
5×
25=2×
（
2+1
）
×
100+25=625
3
5×
35
=3×
（
3+1
）
×
100+25=1225
4
5×
45=4×
（
4+1
）
×
100+25=202
5
5
5×
55=5×
（
5+1
）
×
100+25=3025
6
5×
65
＝
6×
（
6+1
）
×
100+25=4225
7
5×
75=7×
（
7+1
）
×
100+25
＝
5625
8
5×
85=8×
（
8+1
）
×
100+25=7225
95×
95
＝
9×
（
9+1
）
×
100
＋
25
＝
9025
还
有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可
参看《算得快》一书。
二、除法及乘除混合运算中的巧算
1.
在除法中，利用商不变的性质巧算
商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数
（零除外），商不变
.
利用这个性质巧算，
使除数变为整十、
整百、整千的数，再除。
例
11
计算
①
110÷
5
②
3300÷
25
③
44000÷
125
：
①
110÷
解
5=
（
110×
2
）
÷
（
5×
2
）
＝
220÷
10=22
②
3300÷
25
＝（
3300×
4
）
÷
（
25×
4
）
＝
13200÷
100
＝
132
③
44000÷
125=
（
44000×
8
）
÷
（
125×
8
）
＝
35200
0÷
1000
＝
352
2.
在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号
“
搬家
”
。
例
12
864×
27÷
54
＝
864÷
54×
27
=16×
27
=432
3.
当
n
个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减
之后再除以这个数。
例
13
①
13÷
9
＋
5÷
9
②
21÷
5-6÷
5
③
2090÷
24-482÷
24
④
187÷
12-63÷
12-52÷
12
解
：
①
13÷
9+5÷
9=
（
13
＋
5
）<
/p>
÷
9
=18÷
9
＝
2
②
2
1÷
5-6÷
5
＝（
< br>21-6
）
÷
5
＝
15÷
5=3
③
2090÷
24-482÷
24
＝（
20
90-482
）
÷
24
＝
1608÷
24
＝
67
④
187÷
12-63÷
12-52÷
12
＝（
187-63-52<
/p>
）
÷
12
＝
72÷
12=6
5
②
11
12×
③
23×
9
④
23×
99
⑤
12345×
11
⑥
56789×
11
⑦
36×
15
二、速算下列各题：
①
123×
25×
4
②
456×
2×
125×
25×
5×
4×
8
③
25×
32×
125
三、巧算下列各题：
①
15000÷
125÷
15
②
1200÷
25÷
4
③
27000÷
（
125
×
3
）
④<
/p>
360×
40÷
60
四、巧算下列各题：
①
11÷
3
＋
4÷
3
②
19÷
5-9÷<
/p>
5
③
234×
11+234×
88
习题二解答
一、用简便方法求积：
①
17×
100=1700
②
1112×
5
＝
5560
③
23×
9=230-23=207
④
23×
99=2300-23=22
77
⑤
12345×
11=135795
⑥
56789×
11=624679
4.
在乘除混合运算中
“
去括号
”
或添
“
括号
”
的方法：如果
“<
/p>
括
号
”
前面是乘号，去掉
“
括号
”
后，原
“
括号
”
内的符号不变；
如果
“
括号
”
前面是除号，去掉
“
括号
”
后，原
“
括号
”
内的乘号
变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号
类似。
⑦
3
6×
15=
（
36+18
）
×
10
＝
540
二、速算下列各题：
①
123×
25×
4=123×
（
25×
4
）＝<
/p>
12300
②
456×
2×
125×
25×
5×
4×
8
=456×
（
2×
5
）
×
（
25×
4
）
×
（
125×
8
）
即
a×
（
b÷
c
）
=a×
b÷
c
从左往右看是去括号，
a÷
（
b×
c
）＝
a÷
b÷
c
从右往左看是添括号。
a
÷
（
b÷
c
）＝
a÷
b×
c
例
14
①
1320×
500÷
250
②
4000÷
125÷
8
③
5600÷
（
28÷
6
）
④
372÷
162×
54
⑤
2997×
729÷
（
81×
81
）
解：
①
13
20×
500÷
250
＝
1320×
（
500÷
25
0
）
=1
320×
2
＝
2640
②
4000÷
125÷
8<
/p>
＝
4000÷
（
125×
8
）
＝
4000÷
1000
＝
4
③
5600÷
（
28÷
6
）
=56
00÷
28×
6
=
200×
6=1200
④
372÷
162×
54
=372÷
（
162÷
54
）
③
27000÷
（
125×
3
）<
/p>
＝
27000÷
3÷
125
＝
9×
< br>（
1000÷
125
）
=9×
8=72
④
360×
40÷
60
< br>＝
360÷
60×
40
＝
240
四、巧算下列各题：
3+4÷
3=
（
11
＋
4
）
÷
3
＝
5
①
11÷
②
19÷
5-9÷
5
＝（
19-
9
）
÷
5=2
③
234×
11
＋
234×
88
=456000000
③
25×
32×
125
＝（
25×
4
）
×
（
125×
8
）
=100000
三、巧算下列各题：
①
15000÷
125÷
15
＝
15000÷
15÷
125=8 <
/p>
②
1200÷
25÷
4=1200÷
（
25×
4
）
=12
＝
372
÷
3
＝
124
⑤
2997×
729÷
（
81×
81
）＝
2997
×
729÷
81÷
81
＝
（
2997÷
81
）
×
（
729÷
81
）＝
37×
9
＝
333
习题二
一、用简便方法求积：
①
17×
100
=234×
（
11+88
）＝
234×
99
＝
234×
100-234=23166
第三讲
上楼梯问题
有
这样一道题目：如果每上一层楼梯需要
1
< br>分钟，那么从一
层上到四层需要多少分钟？如果你的答
案是
4
分钟，那么你
就错了
.
正确的答案应该是
3
分钟。
为什么是
3
分钟而不是
4
分钟呢？原来从一
层上到四层，只
要
上三层楼梯，而不是四层楼梯。
下
面我们来看几个类似的问题。
例
1
裁缝有一段
16
米长的呢子，每天剪去
2
米，第几天剪去
最后一段？
分析
如果呢子有
2
米，不需要剪；如果呢子有
4
米
，第一天
就可以剪去最后一段，
4<
/p>
米里有
2
个
2<
/p>
米，只用
1
天；如果呢
< br>
子有
6
米，第一天剪去
2
米，还剩
4
米，第
二天就可以剪去最
后
一段，
6
米里有
3
个
2
米，只用
2
天；如果
呢子有
8
米，第一
天剪去
2
米
，还剩
6
米，第二天再剪
2
米，还剩
4
米，这样第
分析
要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯
需要几秒，还要知道从
4
楼走到
8
楼共走几层楼梯
.
上一层楼
梯需要：
48÷
（
4-1
）
=16
（秒），从
4
楼走到
8
楼共走
8-4=4
（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。
（
4-1
）
=16
（秒）
解：上一层楼梯需
要：
48÷
从
4
楼走到
8
楼共走：
8-4=4
（层）楼梯
还需
要的时间：
16×
4=64
（秒）
答：还需要
64
秒才能到达
8
层。
例
6
晶晶上
楼，从
1
楼走到
3
楼需要走
36
级台阶，如果各层
楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第
1
层走到第
6
层需要
< br>三
天即可剪去最后一段，
8<
/p>
米里有
4
个
2<
/p>
米，用
3
天，
…
…
我们可以从中发现规律：所用的天数比
2
米的个数少
1.
因此，
只
要看
16
米里有几个
2
米，问
题就可以解决了。
解：
16
米中包含
2
米的个数：
16÷
2=8
（个）
剪
去最后一段所用的天数：
8-1=7
（天）
答
：第七天就可以剪去最后一段。
例
2
一根木
料在
24
秒内被切成了
4
段，用同样的速度切成
5
解：每一层楼梯有：
36÷
（
3-1
）
＝
18
（级台阶）
< br>可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少
1.
因此，
在
24
秒内切了
4
< br>段，实际只切了
3
次，这样我们就可以求出切一
次
所用的时间了，
又由于用同样的速度切成
5
段；实际上切
了
4
次，这样切成
5
段所用的时间就可以求出来了。
解
：切一次所用的时间：
24÷
（
4-1
）
=8
（秒）
切
5
段所用
的时间：
8×
（
5-1
）
=32
（秒）
答
：用同样的速度切成
5
段，要用
32
秒。
例
3
三年级同学
120
人排成
4
路纵队，也就是
4
个人一排，排
成
了许多排，现在知道每相邻两排之
间相隔
1
米，这支队伍
长
多少米？
解：因为每
4
人一排，所以共有：
120÷
4=30
（排）
< br>
3
0
排中间共有
29
个间隔，所以队伍长：
1×
29=29
（米）
答
：这支队伍长
29
米。
例
4
时钟<
/p>
4
点钟敲
4
下，
12
秒钟敲完，那么
6
点钟敲
6
下，几
秒
钟敲完？
分析
如果盲目地计算：
12÷
4=3
（秒），
<
/p>
3×
6=18
（秒），
< br>
认
为敲
6
下需要
18
秒钟就错了
.
请看下图：
走
多少级台阶？
分析
要求晶晶从第
< br>1
层走到第
6
层需要走多少级台
阶，必须
先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到
6
层需
要走几层楼梯。
从
< br>1
楼到
3
楼有
< br>3-1=2
层楼梯，那么每一层楼梯有
36÷
2=18
（
级）台阶
，而从
1
层走到
6
层需要走
6-1=5
（层）楼梯，这
样问题就可以迎刃而解了。
段，需要多少秒？
晶晶从
1
层走到
6
层需要走：<
/p>
18×
（
6-1
）
=90
（级）台阶。
答
：晶晶从第
1
层走到第
6
层需要走
90
级台阶。
注：例
1
～例
4
所叙述的
问题虽然不是上楼梯，但它和上楼
梯
有许多相似之处，请同学们自己去体会
.
爬楼梯问题的解
题
规律是：所走的台阶数
=
每层楼梯的台阶数
×
（所到达
的
层数减起点的层数）。
习题三
1.
一根木料截成
3
段要
6
分钟，如果每截一次的时间相
等，那
么
截
7
段要几分钟？
2
.
有一幢楼房高
17
层，相邻两层之间都有
17
级台阶，某人
从
1
层走到
11
层，一共要登多少级台阶？
< br>3.
从
1
楼走到
4
楼共要走
48
级台阶，如果
每上一层楼的台
阶数
都相同，那么从
1
楼到
6
楼共
要走多少级台阶？
4.
一座楼房每上
1
层要走
16
级台阶，到小英家要走
64
级台
阶，<
/p>
小英家住在几楼？
钟？
完？
.
一列火车共
20
节，每节长
5
米，每两节之间相
距
1
米，
5
这
列
火车以每分钟
20
米的速度通过
81
米长的隧道，需要几分
时钟敲
4
下，其间有
3
个间隔，每个间隔是：
12÷
3=4
（秒）；
时
钟敲
6
下，其间共有
5
个间隔，所用时间为：
6.
时钟
3
点钟敲
3<
/p>
下，
6
秒钟敲完，
12
点钟敲
12
下，几秒钟
敲
7.
某人到高层建
筑的
10
层去，他从
1
层走到
5
层用了
100
秒，
如果用同样的速度走到
10
层，还需要多少秒？
8.A
B
二
、
人比
赛爬
楼
梯，
A
跑
到
4
层楼
时，
B
恰
好跑
到
3
层
楼，
照这
样计
算，
A
跑
到
16
层楼
时，
B
跑
到几
层
楼？
9.
铁
路旁
每隔
50
米
< br>有一
根电
线
杆，
某旅
客为
了计
算火
车的
速
4×
5=20
（秒）。
解
：每次间隔时间为：
12÷
（
4-1
）
=4
（秒）
敲
6
下共用
的时间为：
4×
（
6-1
）＝
20
（秒）
答：时钟敲
6
下共用
2
0
秒。
例
5
.
某人要到一座高层楼的第
8
层办事，不巧停电，电梯停
开，如从
1
层走到
4
层需要
48
< br>秒，请问以同样的速度走到八
层，还需要多少秒？
度，
测量
出从
第一
根电
线杆
起到
经过
第
37
根电
线杆
共用
了
2
分
钟，
火车
的速
< br>度是
每秒
多少
米？
习题三解答
1.
解：每截一次需要：
6÷
（
< br>3-1
）
=3
（分钟），截成<
/p>
7
段要
3×
（
7-1
）
=18
（分钟）
答：截成
7
段要
18
分钟。
2.
解：从
1
层走到
11
层共走：
11-1=10
（个）楼梯，从
1
层走
到
11
层一共要走：
17×
10=170
（级）台阶。
答：从
1
层走到
11
层，一共要登
170
级台
阶。
3.
解：每一层楼梯的台阶数为：<
/p>
48÷
（
4-1
）
=16
（级），从
1
③
如果植树路线的两端都不植树，则
棵数就比
②
中还少
1
楼
到
6
楼共走：
6-1=5
（个）楼梯，从
1
楼到
6
楼共走：<
/p>
16×
5=80
（
级）台阶。
答：从
< br>1
楼到
6
楼共走
80
级台阶。
4.
解：到小英家共经过的楼梯层数为：
64÷
16
=4
（层），小
英
家住在：
4
＋
1=5
（楼）
答：小英家住在楼的第
5
层。<
/p>
5.
解：火车的总长度为：
5×
20+1×
（
20-
1
）
=119
（米），火
车所行的总路程：
119
＋
81=200
（米），所需要的时间：
2
00÷
20=10
（分钟）
答：需要
10
分钟。
6.
解：每个间隔需要：
6÷
（
3-1
）
=3
（秒），<
/p>
12
点钟敲
12
下，
需要
3×
（
12-1
）
=33
（秒）
答：
33
秒钟敲完。
7
.
解：每上一层楼梯需要：
100÷
（
5-1
）
=25
（秒），还需要
的时间：
25×
（
10-5
）
=125
（秒）
答：
从
5
楼再走到
10
楼还需要
125
秒。
8.
由
A
上到
4
层楼时，
B
上到
3
层楼知，
A
上
3
层楼梯，
B
上
2
层
楼梯。那么，
A
上到
16
层时共上了
15
层楼梯，
因此
B
上
2×
5=10
个楼梯，所以
B
上到
10
＋
1=11
（层）。
答：
A
上到第
16
层时，
B
上到第
11
层楼。
9.
解：火车
2
分钟共行：
50×
（
37-1
）
< br>=1800
（米）
2
分钟
=120
秒
火
车的速度：
1800÷
120=15
（米
/
秒）
答：火车每秒行
15
米。
第四讲
植树与方阵问题
一、植树问题
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要
牢
记三要素：
①
总路线长
.
②
间距（棵距）长
.
③
棵数
.
只要知
道这三个要
素中任意两个要素
.
就可以求出第三个。
关
于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1.
不封闭路线
例：如图
①
若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数
多
1.
如上图把总长平均分成
5
段，但植树棵数是
6
棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是：
棵数
=
段数
+1=
< br>全长
÷
株距
+1
棵。
棵数
=
段数
-1
=
全长
÷
株距
-1.
如右图所示
.
段数为
5
段，植树棵数为
4
棵。
株距
=<
/p>
全长
÷
（棵数
+
1
）。
2.
封闭的植树路线
例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因
为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所
示。
棵
数
=
段数
=
周长
÷
株距
.
二、方阵问题
学生排队，士兵列队，
横着排叫做行，竖着排叫做列
.
如果
行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就
叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
①
方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同
.
每
向里一层，每边上的人数就少
2
。
②
每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四
周人（或物）数
< br>=[
每边人（或物）数
-1]×
4
；
每
<
/p>
边人（或物）数
=
四周人（或物）数
÷
4
＋
1
。
③
中实方阵总人（或物）数
=
每边人（或物）数
×
每边人（或
物
）数。
栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析
要以两棵电线杆之间的距离作为
分段标准
.
公路全长
可
分成若干段
.
由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的
根
数比分成的段数多
1
。
例
1
有一条公路长
< br>900
米，在公路的一侧从头到尾每隔
10
米
解：以
10
米为一段，公
路全长可以分成
900÷
10
＝
90
（段）
共需电线杆根数：
90+1=91<
/p>
（根）
答：可栽电线杆
91
根。
全长
=<
/p>
株距
×
（棵数
-
1
）
株距
=
全长
÷
（棵数
-1
）
②
如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端
植树时的棵数少
1
，即棵数与段数相等
.
全长、棵数、株距之
间的关系就为：
全长
=
株距
×
棵数；
棵数
=
全长
÷
株距；
株距
=
全长
÷
棵数。
例
2
马路的一边每
相隔
9
米栽有一棵柳树
.
张军乘汽车
5
分钟
共看到
501
棵树
.
问汽车每小时走多少千米？
分析
张军
5
分钟看到
501
棵树意味着在马路的两
端都植树
了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度
.
解：
5
分钟汽车共走了：
9×
（
501-1
）
=4500
（米），
汽车每分钟走：
4500÷
5=900
（米），
汽车每小时走：
900×
60=54000
（米）
=54
（千米）
②
又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的
列综合式：
两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花
9×
（
501-1
）
÷
5×
60÷
1000
=54
（千米）
（
< br>17-1
）
×
3=48
（棵）。
答：汽车每小时行
< br>54
千米。
③
.
再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角
形的
边上
.
在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小
例
3
某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
60
人
.
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有
五年级学生多
三角形每条边上栽花棵数为
9-2=7
（棵）
少人？
解：大三角形三条边上共栽花：
分析
根
据四
周人数和每边人数的关系可以知：
（
9×
2-1-1
）
×
< br>3=48
（棵）
每
边人数
=
四周人数
÷
4+1
，可以求出方阵最外层每边人数，
中间画斜线小三角形三条边上栽花：
那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
（
9-2
）
×
3=21
（棵）
解：方阵最外层每边人数：
60÷
4
＋
1=16
（人）
整个花坛共栽花：
48+21=69
（棵）
整个方阵共有学生人数：
16×
16=256
（人）
答：大三角形边上共栽花
48
棵，整个花坛共栽花
69
棵。
答：方阵最外层
每边有
16
人，此方阵中共有
256<
/p>
人。
例
4
晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边
有围棋子
14
个
.
晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分
析
方阵每向里面一层，每边的个数就减少
2
个
.
知道最外
面
一层每边放
14
个，就可以求第二层及第三层每边个数
.
知
道
各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解
：最外边一层棋子个数：（
14-1
）
×
4=5
2
（个）
第
二层棋子个数：（
14-2-1
）
×
4=44
（个）
第
三层棋子个数：（
14-2×
2-1
）
×
4=36
（个）
.
摆
这个方阵共用棋子：
52+44
＋
36
＝
132<
/p>
（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数
=
（每边个数一层数）
×
< br>层数
×
4
进行计算。
解
：（
14-3
）
×
3×
4=132
（个）
答
：摆这个方阵共需
132
个围棋子。
例
5
一个
圆形花坛，周长是
180
米
.
每隔
6
米种一棵芍药花，
每
相邻的两棵芍药花之间均匀地
栽两棵月季花
.
问可栽多少
棵
芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？
分
析
①
在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数
=
段
数
.
②
由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则
每
6
米之中共有
3
棵花，且月季花棵数是芍药的
2
倍。
解
：共可栽芍药
花：
180÷
6
＝
30
（棵）
共种月季花：
2×
30
＝
60
（棵）
两种花共：
30+60=90
（棵）
两棵花之
间距离：
180÷
90=2
（米）
相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药
花，所以月季花的株距是
2
米或
4
米。
答
：种芍药花
30
棵，月季花
60
棵，两棵月季花
之间距离为
2
米或
4
米。
例
6
一个
街心花园如右图所示
.
它由四个大小相等的等边三
角形组成
.
已知从每个小
三角形的顶点开始，到下一个顶点
均匀栽有
< br>9
棵花
.
问大三角形边上栽有多
少棵花？整个花园
中共栽多少棵花？
习题四
1
.
问：共需树苗多少株？
一个圆形池塘，它的周长是
150
米，每隔
3
米栽种一棵树
.
共种树多少棵？
每分钟走多少米？
厘米的间距有几段？
4
厘米长的间距
.
2.
有一正方形操场，每边都栽种<
/p>
17
棵树，四个角各种
1
棵，
3.
在一条路上按相等
的距离植树
.
甲乙二人同时从路的一端
的某一棵树出发
.
当甲走到从自己这边
数的第
22
棵树时，乙
刚走到从乙那边数的第
10
棵树
.
已知乙每分钟走
36
米
.
问：甲
.
在一根长
100
厘米
的木棍上，从左向右每隔
6
厘米点一个红
4
点
.
从
右向左每隔
5
厘米点一个红点，在两个红点之间长为
4
习题四解答
1.<
/p>
提示：由于是封闭路线栽树，所以棵数
=
段数，
150÷
3=50
（棵）。
2.
提示：在
正方形操场边上栽树
.
正方形边长都相等，四个
角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽树的
棵数为
17-1=16
（棵），共栽：（<
/p>
17-1
）
×
4
=64
（棵）
答
：共栽树
64
棵。
3
.
解：甲走到第
22
棵树时走过了
22-1
＝
2
1
（个）棵距
.
同样乙
走
过了
10-1
＝
9
（个）棵距
.
< br>乙走到第
10
棵树，所用的时间为
（
9×
棵距
÷
36
）
，这个时间也是甲走过
21
个棵距的时间，甲
< br>
的速度为：
21×
棵距
÷
（
9×
棵距
÷
36
）
=84
米
/
分。
答：甲的速度是每分钟
84
米。
4.
①
根据已知条件，从左至右每隔
6
厘米点一红点，不难算
出
共有
17
个点（包括起点，终点）并余
4
厘米。
②
100
厘米
长
的棒从右到左共点
21
个点，可分为
20
段，而
最后一点与
端
点重合，相当于从左到右以
5
厘米的间距画点
.
③
在
5
与
6
的
公倍数
3
0
中，不难看出有
2
个
4
厘米的小段；同样在第二
个
和第三个
30
厘米中也各有
2
个，剩下的
10
厘米只有一个
4
厘
米的小段，所以在
100
厘米的木
棍上只能有
2×
3+1=7
（段）
第五讲
找几何图形的规律
分析
①
从已
知条件中可以知道大三角形的边长是小三角
形边长的
2
倍
.
又知道每个小三
角形的边上均匀栽
9
株，
则大
三角形边上栽的棵数为
9×
2-1=17
（棵）。
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻
既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力
.
为培养
这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析
应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于
养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习
惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问
题的方法。
解：在上图的
“
？
”
处应填如下图形<
/p>
.
例
1
按顺序观察图
5
—
1
与图
5
—
2
中图形的变化，想一想，
按图形的变
化规律，在带
“
？
”
< br>的空格处应画什么样的图形？
分析
观察中，注意到图
5
—
1
中每行三角形的个数
依次减
少
，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按
4
、
3
、
X
、
1
的顺序变化
.
显然
X
应等于
2
；图
5
—
2
中黑点的个数从左到
右
逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两
个
点
.
事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，
是
一种较为基本的、简单的变化模式。
解：在图
5
—
1
的
“
？
”
处应是三角形
△
，在图
5
—
2
的
“
？
”
处应
是
例
2
请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处
的图形。
分析
首先可以看出图形的第一行、第
二列都是由一个圆、
一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图
形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给
出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形
.
< br>由此，我
们知道这个图的特点是：
①
仅由圆、三角形、正方形组成；
简、
多少、位置几方面的变化，就容易得到图（
d
）中的图
形了。
下面就来看几个例子。
例
4
下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并
在
“
？
”
处填上适当的图形
.
分析
本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分
组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组
成，
图中的任意两个图形均不相同<
/p>
.
因此，我们不妨试着把
大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对
于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每
列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于
小图形也是如此，这样，
“
？
”
处的图形就不难得出。
解：
图中，（
b
）、（
f
）、（
h
）处的图形分别应
填下面的
图
甲、图乙、图丙
.
小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几
部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。
例
5
观察下列各组图的变化规律，并在
“
？
”
处画出相关的图
形
.
②
各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个
三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。
解略。
例
3
按顺序
观察下图中图形的变化规律，并在
“
？
”
处填上合
适的图形
.
分析
我们先来看这样两个图：
分析
显然，图（
a
）、图（
b
）中都是圆，而图（
c
）中却不
是圆；同时，图（
a
）、（
c
）中都有
3
个图形，而（
b
）中只
有两个
< br>.
由此可知：图（
a
）到（
b
）的变化规律对应于图（
c
）
到（
d
）的变化规律
.
再注意到图（
a
）到图（
b
）中图形在繁
我们从左到右来观察图（
d
）、（
e
）的变化规律时，我
<
/p>
当
们
发现，图（
d
）、（
e
）的变化规律有与图（
a
）、（
b
）相<
/p>
同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与
图（
a
）、（
b<
/p>
）不同的一面，即图（
d
）、（
e
）中右半部分
的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过上下翻转而获
得
.
这样，我们就得到了这些图形的变化规
律。
（甲）图与（乙）图中，点
<
/p>
A
、
B
、
C
、
D
的顺序和距离都
没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，
A
在左方；而乙图中，
A
在上方，
……
我们把这样一种位置
的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图
解：图（
c
）中
“
？
”
处的图形应是下面甲图，图（
f
）中
“
？
”
处的图形应是乙图
.
小结：本题是一
道较为复杂的题，观察的出发点主要有
3
点：
< br>
90°
（或一格）。
现在我们再回到题目上来，容易看出：例
5
题
中按（
a
）、
（
b
）、（
c
）、（
d
）、（
e
< br>）、（
f
）、（
g
）、（
h
）、（
i
）
顺
序排列的
9
个图形，它们的变化规律是：每一个图形
（
a
除外）都是由其前一个图形逆
时针旋转
90°
而得到的
.
甲乙丙
丁四个图形变化规律也类似。
解：图
（
i
）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下
面右图
形状变化；
②
位置变化；
③
颜色变化。
①
例
7
四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第
1
号位子上，
小猴坐在第
2
号，小兔坐在第
3
号，
小猫坐在第
4
号
.
以后它们
不停地交换位子，第
一次上下两排交换
.
第二次是在第一次
交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再
左右两列交换
…
这样一直换下去
.
问：第十次交换位子后，
小兔坐在第几号位子上？（参看下图）
分析
这是
“
华罗庚金杯
”
第二届初赛的一道试题，
如果有充
裕的时间，我们当然可以把十次变化的图都画出来，从而
得到答案
.10
并不是一个很大的数字，因
此这样的方法虽然
麻烦，却也是行之有效的
< br>.
然而，在初赛中，本题的思考时
间只有
30
秒，不可能一步步把图画出来，这就要求我们仔
细观察，认真思考，找出规律再做题。
方法
1
：因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位<
/p>
子是几
.
因此
，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚
开始时在
3
号位子，记为
③
，
则
次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次
交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难
得出答案
.
即
10
次后，小兔到了第
2
号位子。
方法
2
：受方法一的
启示，我们可以思考，其他小动物的变
化规律怎样？四个小动物的整体变化规律又怎样呢？事实
上，当我们仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针
由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果
方向旋转两格（即
180°
）时，恰得到第
二次交换位子后的图，
，第十次交换位子
就相当于把原图沿顺时针方向旋转
180°
后，相当于
是这些小动物沿顺时针方向转了
4
圈半，这样，
我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律
.<
/p>
但其中需
注意一点的是：单独一次上下
（或左右）的交换与旋转
90°
得到
的结果是不同的
.
小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时
注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱
形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点。
旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观
察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半
而功倍的效果。
下面再来看几个例子：
例
6
仔细观
察下图中图形的变化规律，并在
“
？
”
处填入合适
的图形
.
分析
显然，图（
a
）、（
b
）的变化规律对应于图
（
c
）的变
化规律；图（
d
）、（
e
）的变化规律也对应于图（
f
）的变
化规律，我们先来观察（
a
）、（
b
）两组图形，发现在形
状、位置方面都发生了变化，即把圆变为它的一半
——
半
圆，把三角形也变为它的一半
< br>——
直角三角形；同时，变
化
后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转
90°
而得
到
.
因此，我们
很容易地就把图（
c
）中的直角梯形还原为等
< br>
腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（
c
）
“
？
”
处的图形。
针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。
解：第十次交换位子后，小兔到了
2
号位子。
例
8
将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六个字母分别写在正方体的六
个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些
字母分别写在相对的面上。
分析
本题所给的是一组立体几何图形
.
但是，我
们注意到：
由于图（
a
）、（
b
）、（
c
）都是同一个正方体的不同摆法，
所以，（<
/p>
a
）、（
b
）、
（
c
）可以通过旋转来互相转化，这
三个图形中，字母
C
所在的一面始终不改变位置
.
因此，这
三个图形的转化只能是前后转动
.
把图（
a
）向后翻转一次
<
/p>
（
90°
）得图（
b
），由此可知，字母
A
的对面是
D
，把图
（
a
）向前翻转一次（
90°
）得图（
c
），所以，字母
B
的对
面是字母
E
，最后得出只有字母
C
、
F
相对。
解：正方体中，相对的字母分别是
A
—
D
、
B
—
E
、
C
—
F
。
总结：一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下
几点来考虑问题：
1.
图形数量的变化；
2.
图形形状的变化；
3.
图形大小的变化；
4.
图形颜色的变化；
5.
图形位置的变化；
6.
图形繁简的变化等。
对较复杂的图形，也可分成几部分来分别考虑
.
总
而言之，
只要全面观察，勤于思考，就一定能抓住规律、解决问题。
习题五
1.
顺序观察下面图形，并按其变化规律在
“
？
”
处填上合适的
图形。
习
题
五
解
答
1.
解：
①
图（<
/p>
a
）到（
b
）的
规律也就是图（
c
）到
（
d
）的规
律，所以
①
中
“
？
”
处应填
的是下图。
②
图（
a
）和（
c
）的规律
就是图
（
b
）到（
d
）的规律，也即
把
原图沿逆时针方向旋转
180°
.
因此
②
中
“
？
”
处的图形是下
图
. <
/p>
③
图（
c
）处的
图形应是下图。
④
把图形分为顶部、
中部和底部分别考虑，
④
中
“
？
”
处的图
形应是下图
.
2.
< br>答
.
是
3.
第六讲
找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，
如：
自然数：
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
…
（
1
）
年
份：
19
90
，
1991
，
1992
，
1993
，
1994
，
1995
，<
/p>
1996
（
2
）
某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五
班排列）
45
，
45
，
44
，
46
，
45
（
3
）
像
上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列
.
数
列中的每一个数都叫做这个数列的
项，其中第
1
个数称为
这
个数列的第
1
项，第
2
个数称为第
2
项，
…
，第
n
个数就称
为第
n
项
.
如数列（
3
）中，第
1
项是
45
，第
2
项也是
45
，第
3
是
44
，第
4
项是
46
，第
5
项
45
。
根据数列中项的个数分
项
类，我们把项数有限的数列
（即有
有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即
有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，
<
/p>
（
2
）（
3
）是有穷数列，（
1
）是无穷数列。
2.
一个正方体的小木块，
1
与
6
、
2
与
5
、
3
与
4
分别是相对面，
如
照下图那样放置，并按图中箭头指示的方向翻动，
则木
块
翻
动到第
5
格时，木块正上方那一面的数字是多少？
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解
3=2+1
，
5=2+3
< br>，
8=3
＋
5.
因此，括号中应填的数是
13
，即
决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规
13=5+8
，
21=8+13
，
34=13+21
。
律。
这个以
1
，
1
分别为第
1
、第
2
项，以后各项都等于其前两
项
例
1
观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在
之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来
源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一
括号中填上合适的数
.
对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月
①
2
，
5
，
8
，
11
，（），
17
，
20
。
②
19
，
17
，
15
，
13
，（），
9<
/p>
，
7
。
也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，
<
/p>
③
1
，
3
，
9
，
27
，（），
243
。
每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅
④
64
，
32
，
16
，
8
，（），
2
。
速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单
⑤
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
< br>，（），
21
，
34…
位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数
列
⑤
的原型，因此，数列
< br>⑤
又称为兔子数列，这些在高年
⑥
1
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（）
，
47…
⑦
1
，
3
，<
/p>
6
，
10
，（）
，
21
，
28
，
36
，（）
.
级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑧
1
，
2
，
6
，
24
，
120
，（），
5
040
。
⑥
1
，
3
，
4
，
7
，
11
，
18
，（
），
47…
⑨
1
，
1
，<
/p>
3
，
7
，
13
，（），
31
。
在学习了数列
⑤
的前提下，数列
⑥
的规律就显而
易见了，
⑩
1
，
3
，
7
，
15
，
31
，
（），
127
，
255
。
从第
3
< br>项开始，每一项都等于其前两项的和
.
因此，括号中应<
/p>
(
11)1
，
4
，
9
，
16
，
25
，（），
49
，
6
4
。
填
的是
29
，即
2
9=11
＋
18
。
(
12)0
，
3
，
8
，
15
，
24
，（），
48
，
< br>63
。
数列
< br>⑥
不同于数列
⑤
的原因是：数列
⑥
的第
2
项为
3
，而数
(
13)1
，
2
，
2
，
4<
/p>
，
3
，
8
，
4
，
16
，
5
，（）
.
列
⑤
为
1
，数列
⑥
称为鲁卡斯数列。
(
14)2
，
1
，
4
，
3
，
6
，<
/p>
9
，
8
，
27
，
10
，（）<
/p>
.
⑦
1
，
3
，
6
，
10
，（
），
21
，
28
，
36
，（
）。
分析与解答
方法
1
：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
①
不难发现，从第
2
项开
始，每一项减去它前面一项所得的
差都等于
< br>3.
因此，括号中应填的数是
14
，即：
11
＋
3=14
。
②
< br>同
①
考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值
2.
所以，
括号中应
填
11
，即：
13
—
2=11
。
< br>不妨把
①
与
②
< br>联系起来继续观察，容易看出：数列
①
中，
随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列
①
是递
增的；数列
< br>②
中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，
即数列
②
是递减的
.
但是除了上述的不同点之外，这两个数
列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值
.
我<
/p>
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项
数与其前一项的和，那么，第
5
项为
15
，即
15
=10+5
，最后
们把类似
①②
这样的数列，称为等差数列
.
一
项即第
9
项为
45
，即
4
5
＝
36
＋
9
.
代入验算，正确。
③
1
，
3
< br>，
9
，
27
，（），
243
。
方法
2
：其
实，这一列数有如下的规律：
此
数列
中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第
2
第
1
项：
1=1
项
开始，每一项都是其前面一项的<
/p>
3
倍
.
即：
3=1×
3
，
9=
3×
3
，
第
2
项：
3=1
＋
2
2
7
=9×
3.
因此，括号中应填
81
，
即
81=
27×
3
，代入后，
243
第
3
项：
6=1+2+3
也符合规律，即
243
＝
81×
3
。
第
4
项：
10=1+2+3+4
④
64
，
32
，
16
，
8
，（），<
/p>
2
与
③
类似，
本题中，从第
1
项开始，每一项是其后面一项的
第
5
项：（
）
第
6
项：
21=1+2+3+4+5+6
2
倍，即：
第
7
项：
28=1+2+3+4+5+
6+7
第
8
项；
36=1+2+3+4+5+6+7+8
第
9
项：（
）
即这个数列的规律是：每一项都等
于从
1
开始，以其项数
为
最大数的
n
个连续自然数的和
.
因此，
第五项为
15
，即：
15=
1+ 2+ 3+ 4+
5
；
第九项为
45
，即：
45=1+2+3+4+5+6+7+8+9
。
⑧
1
，
2
，
6
，
24
，
120
，（
），
5040
。
因此，括号中填
4
，代入后符合规律。
方法
1
：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看
综合
③④
考虑，数列
③
是递增的数列，数列
④
是递减的数
不出任何规律
.
考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，
列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的
显然：
商
都
相等
.
像
③④
这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，（
），
21
，
34…
首先可以看
出，这个数列既不
是等差数列，也不是等比数
列
.
现在我们
不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以
发
现，从第
3
项开始，每一项等于它前面两项的和
.
即
2=1+1
，
15=2
4
-1
31=2
5
-1
127=2
7
-1
255=2
8
-1
所
以，括号中为
2
6
-1
即
63
。
（
11
）<
/p>
1
，
4
，
9
，
16
，
25
，（
），
49
，
64.
1=1×
1
，
4=2×
2
，
9=3×
3
，
16=4×
4
，
25=5×
5
，
< br>49= 7×
7
，
6
4=8×
8
，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号
所以，这个数列的规律是：除第
1
项以外的每一
项都等于其
项数与其前一项的乘积
.
因此，括号中的数为第
6
项
720
，即
中的数是<
/p>
36
。
720
=120×
6
。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，
方
法
2
：受
⑦
的影响，可以考虑连续自然数，显然：
势必要走弯路。
第
1
项
1=1
(12)0
，
3
，
8
，
15
，
24
，（
），
48
，
63
。
第
2
项
2=1×
2
仔细观察，发现数列
(12)
的每一项加上
1
< br>正好等于数列
(11)
，
第
3
项
6=1×
2×
3
因此，本数列的规律是项
=
项数
×
项数
-1.
所以，括号中填
35
，
第
4
项
24=1×
2×
3×
4
即
35=
6×
6-1
。
第
5
项
120=1×
2×
3×
4×
5
(13)1
，
2
，
2
，
4
，
3
，
8
，
4
，
16
，
5
，（
）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以
第
6
项
（
）
第
7
项
5040=1×
2×
3×
< br>4×
5×
6×
7
发现，本数列中的某些数是很有规律的，如
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
所以，第
6
项应为
1×
2×
3×
4×
5×
6=720
而它们恰好是第
1
项、第
3
项、第
5
项、第
7<
/p>
项和第
9
项，所以
⑨
1
，
1
，
3
，
7
，
13
，（
），
31
不妨把数列分为奇数项（即第
1
，
3<
/p>
，
5
，
7
，
9
项）和偶数项
与
⑦
类似：
（即第
2
，
4
，
6
，
8
项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重
新分组排列如下：
奇数项：
1
，
2
，
3
，
4
，
< br>5
偶数项：
2
，
4
，
8
，
< br>16
可以看出，奇数项构成一等差数列，
偶
数项构成一等比数列
.
因此，括号中的数，即第
10
项应为
3
2
（
32=16×
2
）。
(14)
2
，
1
，
4
，
3
，
6
，
9
，
8
，
27
，
10
，（
）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：
可
以猜想，数列
⑨
的规律是该项
=
前项
+2×
（项数
-
2
）（第
1
偶数项：
2
，
4
，
6
，
8
，
10
项
除外），那么，括号中应填
21
，代入验证，符合规律。
奇数项：
1
，
3
，
9
，<
/p>
27
，（
）<
/p>
.
所以，偶数项为等差数列，
⑩
1
，
3
，
7
，
15
，
31
，（
），
127
，
255
。
奇数项为等比数
列，括号中应填
81
（
81=27×<
/p>
3
）。
像
(13)(14)
这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两<
/p>
个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数
则：
列或双重数列。
是：
（
1<
/p>
，
3
，
5
），（
2
，
6
，
10
），（
3
，
9
，
15
）
…
问：第
100
个数组内
3
个数的和是多少？
例
2
下面数列的每一项由
3
个数组成的数组表示，它们依
次
方
法
1<
/p>
：注意观察，发现这些数组的第
1
个分量
依次是：
1
，
2
，
3…<
/p>
构成等差数列，所以第
100
个数组中的第
1
个数为
因
此，括号中的数应填为
63
。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：
①
< br>寻找
各项与项数间的关系；
②
考虑相邻项之间的关系
.
然后，再
归纳总结出一般的规律。
事实上，数列
⑦
或数列
⑧<
/p>
的两种方法，就是分别从以上两
个不同
的角度来考虑问题的
.
但有时候，从两个角度的综合
考
虑会更有利于问题
的解决
.
因此，仔细观察，认真思考，
选
择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在
⑩
题中，
1=2-1
3=2
7=2
2
-
1
3
-1
1
00
；这
些数组的第
2
个分量
3
，
6
，
9…
也构成等差数列，
且
3=3×
1
，
6=3×
2
，
9=3×
3
，所以第
100
个数组中的第
2
个数
为
3×
100=300
；同理，第
3
个分量为
5×
100=500
，所以，第
100
个
数组内三个数的和为
100+300+500=900
。
方法
2
：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组
里的三
个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
< br>第
1
组：
1+3+5=9
，第
2
组：
2+6+
10=18
第
3
组：
3+
9+ 15=
27…
，由于
9=9×
1
，
18=
9×
2
，
27=
9×
3
，
所
以
9
，
18
，
27…<
/p>
构成一等差数列，第
100
项为
9×
100=900
，
即
第
100
个数组内三个数的和为
900
。
例
3
按下图分割三角形，即：
①
把三角形等分为四个相
同
的小三角形（如图（
b
））；
②
把
①
中的小三角形（尖朝下
的
除外）都等分为四个更小的三角形
（如图（
C
））
…
继续
下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三
角形的个数记下来，成为一个数列：
1
，<
/p>
4
，
13
，
40…
请你
继续
按分割的步骤，以便得到数列的前
5
项
.
然后，仔细观察
数
列，从中找出规律，并依照规律得
出数列的第
10
项，即
第
9
项分割
后所得的图中不重叠的小三角形的个数
.
分析与解答
第
4
次分割后的图形如左图：
因此，
数列的第
5
项为
121
。
这个数列的规律如下：
第
1
项
1 <
/p>
第
2
项
4=1+
3
第
3
项
1
3=4+3×
3
第
4
项
40=13+3×
3×
3
第
5
项
121
=40+3×
3×
3×
3
或者写为：第
1
项
1=1
第
2
项
4=1+3
1
第
3
项
13=1
＋
3
＋<
/p>
3
2
第
4
项
40=1
＋
3
＋<
/p>
3
2
＋
3
3
第
5
项
121
=1
＋
3
＋
3
2
+3
3
＋<
/p>
3
4
因此，第
10
项也即第
9
次分割后得到的不重叠
的三角形的个
5.2
，
1
，
3
< br>，
4
，
7
，（
），
18
，
29
，
47
6
.1
，<
/p>
2
，
5
，
10
，
17
，（
），
37
，
50
7
.1<
/p>
，
8
，
27
，
64
，
125<
/p>
，（
），
343
8.1
< br>，
9
，
2
，
8
，
3
，
（
），
4
，
6
，
5
，
5
习题六解答
1.
等差数列，括号处填
6
。
2
.
等差数列，括号处填
75
。
3.
等比数列，括号处填
32
。
5
.
相邻两项的和等于下一项，括号处填
11
。
6.
后项
-
前项
=
前项的项数<
/p>
×
2-1
，括号处填
26
。
7
.
立方数
列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，括
号
处填
216
。
8.
双重数列，括号处填
7.
第七讲
填算式（一）
在这一讲中介绍填算式
的未知数的方法
.
我们将根据算式中
给
定的运算关系或数量关系，利用运算法则和推理的方法
把
待
能力、分析和解决问题的能力，以及联想、试探、归纳等
定
思维能力的培养有重要的作用。
的
例
1
在下面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算
数
式成立
.
字
确
定
出
来<
/p>
.
研
究
和
解
决
这
一
类
问
题
对
学
生
观
察
数是
29524
。
例
4
在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同
的
数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。
①
42
，
20
，
18
，
48
，
24
（
21
，
54
，
45
，
10
）
②
15
，
75
，
60
，
45
，
27
（
50
，
70
，
30
，
9
）
③
42
，
126
，
168
，
63
，
882
（
27<
/p>
，
210
，
33
，
25
）
<
/p>
解：
①
中，
42
、
18
、
48
、
24
都是
6
的倍数，只有
20
不是，所
以，划掉
20
，用
54
代替。
②
15
、
75
、
60
、
45
都是
15
的整数倍数，而
27
不是，用
30
来替换
27
。
< br>
③
同上分析，发现这些数中，
42
、
126
、
128
、
882
都是
4
2
的整数倍，而
63
却不是
.
因此，用
210
来代替
63
。
习题六
按一定的规律在括号中填上适当的数：
1.1
，
2
，
3
，
4
，
5
，（
），
7…
2
.100
，
95
，
90
，
85
，
80
，（
），
70
3.1
，
2
，
4
，
8
，
16
，
（
），
64
分析
这是一个三位数加上一个四位数，其和为五位数，因
此和的首位数字为
1
，进一步分析，由于百位最
多向千位进
1
，所以第二个加数的千位数
问题得解
.
例
2
在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式
成立。
分析
这是一个四位数加上一个四位数，其和仍为四位数
.
先从个位入手，
解：此题有以下两解
。
例
3
用<
/p>
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这十个数字组成下
例
6
在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式
成立
.
面的加法算式，每个数字只许
用一次，现已写出三个数
字，
请把这个算式补齐
.
分析
由于三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位
数字为
1
，第一个加数的百位数字为
9
或
7
。
如果第一个加数的百位数字为
9
，则和的百位数字为
1
或
2
，
而
1
和
2
都已用过，所以第一个加数的百位数字不为
9<
/p>
。
如果第一个加数的百位数字为
7
，则和的百位数字必为
0
< br>，
且十位必向百位进
1.
现在还剩下
9
，
6
，
5
，
3
这四个数字，这
里只有一个偶数，如果放在第二个加数（或和）的个位，
那么和（或第二个加数）的个位也必为偶
的十位数字为
6
，和的十位数字为
5
。
解：
例
4
在下面算式的空格内填上合适的数字，使算式成立。
分析
由于被减数是三位数，减数是两位数，差是一位数，
所以被减数的首位数字为
1
，且十位必向百位借
1
，由于差
是一位数，所以个位必向十位借
1.
因此，被减数的个位数字<
/p>
为
0
，被减数
的十位数字也为
0
。
解：
例
5
在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式
成立。
分析
这是一个四位数减去一个四位数，差仍为四位数
.
先看
个位，由于
解：
分析
这是一道加减混合的填算式题，为了便于分析，可以
把加法、减法分开考虑：
观察这两个算式，减法算式空格内的数字容易填。
①
减法算式
由于被减数是四位数，减数是三位数，差为一位数，所以
被
减数为
1
000
，减数为
999
，因此，加法算
式的和就已知了。
②
加法算式
解：
习题七
1.
在下面的加法算式的空格内各填入一个合适的数字，使算
式成立
.
2
.
在下面减法算式的空格内各填入一
个合适的数字，使算式
成立
.
3.
在下面的算式中，每个方框代表
一个数字，问每个算式中
所有方框中的数字的总和各是多少？
4.
在下面算式的空格内各入一个合适的数字，使算式成立
.
习题七解答
由于前四种解中第一个加数的十位与第三个加数的十位可
互换，所以共有
9
种解法。
2
．
共六个解。
3.
本题主要从各数位上的进位情况加以分析，而不必把每个
空格所代表的数字求出来。
①
由于个位相加的和为
9
，十位相加的和为
14
，
所以所有方
框中的数字总和为
9
＋
14=23
。
②
由于个位相加的和为
13
，十位相加的和为
18
，百位相加
的和为
18
，所以所有方框
中的数字总和为
13+18+18=49
。
4
．
第八讲
填算式（二）
上一讲介绍了在加、减法算式中，根据已知几个数字之间
的关系、运算法则和逻辑推理的方法，如何进行推断，从
而确定未知数的分析思考方法
.
在乘、除法
算式中，与加减
法算式中的分析方法类似，下面通过几个例题来说明这类
问题的解决方法。
例
1
在右面算式的方框中填上适当的数字，使算式成立。
所以乘数的十位数字为
8
或
9
，经试验，乘数的十位数字为
8
。
被乘数和乘数确定了，其他方框中的数字也就容易确定了。
解：
例
2
妈妈叫小燕上街买白菜，邻居张老师也叫小燕顺便代
买一些
.
小燕买回来就开始算帐，她列的竖式有
以下三个，
除三式中写明的数字和运算符号外，其余的由于不小心都
被擦掉了
.
请你根据三个残缺的算式把方框
中原来的数字重
新填上。
两家买白菜数量（斤）：
小燕家买菜用钱（分）：
张老师家买菜用钱（分）：
分
析
解决问题的关键在于算式
①
，由于算式
①
是两个一位
数
相加，且和的个位为
7
，因此这两个加数为
8
和
9
。
算
式
②
与
③
的被乘数应为白菜的单价，考虑这个两
位数乘
以
8
的积为两位数，所以这个两位数应小于
13
< br>，再考虑这个
两
位数乘以
9
的积为三位数，所以这个两位数应大于
11.
因此
这个两位数为
12
。
例
3
在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式
解：
例
4
下式中
，
“
□
”
表示
被擦掉的数字，那么这十三个被擦掉
的数字的和是多少？
9
乘以
1
～
9
中的哪个数字都不可能出现个位为
0
，进而被乘
数
的个位数字不
为
9
，只能为
4
，则乘数的十位数字必为
5.
与乘数的个位数字
6
相乘的积的十位数字为
0
，考虑
3×
6=18
，
8×
6=48
，
的积的十位数字为
7
，所以被乘数的十位数字为
3.
再由于被
千位数字为
1.
因而问题得到解决。
解：
成立。
∴
1+3+4+5+7+4+6+1
+6+9
＋
1
＋
0+4=51
。
例
5
某存车
处有若干辆自行车
.
已知车的辆数与车轮总数都
7
，则存车处有多少辆自行车？
分析
此题仍属于填算式问题，因为车
辆数乘以
2
就是车轮
总数，所以此题可转化为把
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
分别填在下
面
的
方框中，每个数字使用一次，使算式成立
.
是三位数，且组成这两个三位数六个数字是
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
此题的关键在于确定被乘数
——
即自行车的辆数。
因
为一个三位
数乘以
2
的积仍为三位数，所以被乘数的首位
< br>
数
字可以为
2
、
3
或
4
。
①
若被乘数的首位数字为
2
，则积的首位数字为
< br>4
或
5
。
（
i
）
若积的首位数字为
4
，则积的个位数字必为
6
，由此可
知
，被乘数的个位数字为
3.
这时只乘
下
5
和
7
这两
个数字，
不
论怎样填，都不可能使算式成立。
（
ii
）若
积的首位数字为
5
，说明乘数
2
与被乘数的十位数字
相乘后必须向百位进<
/p>
1
，所以被乘数的十位数字可以为
6
或
7
。
若被乘
数的十位数字为
6
，则积的个位数字为
4
，那么被乘
数的个位数字便为
7
，积的十位数字为
3.
< br>得到问题的一个解：
若
被乘数的十位数字为
7
，则积的个位数字为
4
或
6
，但由
于
2
和<
/p>
7
都已被使用，所以积的个位数字不可能为
4
，因而只能
为
< br>6.
由此推出被乘数的个位数字为
3
，则积的十位数字为
4.
得
到问题的另一解：
②
若被乘数的首位数字为
3
，则积的首位数字为
6
或
7
。
（
i
< br>）若积的首位数字为
6
，则积的个位数字只能为
4
，则被
乘
数的个位数字为
2
或
7
。
若被乘
数的个位数字为
2
，则还剩下
5
和
7
这两个数字，不
论
怎样填，都不可能使算式成立。
若被乘数的个位数字
为
7
，则这时剩下
2
和
5
这两个数字，那
么
被乘数的十位数字为
2
，积的十位数字
为
5.
得到问题的第
三
个解
：
（
ii<
/p>
）若积的首位数字为
7
，则被乘数的十位
数字为
5
或
6
。
若
被乘
数的十位数字为
5
，则积的十位数字只能为
0
或
1
，与
已
知矛盾，所以被乘数的十位数
字不为
5
。
若
被乘数的十位数字为
6
，则积的个位数字必为
4
，因而被
乘数的个位数字为
2
，此时
5
已无法使算式成立，因此被乘
数
的十位数字也
不为
6
。
③
由于
2
、
3<
/p>
、
4
、
5
、
6
、
7
这六个数字中，最大的为
7
，因而
2.
在下列除法算式的空格内各填入一个合适的数字
，使算式
成立
.
乘数的首位数字不可能为
4
。
被
解
：因为
3.
某数的个位数字为
2
，若把
2
换到此数的首位
，则此数增加
一倍，问原来这个数最小是多少？
4.
一个四位数被一位数
A
除得（
1
）式，被另一个一位数
B
除得（<
/p>
2
）式，求这个四位数。
所以存车处有
267
辆、
2
73
辆或
327
辆自行车。
习题八
1
.
在下列
乘法算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式
成立。
5
.
在右面的
“
□
”
内填入
1
～
8
（每个数字必须用一次），使算
式成立
.
习题八解答
1.
③
共有十三个解
.
共六个解。
3.
原数最小是
136842
。
4
.
当
A=3
，
B=2
时
，这个四位数为
1014
，当
A=9
，
B=5
时，
这个四位数为
1035
。
5.
有两个解。
第九讲
数字谜（一）
数字谜是一种有趣的数
学问题
.
它的特点是给出运算式子，
但
式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行
恰当的判断和推理，从而确定这些
字母或汉字所代表的数
字
.
这一讲我们
主要研究加、减法的数字谜。
例
1
右面算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表
示不同的数
字
.
当它们各代表什么数字时算式成立？
分析
由于是三位数加上三位数，其和为四位数，所以
“
真
”=1.
由于十位最多
向百位进
1
，因而百位上的
“
是
”=0
，
“
好
”=8
或
9
。
④
共有四
个解。
2.
①
若
“
好
”=8
，个位上因为
8+8
＝
16
，所以
“
啊
”=6
，十位上，
由于
6
＋
0
＋
1=
7
≠
8
，所以
“
好
”
≠
8<
/p>
。
②
若
“
好
”=9
，个位上
因为
9
＋
9=18
，所以
“
啊
”=8
，十位上，
8
＋
0
＋
1=9
，百位上，
9
＋
1=10
，因而问题得解。
真
=1
，是
=0
，好
=9
，啊
=8
例
2
下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？
分析
由于四位数加上四位数其和为五位数，所以可确定和
的首位数字
E
＝
1.
又因为个位上
D
＋
D
＝
< br>D
，所以
D=0.
此时
算
式为：
下面分两种情况进行讨论：
①
若百位没有向千位进位，则由千位可确定
A=9
，由十位
可确定
C=8
，由百位可确定
B=4.
因此得到问题的一个解：
<
/p>
②
若百位向千位进
1
，则由千位可确定
A=8
，由十位可确定
C
＝
7
，百位上不论
B
为什么样的整数，
B+B
和的个位都不
可
能为
7<
/p>
，因此此时不成立。
解：
A=9
，
B=4
，
C=8
，
D=0
，
E=1.
例
3
在下面的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不
同的字母代表不同的数字，那么
D<
/p>
＋
G=
？
分析
由于是五位数减去四位数，差为三位数，所以可确定
A=1
，
B=0
，
E=9.
此时算式为：
分成两种情况进行讨论：
①
若个位没有向十位借
1
，则由十位可确定
F=9
，但这与
E=9
矛盾。
②
若个位向十位借
1
，则由十位可
确定
F=8
，百位上可确定
C
=7.
这
时只剩下
2
、
3
、
4
、
5
、
6
五个数字，由个位可确定出：
解：因为
所以
D
＋<
/p>
G=2
＋
4=6
或
D
＋
G=
3
＋
5=8
或
D
＋
G=4
＋
6=10
例
4
右面的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉
字
表示相同的数字
< br>.
如果巧
+
解
< br>+
数
+
字
+
谜
=30
，那么
< br>“
巧解数
字谜
”
所代表的五位数是多少？
①
若
“
谜
”=0
，则巧
+
解
+
数
+
字
=30
，因为
9
+8
＋
7
＋
6
=30
，那
么
“
巧
”
、
“
解
”
、
“
数
”
、
“
字
”
这四个汉字必是
9
、
8
、
7
、
6
这四
个
数字
.<
/p>
而十位上，
9
＋
9
＋
9
＋
9=
36
，
36
的个位不为
9
，
8+8+8
＋
8=32
，
32
的个位
不为
8
，
7
＋
7
＋
7
＋
7=28
，
28
的
个位不为
7
，
6
＋
6
＋
6
＋
6+=24
，
24
的个
位不为
6
，因而得出
“
字
”
≠
9
、
8
、
7
、
6
，矛盾，因此
< br>“
谜
”
≠
0
。
②
若
“
谜
”=5
，则巧
+
解
+
数
+
字
=25
.
观察这个算式的十位，由
于
字
+
字
+
字
+
字
+2
和的个位还是
“
字
”
，所以
“
字
”=6
，则巧
+
解
+
数
=19.
再看算式的百位，由于数
+
数
+
数
+2<
/p>
和的个位还是
“
数
”
，因而
“
数
”=4
或
9
，若
“
数
”=4
，则
“
解
”
＝
9.
因而
“
巧
”=1
9
-4-9
＝
6
，
“
赛
”=5
，与
“
谜
”=5
重复，因此
“
数
”
≠
4
，所
以
“
数
”=9
，
则
“
巧
”+“
解
”
＝
10.
最后看算式的千位，由于
“
解
”+
“
解
”+2
和的个位还是
“
解
”
，所以
“
解
”
＝
8
，则
“
巧
”=2
，因此
“<
/p>
赛
”
＝
1.
问题得解。
因
此，
“
巧解数字谜
”
< br>所代表的五位数为
28965
。
例
5
英文<
/p>
“HALLEY”
表示
“
哈雷
”
，
“COMET”
表示
“
彗星
”
，
中的某个数字，且相同的字母表示相同的数字，不同的字
“EARTH”
表示地球
.
在下面的算式中，每个字母均表示
0
～
9
母表示不同的数字
.
这些
字母各代表什么数字时，算式成
立？
分析
因为是一个六位数减去一个五位
数，其差为五位数，
所以可确定被减数的首位数字
H
＝
1.
若个位没有向十
位借
1
，则十位上
E-E=0
，有
T=0
，那么个位上，
Y-0
＝<
/p>
1
，得
Y
＝
1
，与
<
/p>
H=1
矛盾，所以个位要向十位借
1
，于是十位必向
百
位借
1<
/p>
，则十位上，
10
＋
E-1-E
＝
9
，则
T=9
，因此，由个
位
可确定
Y
＝
0.
此时
算式为：
①
若百位不向千位借位，则有
R
＋
M
＋
1=L
，这时剩下数字
2
、
3
、
4
、<
/p>
5
、
6
、
7
、
8
，因为
2
＋
3
＋
1=6
，所以
L
最小为
6
。
分析
观察
算式的个位，由于谜
+
谜
+
谜
+
谜
+
谜和的个位还是
“
谜
”
，所以
“
谜
”
＝
0
或
5
。
若
L=6
，
则（
R
，
M
）
=
（
2
，
3
）（表示
R
、
M
为<
/p>
2
、
3
这两
个数字，其中
R
可能为
2
，也可能为
3
，
M
< br>也同样）
.
这时还
剩下
4
、
5
、
7
、
8
这四个数字，由千位
上有
O+A=6
，而在
4
、
< br>5
、
7
、
8
这四个数字中，不论哪两个数字相加，和都不可能
为
6
，因此
L
≠
6.
若
L
＝
7
，则
M
＋
R=6
，于是（
M
，
R
）＝（
2
，
4
），还剩下
3
、
5
、
6
、
8
这四个数字
.
由千位上
O
＋
A=7
，而在
3
、
5
、
6
、
8
这四个数字中，不论哪两个数字相
加，和都不可能为
7
，
因
此
L
≠
7
。
若
L=8
，则
M
＋
R
＝
7<
/p>
，（
M
，
R
）
=
（
2
，
5
）或（
M
，
R
）＝
（
3
，
4
）。
若（
M
，
R
）
=
（
2
，
5
），则还剩下
3
、
4
、
6
、
7
这四个数字。
由
千位可确定
O
＋
A=8
，而在
3
< br>、
4
、
6
、
7
这四个数字中，不
论
哪两个数字相加，和都不可能为<
/p>
8
，因此（
M
，
R
）
≠
（
2
，
5
）。
若
（
M
，
R
）＝（
3
，
4
），则还剩下
2
、
5
、
6<
/p>
、
7
这四个数字。
由
千位可确定
O
＋
A=8
，而
2
＋
6=8
，所以（
O
，
A
）＝（
2
，
6
< br>），最后剩下
5
和
7.
因为
5
＋
7
＝
12
，所以可确定
<
/p>
A
＝
2
，
O=6
，
则（
C
，
E
）＝（
5
，
7
）
.
由于
C
与
E
可对换，
M
与
R
可对
换，所以得到问题的四个解：
解：
②
若百
位向千位借
1
，则
< br>M
＋
R
＝
L
＋
9.
还剩下
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
。
若
L
＝
2
，则（
M
，
R
）＝（
3
，
8
）或（
M
，
R
）
=
（
4
，
7
）
或
< br>（
M
，
R
）＝（
5
，
6
）
.
由千位得
O+A
＝
11
，则必有
C
＋
E=11
，而万位上
C
＋
E
＝
9+A
，由此可得
A=2
，
与
L
＝
2
矛盾<
/p>
.
所
以
L
≠
2
。
若
L
＝
3
，则
M
＋
R
＝
12
，（
M
，
R
）
=
（
4
，
8
）或（
M
，
R
）
＝
（
5
，
7
）
.
由千位得
O
＋
A
＝
12
，这时还剩
下
2
、
6
这两
个
数
字
.
由万位得
C+E=9
＋
A
，
即
2
＋
6
=9
＋
A
，
A
无解
.
所以
L
≠
3
。
若
L
＝
4
，则
M
＋
R
＝
13
，（
M
，
R
）＝（
5
，
8
）或（
M
，
R
）
＝
（
6
，
7
）
.
由千位得
O
＋
A=13
，这时还剩下
2
和
3
这两个数
字
.
由万位得
C+E
＝
A+9
，
即
2
＋
3
＝
A
＋
9
，<
/p>
A
无解
.
所以
L
≠
4
。
若
L=5
，则
M
＋
R
＝
14
，（
M
，
R<
/p>
）
=
（
6
，
8
）
.
由千位得
O
＋
A
＝
14
，而在剩下的
2
、
3
、
4
、
7
这四个数中，任意两个数
字
的和都不等于
14.
所以
L
< br>≠
5
。
共以上四个解。
通过以上几个例题我们不难看出，认真分析算式中隐含的
数量关系，选择有特征的部分作为解题的突破口，作出局
部的判断是解数字谜的关键
.
其次，在采用
试验法的同时，
常
借助估值的方法，对某些数位上的数字进行合理的估计，
逐
步排除一些不可能的取值，缩小所求数字的取值范围，
这
样可以加快解题的速度。
习题九
1.
下面各题中的字母都代表一个数字，不同的字母代表不同
的数字，相同的字母代表相同的数字，问它们各代表什么
数字时，算式成立？
2.
下面各题中的每一个汉字都
代表一个数字，不同的汉字
代
表不同的数字，相同的汉字
代
表相同的数字，当它们各
代
表什么数字时，算式成立？
若
L=6
，则
M
＋
R=15
，（
M
，
R
）
=
（
7
，<
/p>
8
）
.
由千位得
O
＋
<
/p>
A
＝
5
，则（<
/p>
O
，
A
）
=
（
2
，
3
）
.
这时还剩下
4
和
5
这两个数
字
，由万位得
C+E
< br>＝
10+A
，即
4
＋
5=10
＋
A
，
A
无解
.
所以
L
≠
6
。
因为
M
＋
R
的和
最大为
15
，所以
L
最大取
6
。
解：
3.
已知
4
.
将一个各数位数字都不相同的四位数的数字顺序颠倒过
来，得
到一个新的四位数，如果新数比原数大
7902
，那么
所有符合这样条件的原四位数共有多少个？并把所有符合
条件的原四位数都找出来？
习题九解答
1
．
A
=9
，
B=8
A=9
，
B=8
< br>C
=7
，
D=1
C=6
，
D=1
E=4
，
F=0
E=2
，
F=0
A
< br>＝
1
，
B
＝
0
，
C=2
～
5
，
D
＝
9
，
E
＝
5
～
8
，共四个解
。
A=5
，
B=2
C=7
，
D=4
大
=5
，家
=2
< br>爱
=1
，上
=4
学
=0
我
=1
，攀
=8
登
=7
，高
=4
峰
=0
助
=1
，人
=7
为
=9
，乐
=6
力
=8
，争
=
6
，办
=7
，奥
=2
，运
=5
，会
< br>=0
，成
=9
，功
=4
4.
共有六个，它
们是：
1329
、
1439
、
1549
、
1659<
/p>
、
1769
、
1
879.
第十讲
数字谜（二）
在一些乘除法的运算中
，也可以用字母或汉字来表示数字，
形成数字谜算式
.
这一讲，将介绍如何巧解乘除法数字谜。
例
1
右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母
代表不同的数字，问
A
和
E
各代表什么数字？
分析
由
于被
乘数的最高位数字与乘数相同，且积为六位
数，故
A
≥
3
。
①
若
A
＝
3
，因为
3×<
/p>
3=9
，
则
<
/p>
E=1
，而个位上
1×
< br>3=3
≠
1
，因此，
A
≠
3
。
②
若
A=4
，因为
4×
4=16
< br>，
16
＋
6=22
，则
E=2
，而个位上
2
×
4=8
≠
2
，因此
A
≠
4
。
③
若
A=5
，因为
5×
5=
25
，
25
＋
8=33
，则
E=3
，而
3×
5=15
，
积
的个位为
5
不为
3
，因此
A
≠
5
。
④
若
A=6
，
因
为
6×
6=
36
，
36
＋
8=44
，
则
E=4.
个位上，
4×
6=24
，
写
4
进
2.
十位上，因为
2×
6+2=14
，
< br>D
可以为
2
，但不论
C
为
什么数字，
C×
6
＋
1
个位都不可能为
4
，因此
D
不可能为
2.
因
为
7×<
/p>
6+2=44
，所以可以有
D=7.
百位上，因为
50×
6+4=34
，
所
以
C=5.
千位上，不论
B
为什么数字，
B×
6+3
的个位都不
可
能为
4
，因此
B
无解
.
故
<
/p>
A
≠
6
。
⑤
若
A=7
，
因
为
7×<
/p>
7
＝
49
，
49
＋
6=55
，
则
E=5.
个位上，
5×
7=35
，
写
5
< br>进
3.
十位上，因为
6×
7+3=45
，所以
D=6.
百位上，因为
3×
7
＋
4=25
，所以
C
＝
3.
千位上，因为
9×
7
＋
2=65
，所以
B=9.
万
位上，因为
7×
7
＋
6
＝
55
，所以得到该题的一个解。
⑥
若
A=8
，因为
8×
8=64
< br>，
64
＋
2=66
，则
E=6.
个位上，
6×
8
＝
48
，则积的个位为
8
不为
6
，因此
A
≠
8
。
< br>
⑦
若
A=9
，因为
9×
9=81
，
81
＋
7=88
，则
E=8
，而个位上，
8
×
9=7
2
，则积的个位为
2
不为
8
，因此
A
≠
9
。
解
：
所以，
A=7
，
E
＝
5
。
例
2
下面竖式中的每个不同汉字代表
0
～
9
中不同
的数码，
求出这些使算式成立的汉字的值。
分析
为了叙述方便，把算式中每个<
/p>
“
奇
”
与
“
偶
”
字都标上角<
/p>
码，如下式所示。
分析
由于乘数是四位数，而在用乘数的每位数字去乘被乘
数时，只有三层结果，由此观察出
“
数
”=0
，且积的最高位
为
1.
为了
叙述方便，在算式中
“×”
的位置用字母代替，此时
的
算式如下式
.
定向
“
奇<
/p>
2
”
所在位借
1
，因而排除
“
偶
4
”=0
。
（积为奇奇偶）
22×
8=176
（积为奇奇偶）
24×
6=144
（积为奇偶偶）
24×
8=192
（积为奇奇偶）
由于百万位要向千万位进
1
，而十万位最多只能向百万位进
1
，因而
积
为四位数，因而
“
味
”=1
或
2
。
①
若
“
味
”
＝
1
，则
A
5
=3
，
A
10
=3
，于是，
A
5
+A
10
=3+3=6
，这
样不论万位有没有向十万位进位，十万位都不可能向百万
位进
1
，因此
“<
/p>
味
”
≠
1
。
②
若
“
味
”=2
，则
A
5
=6
，
A
6
=4
，
A
10
=6
，于是，
A
5
＋
A
10
=12
，
因此十万位必向百万位进
1
< br>，所以
“
味
”
< br>＝
2
。
42×
4=168
（积为奇偶偶）
6
＝
252
（
积为偶奇偶）
42×
4
2
×
8=336
（积为奇奇偶）
=168
＋
8=176
，便得：
解：
44×
4
＝
176
（积为奇奇偶）
4
4×
6=264
（积为偶偶偶）
< br>4
4×
8
＝
352
（积为奇奇偶）
因此，
“
趣
”=3
，
“
味
”=2
，
“
数
”=0“
学
”=1.
而
22×
6=132
（积为奇奇偶）
8
＝
176
（
积为奇奇偶）
22×
例
3
右面算式中的每个
“
奇
”
字代表
1
、
3
、
5
、
7
、
9
中的一个，
因
此，
“
< br>偶
2
”
≠
4
。
每
个
“
偶
”
字代表
0
、
2
、
4
、
6
、
8
中的一个，为使算式成立，
求
出它们所代表的值。
解：
例
4
下页算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字
表示相同的数字，则符合题意的数
“
华罗庚学校
赞
”
是什么？
分析
首先确定
“
好
”
≠
0
、
1
、
5
、
9
，且
“
好
”
≠
6
、
8
（若
“
好
”=6
或
8
，则被
乘数的最高位数字
“
赞
”=1
，而个位上
“
校
”
与
“
好
”
的
积的个位不可能
是
1
，所以
“
好
”
≠
6
、<
/p>
8.
），因此，
“
好
”=2
、
3
、
4
或
7
。
①
若
“
好
”=2
，则被乘数的最高位
“
赞
”
字可能为
1
、
3
或
4
，而
个位上
“
校
”×2
的积的个位等于
“
赞
”
，所以
“
赞
”
≠
1
、
3
，因而
“
赞
”=4
。
个
位上，因为
7×
2
＝
14
，所以
“
校
”=7.
十位上，因为
3×
2
＋
1=7
，
8
×
2
＋
1=17
，所以
“
学
”=3
或
8.
若<
/p>
“
学
”=3
，则
“
庚
”×2
积
的个位
为
3
，而不论
“
庚
”
为什么样的整数，都不可能实现，因此，
“
学
”
≠
3.
若
“
学
”=8
，则
“
庚
”×2
＋
1
和的个位为
8
，而不论
“
庚
”
为
什么样的整数，都不可能实现，因
此，
“
学
”
≠
8.
故
“
好<
/p>
”
≠
2
。
②
若
“
好
”=3
，则被乘数的最高位数字
“
赞
”=1
或
2
。
若
“
赞
”=1
，个位上因为
7×
< br>3
＝
21
，所以
“
校
”=7.
十位上，因为<
/p>
5
×
3+2=17
，所以
“
学
”=5.
百位上，因为
8×
3
＋
1
＝
25
，所以
“
庚
”=8.
千位上，
因为
2×
3
＋
2=8
，所以
“
罗
”=2.
万位上，因为
4
×
3=12
，所以
“
华
”=4.
十万位上，便有
1×
3+1=4
，得到
一个
解：
若
“
赞
”=2
，个位上因为
4×
3=12
，
所
以
“
校
”=4.
十位上，因为
1×
3
＋
1=
4
，所以
“
学
”=1.
百位上，因为
7×
3=21<
/p>
，所以
“
庚
”=
7.
千
位上，因为
< br>5×
3+2=17
，
所
以
“
罗
”
＝
5.
万位上，因为
8×<
/p>
3+1=25
，
所
以
“
华
”
＝
8.
十万位上便有
2×
3+2
＝
8
，于是得到一个解：
③
若
“
好
”=4
，则被乘数的最高位数字
“
赞
”=1
或
2
，而个位上
“
校
”×4
积的个位不可能为
1
，所以
“
赞
”
只能为
2.
个位上，因
个
位上，因为
3×
7=21
，所以
< br>“
校
”
＝
3.
十位上，因为
3×
7
＋
2
＝
23
，则
“
学
”
＝
3
，与
“
校
”=3
重复，因而
“
好
”
≠
7
。
解
：
则
“
华罗庚学校赞
”=428571
或
857142
。
例
5
在下面
的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的
汉字表示不同的数字，当
< br>“
开放的中国盼奥运
”
代表什么
数
时
，算式成立？
盼盼盼盼盼盼盼盼盼<
/p>
÷
□
=
开放的中
国盼奥运
分
析
这是一道除法算式题
.
因
为盼盼盼盼盼盼盼盼盼是
“
□
”
的倍数，且又为
9
的倍数，
所以
“
□
”
可能为
3
或
9.
①
若
“
□
”=3
，则盼盼盼盼盼盼盼盼盼
÷
3
的商出
现循环，且周
期为
3
，这样就出现重复数字，因此
“
□
”
≠
3
。
②
若
“
□
”=9
因为
盼盼盼盼盼盼盼盼盼
÷
9
=
盼
×
（
111111111÷
9
）
=
盼
×
123
45679
若
“
< br>盼
”=1
，则
“
开放的中国盼奥运
”=12345679×1=12345679
，
“
盼
< br>”=6
，前后矛盾，所以
“
盼<
/p>
”
≠
1
。
若
“
盼
”=2
，则
“
开放的中国
盼奥运
”=12345679×2=24691358
，
“
盼
”=3
，矛盾，所以
“
盼
”
≠
2
。
若
“
盼
”=3
，则
“
开放的中国盼奥运
< br>”=12345679×3=37037037
，
“
盼
”=0
，矛盾
，所以
“
盼
”
≠
3
。
若<
/p>
“
盼
”=4
，则
“
开放的中国盼奥运
”=123456
79×4=49382716
，
“<
/p>
盼
”=7
，矛盾，所以
< br>“
盼
”
≠
4
。
若
“
盼
”=5
，则
“
开放的中国盼奥运
”=12345679×5=617283
95
，
“
盼
”
＝
3
，矛盾
，所以
“
盼
”
≠
5
。
若<
/p>
“
盼
”=6
，则
“
开放的中国盼奥运
”=123456
79×6=74074074
，
则<
/p>
“
盼
”
＝
0
，矛盾，所以
“
盼
”
≠
6
。
若
“
盼
”=7
，则
“
开放的中
国盼奥运
”=12345679×7=86419753
，
“
盼
”=7
，得到一个解：
777777777÷
9=
86419753
若
“
盼
”
＝
8
，则
“
开放的中国盼奥运
”=12345679×8
＝
98765432
，
“
盼
”=4
，矛盾，所以
“
盼
”
≠
8
。
< br>若
“
盼
”
＝
9
，则
“
开放的中国盼奥运
”
＝
12345679×
9=111111111
，<
/p>
“
盼
”=1
，矛
盾，所以
“
盼
”
≠
9
。
解
：
777
777777÷
9
＝
86419753
则
“
开放的中国盼奥运
”
＝
86419753
。
从以上几个题不难看出，逐渐缩小范围的思想和试验法在
数字谜的分析解答过程中起着重要的作用，良好的分析思
考习惯还需要同学们在今后的学习中进一步培养。
为
3×
4=12
，
8
×
4=32
，则
“
校
”=3
或
8
。
若
“
校
”
＝
3
，十
位上，因为
8×
4
＋
< br>1=33
，所以
“
学
”
＝
8.
百位上，
不
论
“
庚
”
为什么样的整数，
“
庚
”×4+3
和的个位都不可能为
8
，
所
以
“
校
”
≠
3
。
< br>
若
“
校
”=8
，十位上，不论
“
学
”
为什么样的整数，
“
学
”×4
＋
3
和的个位都不可能为
8
，所以
“
校
”
≠
8
。
因
此，
“
好
”
≠
4
。
④
若
“
好
”=7
，则被乘数的最高位数字<
/p>
“
赞
”
＝
1.
习题十
<
/p>
1.
下面竖式中不同的字母代表
0
～
9
中不同的数字，求出它们
使竖式成立的值。
2.<
/p>
将下面算式中的汉字换成适当的数字，（相同的汉字代表
相同的数字）使两个算式的运算结果相同。
< br>3.
下面竖式中的每个不同汉字代表
0
< br>～
9
中不同的数码，求出
它们使
得竖式成立的值。
4.
下列竖式中的
每个
“
奇
”
字
代表
1
、
3
、
5
、
7
、
9
中的一个，
每
个
“
偶
”
字代表
0
、
2
、
4
、
6
、
8
中的一个
.
为使算式成立，求
C
＝
7
，
D
＝
8
A<
/p>
＝
3
，
B=9
C
＝
8
，
D=6
E
=1
A
＝
3
，
B
＝
8
蜂
=1
，蜜
=2
，甜
=4
，其中蜂和甜的值可对
换
.
出
它们所代表的数值。
习题十解答
A
＝
8
，
B
=2
C
＝
1
，
N=4
E
＝
3
A=
2
，
B
＝
1<
/p>
第十一讲
巧填算符（一）
所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的
运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的
算式成为一个等式。
在填算符的问题
中，所填的算符包括
+
、
-
、
×
、
÷
、（）、
[]
、
｛｝。
解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推
法，有时两种方法并用。
凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，
然后，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而
使等式成立。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，
从而得到等式。
例
1
在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。
8 8 8 8 8 8 8 8=1000
分析
要在八个
8
之间只添加号，使和为
1000
，
可先考虑在
加数中凑出一个较接近
1
000
的数，它可以是
888
，而
888
＋
8
8=976
，此时，用去了五个
8
，剩下的三个
8
应凑
成
1000-976
补充说明：前面例
1
至例
3
中，它们的特点是等号左边
的数
比较多，而等号右边的数比较大，这种问题一般用凑数法
解决比较容易。
例
4
在下
面算式合适的地方添上
+
、
-
、
×
，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8=1
分析
这道题的特点是等号左边的数字比较多，而等号右边
的得数是最小的自然数
1
，可以考虑在等号左边
最后一个数
字
8
的前面添
“
-
”
< br>号。
这时，算式变为：
1 2
3 4 5 6 7-8
＝
1
只需让
1 2 3 4 5 6 7=9
就可以了，考虑在
7
的前面添
“
＋
”
号，
则算式变为
1 2 3 4 5 6
＋
7
＝
9
，只需
让
1 2 3 4 5 6=2
就可以
了
，同开始时的想法，在
6
的前面添
“
-
”
号，算式变为
1 23 4 5-6
＝
2
，这时只要
1 2 3 4 5
＝
8
即可
.
同样，在
5
前面添
“
＋
”
号，
则只需
1 2 3 4
＝
3
即可
.
观察发现，只要这
样添：
1
＋
2×
3-4
＝
3
就
得到本题的一个解为
1
＋
2×
3-4+5-6+
7-8=1
。
解
：本题的一个答案是：
1+2×
3-4+5-6+7-8=1
补充说明：一般逆推法常限于数字不太多（如果太多，推
的步骤也会太多），得数也比较小的题目，如例
4.
在解决这
类问题时，常把逆推法和凑数法结合起来使用，我们称之
＝
24
，这只要三者相加就行了。
解：本题的答案是
888+88+8+8+8=1000
例
2
在下列算式中合适的地方添上<
/p>
+
、
-
、
×
，使等式成立。
①
9 8
7 6 5 4 3 2 1=1993
②
1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993
分析
本题的特点是所给的数字比较多，而得数比较大，这
种题目一般用凑数法来做，在本题中应注意可使用的运算
符号只有
+
、
-
、
×<
/p>
。
①
中，
654×
3=1962
< br>，与结果
1993
比较接近，而
1993-1962=31
，
所
以，如果能用
9 8 7 2 1
凑出
31
即可，而最后两个数合在一
起
是
21
，那么只需用
9 8 7
凑出
10
，显然，
9+8-
7=10
，就有：
9
＋
8-7
＋
654×
3+21=1993
②
中，与
1
993
比较接近的是
345×
6=20
70.
它比
1993
大
77
，现
在，剩下的数是
1 2 7 8 9
，如果把
7
、
8
写在一起，成为
78
，
则无论怎样，前面的
1
、
2
和最后的
9
都不能凑成
1.
注意到
8
×
< br>9=72
，而
7+8×
9=79
，
1×
2=2
，
79-2=77.
所以这个问题可以
如下解决：
1×
2+345×
6-7-8×
9=1993
< br>
。
解：本题的答案是：
①
9
＋
8-7
＋
654
×
3+21=1993
；
②
1×
2<
/p>
＋
345×
6-7-8×
9=1993
。
例
3
在下
面算式合适的地方添上
+
、
-
、
×
号，使等式成立。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1992
分析
本题等号左边数字比较多，右边得数比较大，仍考虑
凑数法，由于数字比较多，在凑数时，应多用去一些数，
注意到
333×
3=999
，所以
333×
3+333×
3=1998
，它比
1992
大
6
，
所以只要用剩下的八个
3
凑出
6
就可以了，事实了，
3+3+
3-3+3-3+3-3=6
，由于要减去
6
< br>，则可以这样添：
333×
3
＋
333×
3-3-3
＋
3-3
＋
3-3
＋
3-3=1992
。
解：本题的一个答案是：
333×<
/p>
3
＋
333×
3
-3-3
＋
3-3+3-3
＋
3-3=1992
。
为综合法
.
所以，在解决这类问题时，把逆推法和凑数法综
合考虑更有助于问题的解决。
例
5
在下面算式中合适的地方，只添两个加号和两个减号
使等式成立。
1 2 3 4 5
6 7 8 9
＝
100
分析
在本题条件中，不仅限制了所使用运算符号的种类，
而且还限制了每种运算符号的个数。
由于题目中，一共可以添四个运算符号，所以，应把
1 23
4
5 6 7 8 9
分为五个数，又考虑最后的结果是
100
，所以应在
这五个数中凑出一个较接近
100
的，这个数可以是
123
或
89
。
如果有一个数是
123
，就要使剩下的后六个数凑出
23
，且把
< br>
它们分为四个数，应该是两个两位数，两个一位数
.<
/p>
观察发
现，
4
5
与
67
相差
22
，
8
与
9
相差
1
，加起来正巧是
23
，所以本
题的一个答案是：
123
＋
45-67
＋
8-9<
/p>
＝
100
如果这个数是
89
，则它的前面一定是加号，等式变为
1 2 3
4
5 6 7
＋
89=100
，为满足要求，
1 2 3 4 5 6
7=11
，在中间要添
一个加号和两个减号，且把它变成四个数，观察发现，无
论怎样都不能满足要求。
解：本题的一个答案是：
123
＋
45-67
＋
8
-9=100
补充说明：一般在解题时，如果没有特别说明，只要得到
一个正确的解答就可以了。
在例
5
这类限制比较多的题目的解决过程中，要时时注意按
照题目的要求去做，由于题目的要求比较高，所以解决的
方法比较少。
例
6
在下列算式中合适的地方，添上
（）
[]
，使等式成立。
①
1
＋
2×
3
＋
4×
5
＋
6×
7
＋
8×
9=303
②
1
＋
2×
3
＋
4×
5
＋<
/p>
6×
7
＋
8×<
/p>
9=1395
③
1+2×
3
＋
4×
5+6×
7
＋
8×
9
＝
4455
分析
本题要求在算式中添括号，注意到括号的作用是改变
运算的顺序，使括号中的部分先做，而在四则运算中规定
“
先乘除，后加减
”
，要改变这一顺序，往往把括号加在有加、
减运算的部分。
题目中三道小题的等号左边完全相同，而右边的得数一个
第十二讲
巧填算符（二）
比一个大
.
要想使得数增大，可以让加数增大或因数增大，
例
1
在
+<
/p>
、
-
、
×
、
÷
、（）中，挑出合适的符号，填入下面<
/p>
这是考虑本题的基本思想。
①
题中，由凑数的思想，通过加（
），应凑出较接近
303
的数，注意到
1+2×
3+4×
5+6=33
，而
33×
7=
231.
较接近
303
，
而
231+8×
9=303
，就可得到一个解为：
<
/p>
（
1+2×
3+4×
5+6
）
×
7+8×
9=303
②
题中，得数比
①
题大得多，要使得数增大，只要把乘法
< br>中的因数增大
.
如果考虑把括号加在
7+8
上，则有
6×
（
7+8
）
×
9=810
，此时，前面
1+2×
3
＋
4×
< br>5
无论怎样加括号也得不到
1
395-810=585.
所以这样
加括号还不够大，可以考虑把所有
的
数都乘以
9
，即（
1
< br>＋
2×
3+4×
5+6×
7+8
）
×
9=693
，仍比得
的
数字之间，使算式成立。
①
9 8 7 6 5 4 3 2
1=1
②
9 8 7 6 5 4
3 2 1
＝
1000
分析
这两道题等号左边的数字各不相同，且从大到小排
列，题目要求在每个数字之间都要填上运算符号，这是解
题中要注意到的。
①
中，等号右边的得数是最小的自然数
1
，而等号左边共
有
九个数字。
先考虑用逆推法：由于
等号左边最后一个数字恰好是
1
，与
数
小，还要增大，考虑将括号内的数再增大，即把括号添
在（
1
＋
2
）或（
3
＋
4
）或（
5
＋
6
）或（
7+8
）上，试验一下
< br>
知道，可以有如下的添加法：
[
（
1+2
）
×
（
3+4
）
×
5+6×
7+8]×
9=1395
③
题的得数比
②
题又要大得多，可以考虑把（
7
＋
8
）作为
一
个因数，而
1+2×
3+4×
5+6×
（
7+8
）
×
9=83
7
，还远小于
4455
，
为增大得数，试着把括号加在（
1
＋
2×
3
＋
< br>4×
5
＋
6
）上，作
为一个因数，结果得
3
3
，而
33×
（
7
＋
8
）
×
9=4455.
这样，得
到本题的答案是：
（
1
＋
2×
3+4×
5+6
）
×
（
7+8
）
×
9=4455
解：本题的答案是：
①
（
1
＋
2×
3
＋
4×
5
< br>＋
6
）
×
7
＋
8×
9=303
②
[
（
1+2
）
×
（
3
＋
4
）
×
5+6×
7
＋
8]×
9=1395
③
（
1
＋
2×
3
＋
4×
5
＋
6
）
×
（
7+8
）
×
9=4455
等
号右边相同，所以，可以考虑在
1
的前面添
“+”
号，这样
如果前面
8
个数字的运算结果是
0
就可以了，观察注意到，
前
面<
/p>
8
个数字每一个数都比它前面一个数小
1
，这样，只要
把
它们分成
4
组，每两数相减都得
1
，在两组的前面添
“+”
号，
两
组的前面添
“
-
”
号，即得到：
（
9-8
）＋（
7-6
）
-
（
5-4
）
-
（
3-2
）
=0
或（
9-8
）
-
（
7-6
）
+
（
5-4
）
-
（
3-2
）
=0
于是得到答案：
9-8
＋
7-6-
（
5-4
）
-
（
3-2
）
+1=1
或
9-
8-
（
7-6
）
+5-4-
（
3-2
）＋
1=1
再考虑用凑数法：注意到等号左边每一个数都比前一个数
小
1
，所以，只要在最前面凑出一个
1
，其余的凑出
0
即
可，
事实上，恰有
9-8+7-6-
（
5-4
）
+
（
3-2
）
-
1=1
凑数法的解答还有很多，请同学们试一试其他的凑法。
如果前面
8
个数字的运算结果是
0
就可以了，观察注意到，
前
面
8
个数字每一个数都比它前面一个数小
1
，这样，只要
把
它们分成
4
组，每两数相减都得
1
，在两组的前面添<
/p>
“+”
号，
两
组的前面添
“
-
”
号，即得到：
（
9-8
）＋（
7-6
）
-
（
5-4
）
-
（
3-2
）
=0
或（
9-8
）
-
（
7-6
）
+
（
5-4
）
-
（
3-2
）
=0
于是得到答案：
9-8
＋
7-6-
（
5-4
）
-
（
3-2
）
+1=1
或
9-8-
（
7-6
< br>）
+5-4-
（
3-2
）＋
1=1
再考虑用凑数法：注意到等号左边每一个数都比前一个数
小
1
，所以，只要在最前面凑出一个
1
，其余的凑出
0
即
可，
事实上，恰有
9-8+7-6-
（
5-4
）
+
（
3-2
）
-
1=1
凑数法的解答还有很多，请同学们试一试其他的凑法。
习题十一
1.
在下列算式的
□
中，添入加号和减
号，使等式成立。
①
1
□
23
□
4
□
5
□
6
□
78
□
9=100
②
12
□
3
□
4
□
5
□
< br>6
□
7
□
89
＝
100
由于等
号右边
是
1000
，
所以，
怎样添算符，都不能得到所要的答案。
运算结
如果这个偶数是
6
，由于
1000÷
6
不是整
数，所以，不能得到
果应由
个位是<
/p>
所要的结果。
5
或
0
如
果
这个偶数是
4
，那么在
4
的两边都应该添
“×”
号，即有：
< br>的
9
8 7 6
5×
4×
3 2 1=1000.
在<
/p>
4
的右边只有添为
4×
< br>（
3-2
）
×
< br>1
才有
可
能使左边的算式得
1000
，这时，必须有
9 8 7 6
5
＝
250
，
数与一
个偶数
经
过试验知，无论怎样添算符，都不能使上面的算式成立
.<
/p>
的乘积
所以，这个偶数不能是
4
。
得到。
如果这个偶数是
2
，那么，在
2
的两边都应
该添
“×”
号，即有
9
8 7 6 5 4 3×
2×<
/p>
1=1000.
只要添适当的算符，使
9
8 7 6 5 4 3
如果这
个偶数
是
8
，
则在
8
的左、
右两边
都应该
添
“×”
号，而
9×
8=72
，
而
1000÷
72
不是整
数
.
所
以，无
论在
7
65 4 3 2 1