传热学第二章答案
《三体》-
第二章
思考题
1
试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。
t
q
＝－
gradt
< br>
n
x
，其中：
gradt
为空间某点的温
答：
傅立叶定律的一般形式为：<
/p>
q
n
度梯度；
是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向
；
为该处的热流
密度矢量。
2
已知导热物体中某点在
x,y,z
三个方向上的热流密度分别为
热密度矢量？
q
x
,
q
y
及
q
z<
/p>
，如何获得该点的
< br>
q
q
i
q
j
q
k
x
y
z
答：
，其中
i
,
j
,
k
分别为三个方向的单位矢量量。
3
试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。
答：
导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。
4
试分别用数学语言将传热学术语说明导
热问题三种类型的边界条件。
答：
①
第一
类边界条件：
0
< br>时，
t
w
f
1
(
)
②
第二
类边界条件：
0
< br>时
(
(
t
)
w
f
2
(
)
x
③
第三类边界条件：
5
试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。
答：
在一个串联的热量传递过程中，
如果通过每个环
节的热流量都相同，
则各串联环节的总
热阻等于各串联环节热阻
的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。
7
.
通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导
热
量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？
答：
因为
通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，
而通过球壳的导热热
阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。
6
发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按
一维问题来处理？
答：
当采用圆柱坐
标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。
8
扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，
只要扩展表面细
长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？
< br>
答：
只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。
不同意，因为当扩展表面的截面不均
时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问
题。
9
肋片高度增加引起两种效果
：
肋效率下降及散热表面积增加。
因而有人认为，
随着肋片高
度的增加会出现一个临界高度，
超过这个
高度后，
肋片导热热数流量反而会下降。
试分析这
一观点的正确性。
答：
错
误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。
通过肋片的热流
已达到最大值，不会因为高度的增加而发生变化。
10
在式（
2-57
）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。
答：
由于式（
2-57
）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿
x
方向和
y
方向的数值
相等并为常数。
11
有人对二维矩形物体中的稳态无内热源
常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个
边绝热，
其余三
个边均与温度为
f
的流体发生对流换热。
你能预测他所得的温度场的解吗？
答：
能，
因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，
矩形物体
内部的温度分布应为关于绝
热边的中心线对称分布。
习题
<
/p>
t
)
w
h
(
t
w
t
f
)
x
t
平板
2-1
用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为
111
℃，热流密度为
42400
W
/
m
。使用一
段时间后，锅底结了一层平均厚度为
3mm
的水垢。
假设此时与水相接触的水垢的表面温度
及热流密度分别等于原来的值，
< br>试计算水垢与金属锅底接触面的温度。
水垢的导热系数取为
1W/(m.K)
。
解：
由题意得
2
q
＝
所以
t=
238.2
℃
2-2
一
冷
藏
室
< br>的
墙
由
钢
皮
矿
渣
棉
及
石
棉
板
三
层
叠
合
构
成
，
各
层
的
厚
度
依
< br>次
为
0.794mm.,152mm
及
9.5mm
，
导热系数分别为<
/p>
45
W
/(
m<
/p>
.
K
)
,0.
07
W
/(
m
.
K
)
及
0.
1
W
/(
m
.
K
)
。
冷藏室
的有效换热面积为
37.2
m
，室内外
气温分别为
-2
℃及
30
℃，室内外壁面的表面传热
2
2
W
/(
m
.
K
)
W
/(
m
.
K
)
计算
。为维持冷藏室温度恒定，试确定冷藏
系数可分别按
1.5
及
2.5
t
w
111
424
00
0
.
003
1
w/m
2
2
室内的冷却排管每小时需带走的热量。
解：
由题意得
A
＝
357.14W
357.14
×
3600
＝
1285.6KJ
3
0
(
2<
/p>
)
37
.
2
1
1
1
2
3
1
1
0
< br>.
000794
0
.
152
0
.
0095
h
1
h
2
< br>
1
2
3
＝
1
.
5
2
.
5
45
0
.
07
0
.
1
t
1
t
2
2-3
有一厚为
20mm
的平板墙，
导热系数为
1.3
W
/(
m
.
K
)
。为使每平方米墙的热损失不超过
1500W,
在外表面上覆盖了一层导热系数为
0
.12
W
/(
m
.
K
)
的保温材料。
已知复合壁两侧的温
度分别为
750
< br>℃及
55
℃，试确定此时保温层的厚度。
解：
依据题意，有
q
1
2
1
2
t
1
t
2
750
55
1500
0
.
020
2
1
.
3
0
.
12
，解得：
2
0
.
05375
m
2-4
一
烘
箱
的
< br>炉
门
由
两
种
保
温
材
料
A
及
B
组
成
，
且
A
2
B
(
见
附
< br>图
)
。
已
知
A
0
.
1
W
/(<
/p>
m
.
K
)
,
B
0
.
06
W
/(
m
.
K
)
,
烘箱内空气温度
t
f
1
400
℃，内壁面的总表面传
热系数
h
1
50
W
/(
m
.
K
< br>)
。为安全起见，希望烘箱炉门的
外表面温度不得高于
50
℃。设可
把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度
总传热系数
h
2
9
.
5
W
/(
m
.
K
)
< br>。
2
t
f
2
25
℃，外表面
q
解：
< br>热损失为
又
t
f
1
t
fw
< br>
A
B
A
B
A
B
h
1
t
f
1
t
h
< br>2
t
t
f
2
t
fw
50
℃；
联立得
A
0
.
078
m
;
B
0
.
039
m
2-5
对于无限大平板内的一维导热问
题，
试说明在三类边界条件中，
两侧边界条件的哪些组
合可以使平板中的温度场获得确定的解？
解：
两侧面的第一类边界条件；
一侧面的第一类边界条件和第二类边
界条件；
一侧面的第一
类边界条件和另一侧面的第三类边界条件
；
一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边
界条件。
平壁导热
2-
6
一火箭发动机燃烧室是直径为
130mm
的圆筒体，
厚
2.1mm
，
导热系数为
23.2W/(m
·
K)
。
圆筒壁外用液体冷却，外壁温度为
240
℃。测得圆筒体的热流密度为
4.8
×
10
6
W/
㎡，其材料
的最高允许温度为
700
℃。试判断该燃烧室壁面是否工作于安全温度范围内？
解：
2-7
如附图所示的不锈钢平底锅置于电器灶具上被加热，
灶具的功率为
1000W
，
其中
85
％用
于加热平底锅。
锅底厚δ
=3
㎜，
平底部分直径
d=200<
/p>
㎜，
不锈刚的导热系数λ
=18W/
（
m
·
K
）
，
锅内汤料与锅底的对流传热表面传热系数为
2500W/
（㎡·
K
）
，流体平均温度
t
f
=95
℃。
试列
出锅
底导热的数学描写，并计算锅底两表面的温度。
解：
2-8
一种用比较法测定导热系数装置的原理示于附图中。将导热系数已知的标准材料与被测
材
料做成相同直径的圆柱，
且标准材料的两段圆柱分别压紧置于被测材料的两端。
在三段试
样上分别布置三对测定相等间距两点间温差的热电偶。
试样的四周绝热良好
（图中未示出）
。
已知试样两端的温度分别为
t
h
=400
℃、
t
c
=300
℃、Δ
t
r
=2.49
℃，Δ
t
t,1
=3.56
℃、Δ
t
t,2
=3.60
℃，
试确定被测材料的导热系数，并讨论哪些因素会影响Δ
t
t,1
与Δ
t
t,2
不相等？
解：
2-9
双层玻璃窗系由两层厚为
6m
m
的玻璃及其间的空气隙所组成，空气隙厚度为
8mm
。假
设面向室内的玻璃表面温度与室外的玻璃表面温度各为
20
℃及
-20
℃，试确定
该双层玻璃窗
的热损失。
如果采用单层玻璃窗，
其他条件不变，
其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的
尺寸为
60
cm
< br>60
cm
。不考虑空气间隙中的自然对流。玻璃的导热系
数为
0.78
W
/(
< br>m
.
K
)
。
q
1
解：
1
<
/p>
2
3
1
2
3
＝
116.53W/
m
2
t
1
t
2
q
2
t
1
t
2
< br>
1
1
5200
w
/
m
Q
Aq
41
.
95
W
q
2
5200
44
.
62
q
116
.
53
所以
1
2-10
某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户，如附图所示。已知玻璃厚δ
g
=3
㎜，空气夹层宽δ
。玻璃面向室内的表面温度
t
i
=15
℃，面向室外
air
=6
㎜，玻璃的导热系数λ
g
=0.8W/
（
m
·
K
）
的表
面温度
t
o
=-10
< br>℃，试计算通过三层玻璃窗导热的热流密度。
解：
2-11
提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。
为了是发动机的叶片能承受更高
的温度而不至于损坏，
叶片均用耐高温的合金制成，
同时还提出了在叶片与高温燃气接触的
表面上涂以陶瓷材料薄层的方法，<
/p>
如附图所示，
叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷
却。陶瓷层的导热系数为
1.3W/
（
m
·
K
）
，耐高温合金能承受的最高温度为
1250K
，其导
热
系数为
25W/(m
·
K)
。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻为<
/p>
10
-4
㎡·
K
/W
。如果燃气的平均温度为
1700K
，与陶瓷层的表面传热系数为
1000W/(
㎡·
K)
，
冷却空气的平均温度为
400K
，与内壁间的表面传热系数为
500W/(
㎡·
K)
，试分析此时耐高
< br>温合金是否可以安全地工作？
解：
2-12
在某一产品的制造过程中，厚为
1.0mm
的基板上紧贴了
一层透明的薄膜，其厚度为
0.2mm
。薄膜表面上有一股冷却
气流流过，其温度为
20
℃，对流换热表面传热系数为
2
W
/(
m
.
K
)
。同时，有一股辐
射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。
40
基板的另一面维持在温度
t
1
30
℃。
生成工艺要求薄膜与基板结合面的温
度
t
0
60
℃，
试
确定辐射热流密度
q
应为多大？薄膜的导热系数
f
0
.
02
W
/(
m
.
K
)
,
基板
的导热系数
s
0
.
06
W
/(
m
.
K
)
。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对
6
0
℃的热
辐射是不透明的。
解：
根据公式
q
K
t
得
2-13
在附图所示的平板导热系数测定装
置中，试件厚度
远小于直径
d
。由于安装制造不
好，试件与冷热表面之间平均存在着一层厚为
0
.
1
mm
的空气隙。设热表面温度
< br>60
30
< br>60
30
< br>1800
W
/
m
2
0
.
001
0
.
06
< br>1
q
60
20
1142
.
8
W
/
m
2
3
1<
/p>
0
.
2
10
40
0
.
02
2
q
Z
q
q
< br>2942
.
8
W
/
m
q
t
1
180
℃，冷表面温度
t
2
30
℃，空气隙的导热系数可分别按
t
1
,
t
2
查取。试计算空气隙
的存在给导热系数测定带来的误
差。通过空气隙的辐射换热可以略而不计。
解：
查附表
8
得
t
1
180
℃，
1
3
.
72
10
W
/(
m
.
< br>K
);
2
t
2
30
℃，
2
2
.
67
10
W
/(
m
.
K
);
2
无空气时
t
1
t
2
f
180
30
d
< br>2
A
4
f
有空气隙时
0
.
0
29315
f
34
.
32
f
1
<
/p>
2
1
2
f
t
1
t
2
A
43
.
98
得
f
<
/p>
f
f
28
.
1
%
f
所以相对误差为
圆筒体
3
kg
/
m<
/p>
2-14
外径为
100mm
的蒸气管道，覆盖密度为
20
的超细玻璃棉毡保温
。已知蒸气管
道外壁温度为
400
℃，
希望保温层外表面温度不超过
50
℃。且每米长管道上散热量小
于
163W
，试确定所需的保温层厚度。
解：
保温材料的平均温度为
400
50
<
/p>
225
2
t=
℃
由附录
7
查
得导热系数为
0
< br>.
033
0
< br>.
0023
t
0
.
08475
W
/(
m
.
K
)
ln
d
1
2
< br>
t
1
t
2
d
2
l
代入数据得到
d
2
＝
0.314mm
所以
<
/p>
d
2
d
1
107
mm
2
2-15
外径为
50mm
的蒸气管道外，
包覆有厚为
40mm
平均导热系数为
0.11
W
/(
m
.
K
)
的煤灰
泡沫砖。绝热层外表面温度为
50
℃，试检
查矿棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过
允许值？又。
增
加煤灰泡沫砖的厚度对热损失及交界面处的温度有什么影响？蒸气管道的表
面温度取为<
/p>
400
℃。
解：
由题意多层蒸气管总热流量
Z
2
l
t
1
t
2
< br>
ln
d
1
d
2
/
1
ln
d
3
d
2
/
2
代入数据得到
Z
168
.
25
W<
/p>
由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为
300
℃
由此设在
300
℃时
2
l
t
1
t
2
1
72
.
3
3
W
ln
d
1
d
2
/
1
2
l
t
1
t
2
< br>
2
358
.
29
W
ln
d
3
d
2
/
2
z
1
2
因为
所以不会超过允许温度。
当增加煤灰
泡沫砖的厚度会使热损失增加，
从而边界面处温度下降。
3
2-16
一根直径为
3mm
的铜导线，每米长的电阻为
2.22
10
。导线外包有厚为
1mm
导
热系数为
0.15
W
/(
m
.
K
)
的绝缘层。限定绝缘层的最高温度为
65
℃，最低温度
为
0
℃。试确
定在这种条件下导线中允
许通过的最大电流。
Q
2
l
q
解：根据题意有：
2
2
l
(
t
1
t
2
)
2
1
0
.
15
65
0
119
.
8
W
ln(
r
2
/
r
1<
/p>
)
ln
2
.
5
/
1
.
5
119
.
8
6
I
R
<
/p>
解得：
I
23
2
.
36
A
2-17
一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发
受热面管壁受到温度为
1000
℃的烟气加热，管内沸水温度为
200
℃，烟气与受热面管子外壁间的复合换热表面传热系数为
100
W
/(
m
.
K
)
，沸
水与内壁
间的表面传热系数为
5000
W
/(
m
.
K
)
，
管壁厚
6
mm
，
管壁
42
W
/(
m
.
K
)
，<
/p>
外径为
52mm
。
试计算下列三种情况下受热面单位长度上的热负荷：
（
1
）
换热表面是干净的；
（
2
）
外表面结了一层厚为
1mm
的烟灰，其
0.08
W<
/p>
/(
m
.
K
)
；
（
3
）
内表面上有一层厚为
2mm
的水垢，其
1
W
/(
m
.
K
)
。
解：
⑴
2<
/p>
2
2
l
(
t
1
t
2
)
2
1
1000
< br>200
< br>12532
.
98
W
ln(
r
2
/
r
1
)
1
ln
52
/
40
1
1
< br>1
42
0
.
026
100
r
1
h
1
1
h
2
r
2<
/p>
5000
0
.
02
<
/p>
⑵
⑶
2
1
1000<
/p>
200
<
/p>
5852
.
94
W
1
ln
5
4
/
52
l
n
52
/
4
0
1
<
/p>
0
.
02
5000
0
.<
/p>
08
42
0
.<
/p>
027
100
2
l
(
t
1
t
2
)
ln(
r
0
/
r
2
)
ln(
r
2
/
r
1
)
< br>1
1
h
1
r
0
0
1
h
2
r
2
2
l
(
t
1
< br>
t
2
)
ln(
r
0
/
r
2
)
ln(
r
2
/
r
1
)
ln
r<
/p>
1
/
r
i
1
1
h
1
r
0
0
1
i
h
2
r
i<
/p>
2-18
在一根外径为
100mm
的热力管道外拟包覆两层绝热材料，一种材料的导热系数为
2
1
1000
200
5207
.<
/p>
06
W
1
ln<
/p>
54
/
52<
/p>
ln
52<
/p>
/
40
ln<
/p>
40
/
36<
/p>
1
5000
0
.
018
0
.
08
42
1
100
0
.
027
0.06
W
/(
m
.
K
)
，另一种为
0.12
W
/(
m
.
< br>K
)
，两种材料的厚度都取为
7
5mm
，试比较把导热系
数小的材料紧贴管壁，
及把导热系数大的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响，
这种
影响影响对于平壁的情形是否存在？假设在两种做法中，绝热层内外表面的总温差保持不< p>
变。
解：
将导热系数小的材料紧贴壁管
<
/p>
将导热系数大的材料紧贴壁管则
t
1
t
2
2
l
t
1
< br>
t
2
19
.
19
50
75
50
75
75
ln
ln
50
50
<
/p>
75
2
l
1
2
2
l
2
l
t
1
t
2
2
l
t
1
<
/p>
t
2
ln
2
.
5
ln
1
.
6
15
.
47
故导热系数大的材料紧贴管壁其保温效果好。
2
1
q
若为平壁，则平壁
1
2
1
2
< br>
t
1
t
2
由于
1
<
/p>
2
所以不存在此问题。
2-19
一直径为
30mm
，
壁温为
100
℃的管
子向温度为
20
℃的环境放热，
热损失
率为
100W/m
。
为
把
热
损
失
减
少
到
50W/m
，
有
两
种
材
料
可
以
同
时
被
应
用<
/p>
。
材
料
A
的
导
热
系
数
为
3
3
0.5
W
/(
m
.
K
)
< br>，可利用度为
3.14
10<
/p>
m
/
m
；材料<
/p>
B
的导热系数为
0.1
< br>W
/(
m
.
K
)
，可利
用度为
4.0
10
m
/
m
。试分析如何敷设这两种材料才能达到上述要求
。假设敷设这两种
材料后，外表面与环境间的表面传热系数与原来一样。
解：根据题意有：
3
3
2
rlh
(
t
1
t
2
)
0
.
03
1
h
(
100
20
)
100
< br>，解得
h
＝
13.2696
按题意有：将导热系数大的放在内侧，
(
r
1
2
0
.
015
2
)
3
.
14
10
3
解方程组得：
r
1
0
.
035
m
，
(
r
2
r<
/p>
1
)
4
10
3
r
2
0
.
049
m
2
2
②
2
100
20
76
.
1
ln
0
.
035
/
0
.
015
ln
0
.
049
/
0
.
035
1
0
.
5
0
.
1
13
.
26
0
< br>.
049
2
< br>
l
t
1
t
2
ln
r
1<
/p>
/
r
0
ln
r
2
/
r
1
1
< br>1
2
hr
2
(
r
1
2
0
.<
/p>
015
2
)
<
/p>
4
10
3
r
2
0
.
049
r
1
0
< br>.
03871
m
，
(
r
2
< br>
r
1
)
3
.
14
10
3
2
2
2
100
20<
/p>
43
.
72
ln
0
.
03871
/
0
.
015
l
n
0
.
04
9
/
0
.
03
871
1
0
.
1
0<
/p>
.
5
13
.
26
0
.
049
2-20
一直径为
d
长为
l
的圆杆，两端分别与温度为
t
1
及
t
2
的表面接触，杆的导热系数
为
常数。试对下
列两种情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求解之：
杆的侧面是绝热的；
杆的侧面与四周
流体间有稳定的对流换热，
平均表面传热系数为
h
，
流体温度
2
l
t
1
t
2
ln
r
1
/
r
0
l
n
r
2
/<
/p>
r
1
1
1
2
hr
2
t
f
小于
t
1
及
t
2
。
t
d
2
1<
/p>
2
x
4
解：①
，
2
t
0
2
方程为：
x
< br>，边界条件为：
x
0
,
t
t
1
(
t
< br>
t
dx
)
2
d
x
x
4<
/p>
，在侧面绝热时，有
1
2
得微分
x
l
,
t
t
2
t
2
t
1
x
t
1
l
解微分方程得：
3
ddxh
(
t
<
/p>
t
f
)
t
②
，根据条件有
：
1
<
/p>
2
3
x
l
,
t
t
2
2
t
4
h
(
t
t
f<
/p>
)
0
2
d
得微分方程为：
x
，边界条件为：
x
0
,
t
t
1
f
解微分方程得：
代入边界条件得：
t
t
C
1
e
(
2
h
)
x
d
<
/p>
C
2
e
(
2
h
)
x
d
2
h
l
d
t
t
f
(
t<
/p>
2
t
f
)
(
t
1
t
f
)
e
e
h
2
l
d
2
h
l
<
/p>
d
2-21
一直径为
20mm,
长
300mm
的钢柱体，
两端分别与温度为
250
℃及
60
℃的两个热源相接。
柱体表面向温度为
30
℃的环境散热，表面传热系数为
10
W
/(
m
.
K
)
。试计
算该钢柱体在单
位时间内从两个热源所获得的热量。钢柱体的
40
W
/(
m
.
K
)
。
解：根据上题结果得：
2
e
h
2
l
d
e
h
2
x
d
e
(<
/p>
t
1
t
f
)
(
t
2
t
f
)
h
2
l
d
e
e
h
2<
/p>
l
d
e
2
h
x
d
t
2
－
t
f
(
t
1
t
f
)<
/p>
e
ml
mx<
/p>
e
ml
t
1
t
f
t
2
t
f
< br>
mx
t
m
[
e
e
]
ml
ml
ml
ml
e
e<
/p>
e
e
x
h
10
m
2
2
7
.
07
d
40
0
.
02
其中：
＝
ml
2
.
12
m
t
(
60
30
)
(
250
30
)
e
< br>
2
.
12
e
2
.
12
(
250
30
)
(
60
30
)
|
x
0
7<
/p>
.
07
[
2
.
12
2
.
12
x
e
e
e
2
.
< br>12
e
2
.
12
＝－
1549.1
=-162.89
t
d
2
d
2
Q
0
40
(
1549
.
1
)
< br>19
.
46
W
< br>dx
4
4
ml
ml
t
2
－
t
f
(
t<
/p>
1
t
f
)
e
ml
e
t
1
t
f
< br>
t
2
t
f
m
l
t
|
x<
/p>
l
m
[
e
e
]
x
e
ml
e
< br>ml
e
ml
< br>e
ml
2
.
12
2
.
12
t
(
60
3
0
)
(
25
0
30
)
e
e
(
250
30
)
<
/p>
(
60
30<
/p>
)
2
.
12
2
.
12
|
x
l
7
.
07
[
e
－
< br>e
2
.
12
2
.
12
2
.
12
2
.
12
x
e
e
e
e
Q
x
l
40
(
－
162
.
89
)
d
2
< br>4
2
.
05
W
球壳
2-22
一个储液氨的容器近似的看成为内径为
300mm
的圆球。
球外包有厚为
30mm
的多层结
4
1
.
8
10
W
/(
m
.
K
)
，
球内液氨的温
构的隔热材
料。
隔热材料沿半径方向的当量导热系数为
度为
-195.6
℃，室温为
25
℃，液氨的相变热为
199.6kJ/kg
。试估算在上述条件
下液氨每天的
蒸发量。
〔
25
(
195
.
6
)
〕
1
< br>.
8
10
4
4
0
.<
/p>
822
W
1
1<
/p>
－
0
.
15
0
.
165
解：<
/p>
0
.
822<
/p>
24
360
0
m
0<
/p>
.
3562
Kg
199
.
6
1000
2-23
有一批置于室外
的液化石油气储罐，直径为
2m
，通过使制冷剂流经罐外厚为<
/p>
1cm
的
夹层来维持罐内的温度为
-40
℃。夹层外厚为
30cm
的保温层，保温材料的导热系数为
0.1
W
/(
m
.
K
)
。在夏天的恶劣条件下，
环境温度为
40
℃，
保温层外表面与环境间的复合换热表<
/p>
2
W
/(
m
.
K
)
。试确定为
维持液化气
-40
℃的温度，对
10<
/p>
个球罐所必须配
面传热系数可达
30
备的制冷设备的容量。罐及夹层钢板的壁厚可略略而不计。
解：一个球罐热流量为
< br>
t
1
t
2
R
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
< br>0
.
1785
2
4
r
1
< br>r
2
4
0
.
1
1
.
01
1
.<
/p>
3
30
4
h
4
r
2
40
(
40
)
448
.
168
W
0
.
1785<
/p>
R
(
1
所以
10
个球罐热
流量为
10
4481
.
68
W
2-24
颗粒状散料的表面导热系数常用圆球导热仪来测定。
如附图所示内球内安置有一电加
热器，
被测材料安装在内外球壳
间的夹套中，
外球外有一水夹层，
其中通以进口温度恒定的
冷却水。用热电偶测定内球外壁及外球内壁的平均温度。在一次实
验中测得以下数据：
d
i
0
.
15
m
;
d
0
< br>0
.
25
m
,
t
t
200
℃，
t
0
40
℃，电加热功率
P=56.5
W
。试确定此颗粒材
料的表观导热系数。
如果由于偶然的事故，
测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏
，
但又急于要获得该颗粒表观导
热系数的近似值，
试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。
球壳内用
铝制成，其厚度约为
3
～
< br>4mm
。
〔
< br>200
40
〕
4
56
.
5
W
1
1
－
0
.
15
0
.<
/p>
25
解：根据题意：
< br>解得：
＝
0
< br>.
07
W
/(
< br>m
.
K
)
如果电偶损坏，可近似测量水的出入口温度，取其平均值代替球外壳温度计算。
2-25
内外径各为
0.5m
及
0.6m
的球罐，其中装
满了具有一定放射性的化学废料，其容积发
2
5
3
W
/(
m
< br>.
K
)
,
流体温
10
W
/
m
热率为
。该罐被置于水流中冷却，表面传热系数
h=1000
t<
/p>
f
25
度
℃。试：
（
1
）确
定球罐的外表面温度；
（
2
）确定球罐
的内表面温度。球罐用铬镍
钢钢板制成。
4
4
V
r
3
<
/p>
3
.
14
0
.
25
3
0
.
065416
3
3
解：球罐的体积为：
5
总发热热流为：
0
.
06541
6
10
6
541
.
67
W
2
4
r
h
(
t
25
)
6541
.
67<
/p>
球的外表温度：
解得：
t
＝
30.78
℃
〔
t
30
.
78
〕
15
.
< br>2
4
6541
.
67
W
1
1
－
0
.
2
5
0
.
3
解得
t
＝
53
.<
/p>
62
℃
2-26
附图所示储罐用厚为
20m
m
的塑料制成，其导热系数
1.5
W
/(
m
.
K
)
，储罐内装
满工业用油，油中安置了一电热器，使罐的内表面温度维持在
4
00K
。该储罐置于
25
℃的空
2
W
/(
m
.
K
)
。
r
0
0
< br>.
5
m
,
l
2
.
0
m
。试确定所需的电加热功率。
气中，表面传热系数为
10
2-27
人的眼睛在完成生物功能过程中生成的热量要
通过角膜散到周围环境中，
其散热条件
与是否带有隐性
眼镜片有关，
如附图所示，
设角膜及隐性镜片均呈球状，
且两者间接触良好，
无接触热阻。
角膜及镜片
所张的中心角占了三分之一的球体。
试确定在下列条件下不戴镜片
及戴镜片时通过角膜的散热量：
r
1
=10mm
，
r
2
=12.5mm
，
3
=16.3m
m
，
fi
＝
3
7
℃
r
t
t<
/p>
f
0
20
℃，
h
i
＝
12W/(m2.K)
，
< br>h
0
＝
6W/(m2.K)
，
1
＝
0.35 W/(m.K)
，
2
＝
0.8
W/(m.K)
。
R
解：不戴镜片
1
1
1
1
1
< br>
h
i
A
i
h
o
A
o
4
<
/p>
1
r
1
r
2
t
0
.
109
W
R
所以
1
< br>
o
0
.
0363
W
3
有效热量
< br>
o
R
戴镜片时
所以
1
< br>1
1
1
1
1
h
i
A
i
h
o
A
o
4
1
r
1
r
2
4
2
1
1
r
r
3
2
o
< br>
t
0
.
108
W
R
1
o
0
.
036
W
3
即散热
量为
2-28
一储存液态气体的球
形罐由薄金属板制成，直径为
1.22m
，其外包覆有厚为
0.45m
，导
热系数为
< br>0.043
W
/(
m
.
K
)
的软木保温层。液
态气体温度为
-62.2
℃，与金属壳体间换热的表
2
W
/(
m
.
K
)
。
< br>由于软木保温层的密闭性不好，
大气中的水蒸气浸入软木层，
面传热系数为
21
并在一定深度范围内冻结成了冰。
假设软木保温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的
影响，试确定
软木保温层中冰层的深度。球形罐金属壳体的热阻可不计。在
实际运行中，
因保温层的密闭性不好而在软木保温层中出现的水和冰，对球形罐的保温性
能有何影响？
2-29
在一电子器
件中有一晶体管可视为半径为
0.1mm
的半球热源，如附图所
示。该晶体管
被置于一块很大的硅基板中。硅基板一侧绝热，其余各面的温度均为
t
。硅基板导热系数
120
W
/(
m
.
K
)
。
试导出硅基板中温度分布的表达式，
并计算当晶体管发热量为
4W<
/p>
时晶体管表面的温度值。
提示：
相对于
0.1mm
这样小的半径，
硅基板的外表面可以视为半径趋于无穷大的球壳表面。
变截面变导热系数问题
2-30 <
/p>
一高为
30cm
的铝制圆台形锥台，顶面
直径为
8.2cm
，底面直径为
13c
m.
。底面及顶面
温度各自均匀，
并分
别为
520
℃及
20
< br>℃，锥台侧面绝热。试确定通过该锥形台的导热量。
铝
的
导热系数为
100
W
/(
m
.
K
)
< br>。
A
(
x
)
解：根据傅利叶导热公式得
dt
dx
x
0
x
30
0
6
.
5
得
x
0
< br>51
.
23
< br>因为：
4
.
1
< br>x
0
dx
6
.
5
4
.
1
r<
/p>
0
.
41
0
.
082
dx
r
x
30
得
x
代入数据积分得
1
397
W
2-31
试比较附图所示的三种一维导热问题的热流量大小：凸面锥台，圆柱，凹面锥台。比
较的条件是
d
1
,
t
1
,
t
2
及导热系数均相同。三种形状物体的直径与
x
轴的关系可统一为
d
a
x
n
，其中
a
及
n
值如下：
凸面锥台
柱体
凹面锥台
a
0.506
m
0.08m
20.24
m
n
0.5
0.0
1.5
1
/
2
1
/<
/p>
2
x
1
25
mm
,
x
2
125
mm
。
t
1
t
2
< br>
解：对于变截面导热
凸面锥台
柱体
凹面锥台
x
2
x
1<
/p>
dx
A
x
x
2
x
1
x
2
x
1
x
< br>2
dx
x
2
8
n
4
2
n
1
<
/p>
2
x
dx
320
m
A
X
＝
x
1
a
2
dx
x
2
4
x
1
dx
< br>
320
.
35
m
2
2
A
X
x
1
a
＝
＝<
/p>
x
1
dx
A
X
x
2
x
1
20
24
2
16
x
4
dx
< br>263
.
23
m
2
由上分析得
3
1
2
2-32
某种平板材料厚
25mm
，两侧面分别维持在
40
℃及
85
℃。测得通过该
平板的热流量为
1.82km
，导热面积为
0.2
m
。试：
确定在此条件下平板的平均导热系数。
设平板材料导热系数按
度范围内
解：由
2
0
(
1
bt<
/p>
)
变化（其中
t
为局部温度）
。为了确定上述温
<
/p>
0
及
b
值，还需
要补充测定什么量？给出此时确定
0
及
b
的计算式。
dt
dx
得
5
W
/(
m
.
K
)
t
0
A
补充测定中心位置的温度为
A
又
dt
dx
0
(
1
bt
)
t
1
t
2
x
2
x
1
< br>0
t
1
t
2
1
b
A
2
（
1
）
所以
b
代入数据
解得
4
t
0
2
t
2
2
t
1
t
1
2
t
0
t
2
< br>
（
2
）
0
2
2
将（
2
）代入（
1
）得到
2-33
一空心圆柱，在
r
r
1
处
t
t
1
< br>，
r
r
2
处
t
t
2
。
试导出圆柱中温度分布的表达式及
导热量计算式。
解：导热微分方程式简化为
(
t
)
0
(
1
bt
)
，
< br>t
为局部温度，
b
dr
0
t
0
t
2
< br>
c
1
ln
r
c
2
2
r
即
所以
b<
/p>
0
t
1
0
t
1
2
c
1
ln
r
1
< br>
c
2
2
当在
r
r
1
处
t
t<
/p>
1
即
（
1
）
b
0
t
2
0
t
2
2
< br>c
1
ln
r
2
c
2
r
r
2
处<
/p>
t
t
2
即
2
（
2
）
d
dt
dt
r
0
r
c
1
< br>dr
dr
< br>dr
即
0
1
bt
dt
c
1
c
1<
/p>
两个式子联立得
0
t
1
t
2
1
0
< br>t
1
t
2
b
2
ln<
/p>
r
1
r
2
c
2
（
1
）
-
（
2
）得
0
t
1
t
2
1
0
t
1
t
2<
/p>
ln
r
1
b
r
0
t
1
< br>t
2
0
t
1
2
t
2
2
c
1
ln
1
r
2
2
b
2
ln
< br>r
1
r
2
（
3
）
将
c
1
,
c
2
代入（
3
）得温度表达式
0
t
0
t
2
0
t
1
t
2
< br>
1
0
t
1
t
2
b
2
b
2
q
由傅利叶公式
dt
dx
ln
r
.
r
1
ln
r
1
r
2
q
得
c
1
r
0
<
/p>
t
1
t
2
1
0
t
1
t
2
b
2
r
r<
/p>
.
ln
1
r
2
2-34
设一平板厚
为
，其两侧表面分别维持在温度
t<
/p>
1
及
t
2
。在此温度范围内平板的局部导
0
热系数可以
用直线关系式
来表示。
试导出计算平板中某处当地热流密度的<
/p>
表达式，并对
b>0,b=0
及
b<0
的三种情况画出温度分布的示意曲线。
(
t
)
(
1
bt
)
r
r
0
2-35
一圆筒体
的内外半径分别为
i
及
，相应的壁温为
i
及
t
t
0
，其导热系数与温度关系可
0
表示为
的形式，式中
及
t
均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流
量的表达式及导热热阻的表达式。
(
t
)
(
1
bt
)
2
2-36
< br>q=1000W/m
的
热
流
沿
x
方
向
穿
过
厚
为
20mm
的
平
板
（
见
附
图
）
。
已
知
x=0mm,10mm,20mm
处的温度分别为
100<
/p>
℃，
60
℃及
4
0
℃。
试据此确定材料导热系数表达式
0
(<
/p>
1
b
)
（
t
为平均温度）中的
0
及
b
。
100
6
0
t
80
2
解：
x=0mm,x=10mm
处的平均温度
℃
又
0<
/p>
(
1
b
)
1000
q
所以热量
0
1
80
b
0
1
50
b
t
1
t
2
0
.<
/p>
02
即
同理
x=
10mm,x=20mm
处得
100
0
10
0
60
（
1
）
联立得
b=-0.009
60
40
0
.
02
（
2
）
0
0
.
687
2-37
设某种材料的局部导热系数按
一块厚为
的无内热源的平板，试：
(
t
)
0
(
1
bt
)
的关系式来变化，<
/p>
对于由该材料做成的
导出利用两侧面温度
t
1
(
x
<
/p>
0
),
t
2
(
x
)
计算导热量的公式；
证明下列关系式成立：
1
2
x
2
2
2
1
其中
1
2
为相应
于
t
1
t
2<
/p>
的导热系数，
为
x
处的导热系数。
导出平板中温度
沿
x
方向变化的下列两个公式：
1
2
x
2
2
t
(
x
)
< br>
1
2
1
0
b
1
/
2
1
b
2
qx
1
1
t
(
x
)
t
1
<
/p>
b
b
0
2
2-3
8
一厚δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度
t
1
、
t
2
< br>。平壁的导热系数是温度的函数：
λ（
t
）
=
λ
0
（
1+
β
t
2
）
。试对稳态导热给出热流密度的计算式。
解：
一维有内热源的导热
2-39
试建立具有内热源
x
，
变截面，
< br>变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程
式（参考附图）
。
解：一维代入微分方程式为
2-40
试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱
体的稳态导热热量计算式及壁中
的温度分布。
为常数。
解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为
d
dt<
/p>
A
x
x
x
0
dx
dx
经过积分得
1
t
r
0
r
r
r
< br>
2
t
c
1
ln
r
c
2
r<
/p>
因为
所以得
r
r
r
0
,
t
t
w
;
r
0
,
< br>t
t
0
对其求导得
3
3
t
0
t
w
r
0
/
t
0
t
w
< br>
r
0
/
r
3
t
ln
r
<
/p>
t
0
ln
r
0
1
ln
r
0
1
2-41
确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知：氧化铀燃料棒的最高温度不能高
于<
/p>
1600
℃，冷却水平均温度为
110<
/p>
℃，表面传热系数为
12000W/(
㎡
·
K)
，氧化铀燃料棒与
包覆它的锆锡
合金层间的接触热阻为
2.22
×
10
-4
㎡·
K/W
。
包覆层的内外半径为
6.1
㎜及<
/p>
6.5
㎜，氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为
7.9W/(m
·
K)
、
14.2W/(m
·
K)
。
解：
2-42
一具有内热源
外径为
0
的实心圆柱，
向
四周温度为
t
的环境散热，
表面传热系数为
h
。试列出圆柱体中稳态温度场
的微分方程式及边界条件，并对
为常数的情形进行求解。
解：利用
2-33
题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为：
r
d
dt
(
)
r
(
r
)
0
dr
dr
（设
< br>
为常数）
，
dt
dt
r
0
，
0
；
r
r
0
，
<
/p>
h
(
t
t
f
)
。
dr
dr
其边界条件为：
dt
r
h<
/p>
(
t
t
f
)
。
对于
为常数的情形，积分一次得：
dr
r
2
dt
t
< br>
c
1
ln
r
c
2
0
4
<
/p>
dr
再积分一次得：
< br>由
r=0
，
，得
c
1
0
；
r
2
<
/p>
r
0
dt
h
(
t
t
f
)
，得
h
c
2
t
f
dr
2
4
，
由
r
r
0
，
r
< br>0
2
r
0
r
0
c
2
t
f
2
h
4
2
h
由此得：
。
A
C
2-43
在一厚为
2b
，截面积为
2
.
m
/
m
）
中。设沸腾换热表面
传热系数是均匀的，
金属条的电阻率为
（单位为
，导热系
的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体
数为
〔单位为
W
/(
m
.
K
)
〕
，物性为常数。试证明该金属条的截面平均温
度要比表面温度
高
2
I
2
b
2
/
3
A
C
。金属条的端部散热不予考虑。
的实心圆柱，内热源为
2-44 <
/p>
一半径为
r
0
0
(
1
Ar
)
(
r
)
，
0
,A
为常数。在
r
r
0
处
t
t
0
< br>。试导出圆柱体中的温度分布。
1
t
r<
/p>
0
解：
r
r
r
(1)
dt
0
dx
r=0,
(2)
r
r
0
,
t
t
0
(3)
三式联立最终可解得
0
2
3
< br>t
q
r
0
r
2
4
A
r
0
r
3
t
0
36
，
X=0
及
X=
处的
表面分别与温度为
t
f
1
,
t
f
2
< br>的
2-45
一厚为
的大平板具有均匀内热源
< br>
流体进行对流换热，表面传热系数分别为
h1
及
h2
。试导出平板中温度分布的解析表达式，
并据此导出温度最高点的位置。对于
h1=h2,tf1
＝
平板中的温度分布曲线。
t
f
2
及
h
1
h
2<
/p>
,
t
f
2
t
f
1
的情形定性地画出
＝
2
-46
一厚为
7cm
的平壁，一侧绝
热，另一侧暴露于温度为
30
℃的流体中，内热源
2
6
3
< br>W
/(
m
.
K
)
，
平
壁
的
导
热
系<
/p>
数
为
10
W
/
m
0.3
。
对
流
换
热
表
面
传
热
系
数
为
< br>450
18
W
/(
m
.
K
)
< br>。试确定平壁中的最高温度及其位置。
0
< br>e
2-47
核反应堆的辐射防护壁因受
射线的照射而发热，
这相
当于防护壁内有
内热源，其中
ax<
/p>
0
的
试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数
为常数。
解：由题意导热微分方程
是
X=0
的表面上的发热率，
a
< br>为已知常数。已知
x=0
处
t=
t1,x=
处
t=
< br>t
2
,
又
x=0
处
t=t1,x=
处
t=
t
2
积分并结合边界条件可得
d
2
t
ax
2
0
e
0
dx
e
ax
t
0
a
dt
0
dx
令
< br>0
0
e
a
t
1
t
2
2
2
a
a
< br>x
t
1
2
0
a