从集合的观点理解充分条件和必要条
思考人生-
从集合的观点理解充分条件和必要条件
兴义五中
韦长影
562400
充分
条件和必要条件是每年高考必考的内容
，
让学生学会用集合来理
解此类题目，
使问题变得简单，
通俗易懂，
这是我们在教学中发现的诀窍，
下面就这个问题再进行一下探
讨。
命题“若
p
则
q
”为真，记为“
p
q
”，这时
p
是<
/p>
q
的充分条件
,q
是
p
的
必要条件。
< br>由前面关于集合
A,B
的定义知
,p
q,
当且仅当
A
B,
这就是说
,A
< br>B
时
,p
是
q
的充分条件
,q
是
p
的必要条件。
为使
p,q
有意义
,
一般我们仅讨论
A,B
非空的情况
.
p
是
q
的充分条件
,q
是
p
的必要条件
,
即若对象
x
满足
p,
则
x
也一定满足
q,
这等价于
x
∈
A
时，必有
x
∈
B<
/p>
，即
A
即
y<
/p>
满足
q
却不满足
p
。
B
，但
是可能存在对象
y
∈
B
但
y
A
，
若
A=B
时，即
A
B
且
B
A<
/p>
，就是说，满足
p
的对象满足
q
，反之，满足
q
的对象
满足
p
。因此
p
q
，当且仅当
A
＝
B
，这时
p
是
q
的充要条件。换句话
说，
A
，
B
的描述表示虽然不同，
但若它们的元素完全相同，
则
p
< br>与
q
等价
（图
< br>1
）
。
若
A
∩
B
≠
但
A
∩
B
≠
A
且
A
< br>∩
B
≠
B
，
即满足
p
的对象不完全满足
q
；
反之，
满足
q
的对象也不完全满足
p
< br>，就是说
p
，
q
不能互相完全推出，这时
p
，
q
是既
不充分也不必要条件（图
2
）。例：“
x
是
4
的倍数”是“
x
是
6
的倍数”的既
不充分也不必要条件。
(3)
(4)
(5)
若
A
∩
B=
，
即满足
p
的
对象都不满足
q
，
反之，
满足
q
的对象也都不满足
p
,
就是说
p,q
不能互相推出，这时<
/p>
p
是
q
的既不充
分也不必要条件（图
3
）。
也可表示为：①
即：要使
，相当于
，即
或
成立，只要
就足够了——有它就行．
②
，相当于
，即
或