知识讲解充分条件与必要条件经典资料全
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.
充分条件与必要条件
编稿：希勇
审稿：霞
【学习目标】
1
．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；
2
．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；
3
．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也
不必要条件表达
命题之间的关系
.
4
.
能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明
.
【要点梳理】
要点一、充分条件与必要条件
充要条件的概念
符号
p
q
与
p
q
的含义
“若
p
，则
q
”为真命题，记作：
p
q
；
“若
p
，则
q
”为假命题，记作：
p
q
.
充分条件、必要条件与充要条件
①<
/p>
若
p
q
，称
p
是
q
的充分条件，
q
是
p<
/p>
的必要条件
.
②
如果既有
p
q
，
又有
q
p
，
就记作
p
q
，
这时
p
是
q
的充分必要条件，
称
p
是
q
< br>的充要条件
.
要点诠释：
对<
/p>
p
q
的理解：
指当
p
成立时，
q
一定成立，即由
p
通过推理可以得到
q
.
①
“若
p
，则
q
”为真命题；
②
p
是
< br>q
的充分条件；
③
q
是
p
的必要条件
以上三种形式均为“
p
q
”这一逻辑关系的表达
.
要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若
p
，则
q
”，其条件<
/p>
p
与结论
q
之间
的逻辑关系
①
若
p
q
，但
q
p
，
则
p
是
q
的充
分不必要条件，
q
是
p
的必要不充分条件；
②
若<
/p>
p
q
，但
q
p
，则
p
是
q
的必要不充分条件，
q
是
p
的充分不必要条件；
③
若
p
q
，且
q
p
< br>，即
p
q
，则
p
、
q
互为充要条件；
④
若
p
q
< br>，且
q
p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件
.
从集合与集合间的关系看
若
p
：
x
∈
A
，
q
：
< br>x
∈
B
，
①
若
A
B
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件；
②
若
A
是
< br>B
的
真子集，则
p
是
q
的充分不必要条件；
③
若
A=B
，则
p
、
q<
/p>
互为充要条件；
专业
< br>DOC
资料
.
.
.
④
若<
/p>
A
不是
B
的子集
且
B
不是
A
的
子集，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件
.
要点诠释：
充要条件的判断通常有四种结论：
充分不必要条件、必要不充分条件、
充要
条件、既不充分也不必要条件
.
判断方法通常按以下步骤进行：
①
确定哪是条件，哪是结论；
②
尝试用条件推结论，
③
再尝试用结论推条件，
④
最后判断条件是结论的什么条件
.
要点三、充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，
既要证明条件的充分性
（即证原命题成立）
，
又
要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
要点诠释：
对于命题“若
p
，则
< br>q
”
①
如果
p
是
q
的充分条件，则原命题“若
p
，则
q<
/p>
”与其逆否命题“若
q
，则
p
”
< br>为真命题；
②
如果
p
是
q
的必要条件，则其
逆命题“若
q
，则
p
< br>”与其否命题“若
p
，则
q
”
为真命题；
③
如果
p<
/p>
是
q
的充要条件，则四种命题均为真命题
.
【典型例题】
类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定
例
1.
指出下列各题中，
p
是
q
的什么条件？
(1)
p
:
(
x
2)(
x
3)
< br>0
，
q
:
x
<
/p>
2
；
(2)
p
:
c
<
/p>
0
，
q
:
抛物线
y
ax<
/p>
bx
c
过原点
(3)
p
:
一个四边形是矩形，
q
:
四边形的邻边相等
【解析】
(1)
∵
p
:
x
2
或
x
3
,
q
:
x
2
∴
p
q
且
q
p
,
∴
p
< br>是
q
的必要不充分条件；
(2)
∵
p
q
且
q
p
,
∴
p
是
q
的充要条件；
(3)
∵
p
q
且
q
p
，∴
p
是
q
的既不充分条件也不
必要条件
.
【总结升华】
判定充要条
件的基本方法是定义法，
即“定条件——找推式——下结论”.
有时需要将条件等价转化后再判定
.
举一反三：
【变式
< br>1
】指出下列各题中，
p
是
q
的什么条件？
（
1
）
p
：<
/p>
A
B
，
q
：
A
和
B
是对顶角
.
（
2
）
p
:
x
1
，
q
:
x
1
；
专业
D
OC
资料
.
2
2
.
.
【答案】
（
1
）∵
p
q
且
q
p
，
∴
p
是
q
的必要不充分条
件，
q
是
p
的
充分不必要条件
.
（
2
）∵
q
:
< br>x
1
x
1
或
x
1
2
∴
x
1
x
1
，但
x
1
x
1
，
2
2
∴
p
是<
/p>
q
的充分不必要条件，
q
是
p
的必要不充分条件
. <
/p>
【变式
2
】判断下列各题中
p
是
q
的什么条件
.
（
1
）
p
:
a
0
且
b
0
,
q
:
ab
0
（
2
）
p
:<
/p>
【答案】
（
1
）
p
是
q
的充分不必要条件
.
∵
< br>a
0
且
b
0
时，
ab
0
成立；
反之，当
ab
< br>0
时，只要求
a
、
b
同号即可
.
∴必要性不成立
.
（
2
）
p
是
q
的既不充分也不必要条件
∵<
/p>
x
1
,
q
:
x
y
. <
/p>
y
x
1
在
y
0
的条件下才有
x
y
成立
.
y
∴充分
性不成立，同理必要性也不成立
.
【高清课堂：
充分条件与必要条件
394804
例
2
】
例
2
.
已知
p
：
0
，
q
：
|x-1|<2
，则
p
是
q
的（
）
（
A
）充分不必要条件
（
B
）必要不充分条件
（
C
）充要条件
（
D
）既不充分也不必要条件
【解析】
q
：
|x-1|<2
，解得
-1
，亦即
q
：
先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断； .
-1
Q
P
如图，在数轴上画出集合
P=(0,3)
，
Q=(-1,3)
，
3
X
-1
O
1
2
从图中
看
P
Q
，
p
q
，但
q<
/p>
p
，所以选
择（
A
）
.
【总结升华】
①
②<
/p>
不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断
举一反三：
【高清课堂：<
/p>
充分条件与必要条件
394804
例
3
】
【变式
1
】设
x
R
，则条件“
x
<
/p>
2
”的一个必要不充分条件为（
）
专业
DO
C
资料
.
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