八年级上册数学 三角形三边关系-命题与证明
假睫毛可以重复使用吗-
三角形中的边角关系、命题与证明
【
学习目的
】
①理解与三角形有关的基本概念
②命题与证明
考点一：三角形中的边角关系
►
知识点拨：
1.
三角形中的有关概念
（
1
）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线
段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角
形
.
用符号“△”表示
.
（
2<
/p>
）三角形的顶点、边和角：①边的表示；②角的表示；③对边、对角的概念
.
2.
三角形按边的关系分类
（
1
）不等边三角形：三条边互不相等；②等腰
三角形：有两条边相等的三角形；
（
2
）等边三角形：三条边都相等的三角形（等腰三角形的特例）
3.
三角形的三边关系：
三角形中任何
两条边的和大于第三边，
两边的差
（绝对值）
< br>小于第三边
.
4.
三角形中角的关系
（
1
）按角分类：①直角三角形；②斜三角形：锐角
三角形和钝角三角形
.
（
2
）三角形的内角和等于
180
.
注意：①用
Rt
△
ABC
表示直角三角形；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两
个锐角；
最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何三角的最大内角不能小于
60
，最小内角不能大于
60
.
5.
三角形中的几条重要线段
（
1
）角平分线：角平分线把角分成两个相等
的角
.
（三条角平分线的交点就是三角形的外心）
（
2
）中线：三角形一顶
点与它对边中点的线段叫中线
.
（三条中线的交点就是三角形的
重心）
（
3
）高线：三角形一顶点与它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线
.
注意：三角形的中线所分得的两个三角形的面积相等
.
6.
定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
< br>.
例
1
：
如图所示，以点
A
为顶点的三角
形共有
（
）
1
A.6
个
B.7
个
C.8
个
D.9
个
例
2
：
已知实数
x
、
则以
x
、
（
）
y
满足
x
<
/p>
4
y
8
0
，
y
的值为两边的等腰三角形的周长是
A.20
或
16 B.20
C.60 D.
以上都不对
例
3
：
若四条线段的长分别为
2cm
、
3cm
、
4cm
、
5cm
，以其中的三条线段为边长，则可以构成三
角形的个数有
（）
A.1
B.2 C.3 D.4
1
1
例
4
：
在△
ABC<
/p>
中，∠
A=
∠
B
=
∠
C
，则△
ABC
是
（
）
3
5
A.
锐角
三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
无法确定
例
5
：
如图，
CD
、
CE
、
CF
分别是△
ABC
的高、角平分
线、中线，则下列各式中错误的是（
）
=2BF B.2
∠
< br>ACE=
∠
ACB =BE
⊥
BE
例
6
：
下列属于定义的是
（）
A.
两点确定一条直线
B.
两直线平行，同位角相等
C.
三角形的高、角平分线和中线都是线段
D.
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
< br>
基础训练
2
1<
/p>
、如图所示，
AB
＝
AC
，
BE
＝
CD
，
AD
＝
BD
＝
DE
＝
AE
＝
CE
，则图中共有个等腰三
角形，有个等边
三角形
.
第
1
题图
第
3
题图
第
4
题图
<
/p>
2
、一个等腰三角形中，一边长为
9cm
，另一边长为
5cm
，则等腰三角形的
周长是
.
3
、如图，
AD
、
BE
、
CF
分别是△
ABC
的高、中
线、角平分线
.
则△
ADC
的高、中线、角平分线分
别是
.
< br>
4
、
如图，
< br>图中以
AB
为边的三角形的个数是
（
）
A.3
B.4 C.5 D.6
5
、已知
a
，
b
，
c
是△
ABC
的三边长，且满足
|a-b|+
c
b
=0
，则△
ABC
是
（
）
A.
等腰三角形
B.
等边三角形
C.
直角三角形
D.
不能确定
6
、
三角形的两边长分别为
3
，
8
，
则第三边长为
（
）
A.5 B.6
C.3 D.11
7
、
以下各组长度的线段为边，
组成的三角形是
（
）
A.2
、
3
、
5 B.3
、
3
、
6 C.5
、
8
、
2 D.4
、
5
、
6
8
、
设三角形的三边长分别为
2
，
9
，
1-
2
a
，
则
a<
/p>
的取值范围是
（
）
A.3<
a
<5
B.-5<
a
<3
C.-5<
a
<-3
D.
不能确定
9
、三角形的内角和等于
（
）
A.90
B.180
C.300
D.360
10
< br>、在△
ABC
中，若∠
A=54
，∠
B=36
，则△
ABC
是
< br>
（
）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
等腰三角形
< br>11
、当三角形中一个内角α是另一个内角β的
2
倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其
中α称为“特征角”．如
果一个“特征三角形”的“特征角”为
100
°，那么这个“特
征三角
形”的最小内角的度数为
（
）
3
A.30
°
B.50
°
C.80
°
D.100
°
12
、三角形的角平分线、中线和高
（
）
A.
都是射线
B.
都是直线
C.
都是线段
D.
都在三角形内
13
、如图所示，已知∠
1=
∠
2
，∠
3=
∠
4
，则下列结论正确的个数为
（
）
①
AD
平分∠
BAF
；②
AF
平分∠
DAC
；③
AE
平分∠
DAF
；④
AE
平分
∠
BAC.
A.
②和③
B.
③和④
C.
①和④
D.
仅有③
14
、
下面四个命题中属于定义的是
A.
两点之间线段最短
B.
对顶角相等
C.
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
D.
内错角相等
强化训练
1.
在△
ABC
中，如果∠
A:
∠
B:
∠
C=1
：
2
：
3
，则△
ABC
一定是
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三角形
2.
如图，
AE
是△
ABC
的中线
,D
是
BE<
/p>
上一点
,
若
BE
=5
，
DE=2
，则
< br>CD
的长为
A.7 B.6
C.5 D.4
3.
如
图，过△
ABC
的顶点
A
，作
BC
边上的高，以下作法正确的是
4
（
）
）
）
）
（
（
（
4.
下列
每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是
（
）
A.3cm
，
4cm
< br>，
8cm B.8cm
< br>，
7cm
，
15cm
C.5cm
，
5cm
，
11cm D.13cm
，
12cm
，
20cm
5.
如图，在△
ABC
中，点
D
是边
AB
上的一点，点
E
是边
AC
上一点，且
DE
∥
BC
，∠
B=40
< br>，∠
AED=60
，则∠
A
的度数是
（
）
A.100
B.90
C.80
D.70
第
5
题图
第
7
题图
第
8
题图
<
/p>
6.
一个三角形的两边长为
8
和
10
，则它的最短边
a
的取值范围是．
7.
如图，
AD
是△
ABC
的
BC
边上的高，
A
E
是∠
BAC
的平分线
.
（
1
）若∠
B=47
°，∠
C=53
°
，则∠
DAE=
度；
（
2
）若∠
B=
α，∠
C=
β
(
α
<
β
)
，则∠
DAE=
度
.
（用α、β含的代数式表示）
8.
如图，在△
ABC
中，∠
B=46
°，∠
C=54
°，
AD
平分∠
BAC
，交
BC
于
D
，<
/p>
DE
∥
AB
，交
AC
于
E
，<
/p>
则∠
ADE
的大小是．
< br>
9.
已知一个等腰三角形的两边长分别为
2
和
4
，则该等腰三角形的
周长是
_____.
10.
如图，在
△
ABC
中，∠
A=40
，
D
点是∠
ABC
和∠
ACB
角平分线
的交点，则∠
BDC=_____.
11.
如图，
AD
为△
ABC
的中线，
BE
为△<
/p>
ABD
的中线
.
(1)
若∠
ABE=15
，∠
BAD=40
，
求∠
BED
的度数；
5
<
/p>
(2)
在△
BED
中，作
BD
边上的高；
(3)
若△
ABC
的面积
为
40
，
BD=5
，求△
BDE
中
BD
边上的高为多少
?
12.
如图，
在△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，
AE
、
BF
是角平分线，
它们相交于点
< br>O
，
∠
BAC
< br>＝
50
°，
∠
< br>C
＝
70
°，求∠
DAC
，∠
BOA.
能力提升
1.
各边长度都是正整数且最大边长为
8
的三角形共有个
.
2.
三角形的三边长分别为
a
、
b
、
c
，且
(
a
-b-c)
(b-c)
＝
0
，则此三角形为
________
三角形．
3.
如图所示
，△
ABC
三边的中线
AD
，
BE
，
CF
的公共点
G
，若
S
ABC
12
，则图中阴影部分面积
是
_____.
6
4.
如图所示，在△
ABC
中，已知点
D
、
E
、
F
分别为边
BC
、
AD
、
CE
的中点，且
S
ABC
4
cm
2
，则
S
阴影
等于
（
）
A.2cm
2
B.1cm
2
C.
1
2
1
cm
D.
cm
2
2
4
5.
如图，用钢筋做支架，要求<
/p>
BA
、
DC
相交
所成的锐角为
32
，现测得∠
BAC=
∠
DCA=115
< br>
，则
这个支架符合设计要求吗
?
为什么
?
6.
设三角形的三条边为整数
a
、
b
、
c
且
a
b
c
，当
< br>b=4
时，符合条件的
a
、
b
、
c
的取值若下
表：
a
b
c
可能的取值（
< br>a
+b>c
）
满足条件的三角形的个
数
7
4
3
2
1
4
4
4
4
4
、
5
、
6
、
7
4
4
1
（
1
）将表格补充完整；
（
2
）满足条件的三角形
共有多少个
?
其中等腰三角形有多少个
?
等边三角形又有多少个
?
考点二：命题与证明
►
知识点拨：
1.
命题及其分类
< br>（
1
）命题定义：对某一事件作出正确或不正确判断的语
句（或式子）叫做命题
.
举例：一年有
365
天；对顶角相等；欢迎光临，其中前两个是命题
. <
/p>
识别：没有对一件事的正确与否作出任何判断的语句，不是命题
.
（
2
）分类：①真命题：正确的命题；
②假命题：错误的命题；③识别：一个命题要么是真命
题，要么是假命题，不能模棱两可
.
注意：
①命题必须是一个完整的句
子，
是对事情作出肯定或否定的判断；
②命题一般为陈述句
.
2.
命题的结构
①题设（或条件），是已知事项；
②
一般形式：如果
p
，那么
q
（其中
p
是题设，
q
是结论）；
③结论（或题断），由已知事项推出的事项
.
3.
互逆命题
原命题与逆命题：将命题“如果
p
，那么
q
”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果
q
，那么
p
”，我们把这样的两个命题称为互
逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原
8