中考培优竞赛专题经典讲义 第10讲 最值问题之三角形三边关系
巴尔干半岛地图-
第
10
讲
最值问题之三角形三边关系
模型讲解
问题：在直线
l
上找一点
P
，使得
PA
PB
的值最大
解析：连接
AB
，并延长与
1
交点即为点
P
.
证明：如图，
根据△
ABP
'
三边关系，
BP
'
-
AP
'
<
AB
，即
P
'
B
-
P
'
A
<
PB
-
P
A
【例题讲解】
例题
< br>1
、如图，∠
MON
=
90
°，矩形
ABCD
的顶点
A
、
B
分别在边
OM
，
ON
< br>上，当
B
在边
ON
上运动
时，
A
随之在
OM
上运动，矩形
ABCD
< br>的形状保持不变，其中
AB
=
2
，
BC
=
1<
/p>
，运动过程中，点
D
到点
O
的
最大距离为
____________.
【解答】
解：如图，取
AB
的中点
E
，连接
OD
、
OE
、
DE
，
Q
∠
MON
=
90
°，
AB
=
2
OE<
/p>
=
AE
=
1
AB
=
1
，
2
Q
BC
=
1
，四边形
ABCD
是矩形，
AD
=
BC
=
1
，
DE
=<
/p>
2
，
根据三角
形的三边关系，
OD
<
OE
+
DE
，
当
OD
过点
E
时最大，最大值为
2
+
1<
/p>
.
故答案为：
2
+
1
.
【总结】
1
、我们如何知道是哪个三角形呢？
我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形
有两条
边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”
。
【巩固练习】
1
、如图，∠
MON
=
90
°，边长为
2
的等边
三角形
ABC
的顶点
A
、
B
分别在边
OM
、
ON
上，当
B
在边
ON
上运动时，
A
随之在边
OM
上运动，等边三角形的形
状保持不变，运动过程中，点
C
到点
O
的最大距离为
____________.
2
、在△
ABC
中，∠
C
=
90
°，
AC
=
4
，
BC
=
2
，点
A
、
C
分别在
x
轴、
y
轴上，当点
A
< br>在
x
轴上运动时，点
C
随之在
y
轴上运动，在运动过程中，点
B
到原点的最大距离是
___________
________.
3
、如右图，正六边形
ABCDEF
的边长为
2
，两顶点
A
、<
/p>
B
分别在
x
轴和
y
轴上运动，则顶点
D
到原点
O
的距离的最大值和最小值的乘积为
___________________.
4
、如图，平面直角坐标系中，将含
30
°的三角尺的直角顶点
C
落在第二象限
.
其斜边两端点
A
、
B
分别落
在
x
轴、
y
轴上，且
AB
=
12
cm
（
1
）若
OB
=
6
cm
.
①求点
C
的坐标；
②若点
A
向右滑
动的距离与点
B
向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（
2
）点
C
与点
O
的距离的最大值
=_____________
cm
.
5
、如图，抛物线
y
ax
2
10
ax
c
经过△
ABC
的三个顶点，已知
BC<
/p>
//
x
轴，点
A
在
x
轴上，点
C
在
y
轴
3<
/p>
上，
OA
=
BC
，且
AC
=
B
C
.
5
（<
/p>
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）若
Q
为直线
AB
上一点，点
D
为抛物线与
x
轴的另一个交点，求
|
QC
-
QD
|
的取值范围
.
模型讲解
如图，在⊙
O
外有一点
P
，在圆上找一点
Q
，使得
P
Q
最短
在⊙
O
上任
取一点
Q
，连接
QO
< br>和
OP
，在△
OQP
中，根据三角形三边关系，
0
< br>Q
+
QP
>
OP
Q
OP<
/p>
=
0
Q
'
+
Q
'
P
，且
OQ
=
0
Q
'
0
Q
+
QP
>
0
Q
'
+
Q
'
P
QP
>
Q
'
P
所以连接
OP
< br>，与圆的交点即为所求点
Q
，此时
PQ
最短
.
【另外三种情况】
点
P
在圆外
，
PQ
最长
点
P
在圆内，
PQ
最长
点
P
在圆内，
PQ
最短
【总结】可见，点与圆的最值问题在本质
上仍然是利用了三角形三边关系。
【例题讲解】
例题
< br>1
、如图，在矩形
ABCD
中，
AB
=
4
，<
/p>
AD
=
6
，
E
是
AB
边的中点
，
F
是线段
BC
边上的动点，将△
EBF
沿
EF
所在直线折叠得到△
EB
'
F
，连接
B
'
D
，则
B
'
< br>D
的最小值是
___________.
【解析】
如图，根据已知条件，在△
EB
'
< br>D
中，我们发现，
EB
'
为定值
2
，
ED
根据勾股定理计算可得也为定值
2
10
，而
B
'
D
即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△
EB
'
D
就是我们要找的三角形，
<
/p>
Q
B
'
D
≤
ED
-
EB
'
当
B
'
在
ED
上时，<
/p>
B
'
D
最小
B
'
D
的最小值为
2
10<
/p>
-
2
【巩固练习】
1
、如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
=
90<
/p>
°，
AC
=
BC
=
2
，以
BC
为直径的半圆交
AB
于
D
，
P
是弧
< br>CD
上的一
个动点，连接
AP<
/p>
，则
AP
的最小值是
_______________.
2
、如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
（
1
，
0
）
，
B
（
1
-
a
，
0
）
，
C
（
1<
/p>
+
a
，
0
）
（
a
>
0
）
，点
P
在以
D
（
4
，
4
）
为圆心，
1
为半径的圆上运动，且始终满足∠
BPC
=
90
°，则
a
的最大值
_______________.
3
、如图，在△
ABC
中，
AB
=10
，
AC=
8
，
BC
=6
，以边
AB
的中点
O
为圆心，作半圆与
AC
相切，点
P
，
Q
分别是边
BC
和半圆上
的动点，连接
PQ
，则
PQ
长的最大值与最小值的和是
_____________.
3
x
-
3
与
x
轴、
y
轴分别交于
A<
/p>
、
B
两点，
P<
/p>
是以
C
（
0
，
1
）为圆心，
1
为半径的圆上
4
一动点，连结
P
A
、
PB
.
则△
P
AB
面积的最大值是
________________.
4
、如图，已知直线
y
=
5
、如图，在△
ABC
中，∠
ACB
=
90
°，
AB
=
5
，
BC
=
3
，
P
是
AB
边上的动点（不与点
B
重合）
，将△
BCP
沿
CP
所在的直线翻折，得到△
B
'
CP
，连接
B
'
A
，则
B
'
A
长度的最小值
是
________________.
6
、如图，在平行四边形
ABCD
中，∠
BCD
=
30
°，
BC
=
4
，
CD
=
3
3
，
M
是
AD
边的中点，
N
是
AB
边上的
一动点，将△
AMN
沿
MN
所在直线翻折得到△
A
'
MN
，连接
A
'
C
，则
A
'
C
长度的最小值是
____________.
7
< br>、如图，菱形
ABCD
中，∠
A
=
60
°，
A
B
=
3
，⊙
A
、⊙
B
的半径分别为
< br>2
和
1
，
P
、
E
、
F
分别是边
CD
、⊙
A
和⊙
B
上的动点，则
PE
+
PF
的最小值是<
/p>
____________.
8
、如图，矩形
ABCD
中，
AB
=
2
，
AD
=
3
，点
E
、
< br>F
分别为
AD
、
DC
边上的点，且
EF
=
2
，点
G
为
EF
的中
点，点
P<
/p>
为
BC
上一动点，则
P
A
+
PG
的最小值为
______________.
»
，将一块直角三角板的直角顶点
P
9
、如图，边长为
1
的正方
形
ABCD
中，以
A
< br>为圆心，
1
为半径作
BD
»
（不包括端点
B
、
D
）上滑动，一条直角边通过顶点
A<
/p>
，另一条直角边与边
BC
相交于点
Q
，连
放置在
BD<
/p>
接
PC
，则△
C
PQ
周长的最小值为
____________.
10
、问题情境：如图
1
< br>，
P
是⊙
0
外的一点，直线
PO
分别交⊙
0<
/p>
于点
A
、
B
，则
P
A
是点
P
到⊙
0
上的点的
最短距离
.
（
1
）探究：
如图
2
，在⊙
0
上任取一点
C
（不为点
A
、
B
重合）
，连接
PC
、
OC
.
试证明：
P
A
<
PC
.
（
2
）直接运用：
如图
3
，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
< br>=
90
°，
AC
=
BC
=
2
< br>，以
BC
为直径的半圆交
AB<
/p>
于
D
，
»
上的一个动点，连接
AP
，则
AP
的最小值是
______________. <
/p>
P
是
CD
（
3
）构造运用：
如图
4
，在边长为
2
的菱形
ABCD
中，∠
A
=
60
°，
M
是
AD
边的中点，
N
是
AB
边上
一动点，将△
AMN
沿
MN
所在的直线翻折
得到△
A
'
MN
，连接
A
'
C
，请求出
A
'
B
长度的最小值
.
解：由折叠知<
/p>
A
'
M
=
AM
，又
M
是
AD
的中点，可得
MA
=
MA
'
=
MD
，故点
A
'
在以
AD
为直径的圆上
.
（请继续完成解题过程）
（
4
）综合应用：
①如图
5
，
E
，
F
是正方形
ABCD
的边<
/p>
AD
上两个动点，满足
AE
=
DF
.
连接
CF
交
BD
于点
G
，连接
BE
交
AG
于点
H
.
若正方形的边长为
2
，则线段
DH
长度的最小值是
__________.
②如图
6
，平面直
角坐标系中，分别以点
A
（
-
2
，
3
）
，
B
（
3
< br>，
4
）为圆心，以
1
、
2
为半径作⊙
A
、⊙
B
，
M
、
N
分别是⊙
A
、⊙
B
上的动点，
P
为
x
轴上的动点，则
< br>PM
+
PN
的最小值等于
________________.
1.
解：如图，取
AB
的中点
D
，连接
OD
、
CD
，
∵△
ABC
是等边三角形，
∴
CD
＝
×<
/p>
2
＝
，
∵∠
MON
＝
90<
/p>
°，
∴
OD<
/p>
＝
AB
＝
×
2
＝
1
，
由图可知，当点
O
、
C
、
D
三点共
线时点
C
到点
O
的距离最大，
最大值为
故答案为：
+1
．
+1
．
2.
解：
如图，取
CA
的中点
D
，连接
OD
、
BD
，
则
OD
＝
CD
＝
AC
＝
×
4
＝
< br>2
，
由勾股定理得，
BD
＝
＝
2
，
当
O
、
D
、
B
三点共线时点
B
到原点的距离最大，
所以，点
B
到原点的最大距离是<
/p>
2+2
故答案为：
2+2
．
．
3.<
/p>
解：当
O
、
D<
/p>
、
AB
中点共线时，
OD
有最大值和最小值，
如图，
BD
＝
2
∴<
/p>
DK
＝
，
BK<
/p>
＝
1
，
＝
，
OK
＝
BK
＝
1
，
，
∴
OD
的最大值为：
1+
同理，
把图象沿
AB
边翻折
180
°得最小值为：
1+
﹣
1
×
2
＝
+1<
/p>
）
（
﹣
1
，
﹣
1
）＝
12
．
∴顶点
D
到原点
O
的距离的最大值和最小值的乘积为：
（
故答案
为：
12
．
4.
解：
（
1
）
①
过点
C
作
y
轴的垂线，垂足为
D
，如图
< br>1
：
在
Rt
△
AOB
中，
AB
＝
12
< br>，
OB
＝
6
，则
BC
＝
6
，
∴∠
BAO
< br>＝
30
°，∠
ABO
＝
60
°，
又∵∠
CBA
＝
60
°，
∴∠
CBD
＝
60
°，∠
BCD
＝
30
°，
∴
BD
＝
3
，
CD
＝
3
，
，
9<
/p>
）
；
所以点<
/p>
C
的坐标为（﹣
3
②
设点
A
向右滑动的距离为
x
，根据题意得点
B
向
上滑动的距离也为
x
，如图
2
：
AO
＝
12
×
cos
∠
BAO
＝
12
×
cos
30
°＝<
/p>
6
∴
A
'
O
＝
6
．
﹣
x
，
B
'
O
＝
6+
x
，
A
'
B
'
＝
A
B
＝
12
在
△
A
'
O
<
/p>
B
'
中，由勾股定理得，