三角形中的边角关系命题与证明教案
蛙泳教学视频-
第
13
章
三角形中的边角关系、命题与证
明
13.1
三角形中的边角关系
第
1
课时
<
/p>
三角形中的边角关系
(
一
)
教学目标
【知识与技能】
1.
认识三角形
,
理解三角形的边角关系
< br>.
2.
知道三角形的高、中线
、角平分线等概念
,
并能作出三角形的一边上的高
.
3.
理解等腰三角形及
其相关概念
.
【过程与方法】
1.
经历三角形边长的数量关系的探索过程
,
理解三角形的
三边关系
.
2.
掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法
,
并运用此方
法解决有关问题
.
【情感、态度与价值观】
1.
带领学生探究三角形的边角关系问题
,
引起学
生的好奇心
,
激发学生的求知欲
.
2.
帮助学生树立几何知识源于生活并服
务于生活的意识
.
重点难点
【重点】
理解并掌握三角形的三边关系
.
【难点】
已知三条线段能构成三角形
,
求表示线段长度的代数式中字母的
取值范围
.
教学过程
一、创设情境
,
导入新知
教师多媒体出示
:
< br>教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放
,
让学生对三角形有一个感
性认识
,
如图所示
.
教师活动
:
通过播放图片
,
引导学生认识三角形
,
并提出
< br>:
图
(b)
中能找出几个三角形
,
这些三
角形具有怎样的特性
?
学生活动
:
回顾小学学过的三角形
,
与同桌交流
,
找出图
(b)
中的三
角形
.
教师归纳
:
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形
.
教师多媒体出示
:
师
:
你能指
出这个三角形的顶点有几个吗
?
分别是什么
?
生
:
这个三角形的顶点有三个
,
分别是
A<
/p>
、
B
、
C.
师
:
这个三角形
的边呢
?
生
:
边有三条
,
分别是
< br>AB
、
BC
和
< br>CA.
师
:
< br>对
.
我们把这个三角形记作
“<
/p>
△
ABC”,
读作
“
三角形
ABC”.
三角形的三边有
时用它所对角
的相应小写字母表示
.
如
边
AB
对着∠
C,
记作
c;
边
BC
< br>对着∠
A,
记作
a;
边
CA
对着∠
B,
记作
b.
也
就是说<
/p>
,
一边可用两个大写字母或一个小写字母表示
,
角可用
“
∠
”
加上一个大写字母表示
.
师
:
按边分类时
,
你知道的都有哪些三角形
?
生
:
等边三角形
.
师
:
等边三角形
是三条边都相等的三角形
.
如果不是三条边都相等
,
比如两条边相等
,
这类<
/p>
三角形叫什么三角形呢
?
生
:
等腰三角形
.
师
:
对
,
等边三角形是等腰三角形的特例
.
如果三条边都不相等呢
?
学生思考
.
师
:
我们把这类三角形叫做不等边三角形
.
教师多媒体出示
:
教师板书
:
三角形
(
按边分
)
师
:
在等腰三角形中
,
你能区分哪条边是
腰
,
哪条边是底吗
?
< br>
生
:
相等的两边叫做腰
,
第三边叫做底边
.
师
:
对
.
我们现在再来认识一下顶角和底角
.
两腰的
夹角叫做顶角
,
腰与底边的夹角叫做底
角
.
二、共同探究
< br>,
获取新知
师
:
请大家任意画出一个三角形
,
用刻度尺测量一下
,
并说说任意两边之和与第三边的关
系
.
学生操作
.
生
:
任意两边之和大于第三边
.
师
:
对
,
你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢
?
生
:
由所有两点之间的连线中线段最短得到
.
教师板书
:
三角形中任何两边的和大于第三边
.
师
:
对
.
根据不等式的性质
,
我们能得到三角形中任
意两边的差小于第三边
.(
教师板书
)
如
果三条线段要构成一个三角形
,
它们就要满足这两个条件
,
但是在实际计算
中
,
需要验证六个
不等式都成立吗
?
学生思考
,<
/p>
讨论
.
师
:
不等式
a+b>c,
你把
a
移到不等式的右边
,
这个不等式如何表示
?
生
:b>c-a.
< br>师
:
对
,
也就是
<
br>? <
br>由两个三角形两边之和大于第三边
c-a
由此你能得到什么启示
学生思考
.
生甲
:
同样的道理
,
,
可以得到两个三角形
两边之差小
于第三边
.
生乙
:
我们只要验证
“
三角形中任何两边的和大于第三边
”
和
“
三角形中任何两边的差小于
第三边
”
,
因为第二个条件由第一个得到
,
所以我们只要满足第一个条件即可
.
下面请大家看一
个例题
.
教师多媒体出示
:
【例】
等腰三角形中
,
周长为
18cm.
(1)
如果腰长是底边长的
2
倍
,
求各边长
;
(2)
如果一边长为
4c
m,
求另外两边长
.
师
:
请同学们思考后回答
.<
/p>
生
:
设等腰三
角形的底边长为
xcm,
则腰长为
2x
cm,
根据题意
,
得
< br>
x+2x+2x=18,
解方程得
x
的值
,
即底边长
,
然后求出腰长
.
师
:
当已知一边长为
4
cm,
但并未指明它是腰还是底时
,
应
该怎么求另外两边的长呢
?
生
:
要分
4cm
是腰长
和底边长两种情况来讨论
.
师
:
对
.
还要注意对得
到的三条线段能否构成一个三角形进行讨论
.
教师找两名学生板演
,
其余同学在下面做
,
然后集体订正
.
解
:(1)
设等腰三角形的底边长为
xcm,
则腰长为
2
xcm.
根据题意
,
得
x+2x+2x=18.
解方程
,
得
x=3.6.
所以三角形的三边长分
别为
3.6cm
、
7.2cm
、
7.2cm.
(2
)
若底边长为
4cm,
设腰长为
xcm,
则有
2x+4=18.
解方程
,
得
x=7.
若一条腰长为
4cm,
设底边长为
xcm,
则有
2×4+x=18.
解方程
,
得
x=10.
因为
4+4<10,
所以
,
以
4cm
为一腰不能构成三角形
.
所以
,
三角形的另外两边长
都是
7cm.
三、练习新知
师
:
请同学们判断用下列长度的三条线段能否组成一个三角形
.
(1)1cm
、
< br>2cm
、
3cm;
(2)2cm
、
3cm
、
4cm;
(3)4cm
、
5cm
、
6cm;
(4)5cm
、
6
cm
、
10cm.
< br>教师找四名同学回答
,
然后集体订正
.
师
:
同学们可以总结出判断三条线段能否构成一个三角形的简便方法吗
?
以题
(2)
为例
,
根据三角形任意两边的和大于第三边
,
我们要作几个判断
?
生<
/p>
:
三个
.
师
:
哪三个
?
生
:2+3>4,2+4>3,3+4>
2.
师
:
你
能不能用一个判断的结果得到这三条线段能否构成三角形
?
生
:……
师
:2+4
一定大于
3,3+4
一定大于
2,
因为长度为
4
的这一条边长已经大于
3
了
,
同样的长
度为
3<
/p>
或
4
的一条边长已经大于
2
了
.
生
:
只要看最长的一边是否小于其他两边之和
.
师
:
< br>很好
.
四、课堂小结
师
:
今天我们又学习了什么内容
?
生
:
我们学习了三角形的分类
,
等腰三角形的底边和腰
,
三角形三边的关系等
.
教师补充完善
.
教学反思
通过本节课的学习
,
使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形
,
并让学生知道怎
样判断三条线段是否能构成三角形
.
在判断三条线段能否构成三角形时
,
我们不对任意两边之
和是否大于第三边、任意两边之差是否小于第三边
一一验证
,
因为后面的式子可由前面的变
形得到
.
事实上
,
< br>只要看最长的一边是否小于其他两边之和即可
,
因为当这
个条件成立时
,
其他
的两边之和大于第
三边的式子也成立
.
通过这些方法的探讨使学生养成积极思考、
简化计算
的习惯
.
第
2
课时
<
/p>
三角形中的边角关系
(
二
)
教学目标
【知识与技能】
1.
掌握三角形的内角和定理
.
2.
能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题
.
【过程与方法】
经历实验探究
,
得出三角形的内角和定理
.
【情感、态度与价值观】
<
/p>
1.
通过带领学生探究三角形的角的数量关系
,
引起学生的好奇心
,
激发学生的
求知欲
.
2.
发展学生的合情推理能力
,
使学生养成独立思考的习惯
.
重点难点
【重点】
三角形的内角和定理
.
【难点】
三角形内角和定理的证明过程
.
教学过程
一、创设情境
,
导入新知
师
:
上节课我们把三角形按边来分类
,
并研究了三角形三边之间的关系
,
同学们还记得三<
/p>
角形的三边之间是什么关系吗
?
生
:
记得
.
三角形中任意两边之和大于第三边
,
任意两边之
差小于第三边
.
师
< br>:
对
.
那么如果按角来分类呢<
/p>
?
生
:
分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
.
师
:
你能说说它们分别是怎样定义的吗
?
生
:
能
.
三角形中
,<
/p>
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形
,
有一个角是直角的三角形叫
做直角三角形
,
< br>有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形
.
师
:
在介绍等腰三角形时
,
我们对它的边进行了区分
,
分为腰和
底边
.
直角三角形中
,
我们怎
么对它的边长加以区分呢
?
生
:
直角三角形中夹直角的两边
叫做直角边
,
直角相对的边叫做斜边
.
师
:
对
.
我们分别给它们取一个名字
,
这样以后就容易指出了
.
直角三角形可以写成
“
Rt
△
ABC”
,
我们把不是直角三角形的归为一类
,
称为斜三角形
,
所以斜三角形包括锐角三角形
< br>和钝角三角形
.
二、共同探究
,
获取新知
师
:
我们再回忆一下
,
在一个三角形中三个内角之间有什么关系
?
生
:
三角形的三个内角和是
180°
.
师
< br>:
你还记得在小学时
,
我们是怎
样知道这个关系的吗
?
生
:
用折叠和剪拼的方法得到的
.
< br>
师
:
好
.
请同学们拿出一张纸
,
画出一个三
角形
,
并将它剪下来
.
学生交流讨论后操作
.
<
/p>
师
:
将纸片三角形的一角折向其对边
,
使顶点落在对边上
,
折线与对边平行
,
然后把另外两
角
相向对折
,
使其顶点与已折角的顶点嵌合
.
学生操作
.
教师多媒体出示
:
< br>师
:
这样我们就得到了什么结论
?
生
:
三角
形的内角和是
180°
.
教师多媒体出示
:
师
:
现在请同学们自己用剪拼的方法证明一下
,
看你们能不能得到这样的结果
.
学生操作
.
生
:
能得到同样的结论
:
三角形的内角和是
180°
.
师
:
很好
!
你们还有什么方法来证明这个结论吗
?
生
:
用量角器量
< br>.
师
:
对
,
你们在纸上画出一个三角形
,<
/p>
然后用量角器量它的三个内角
,
看它们有
什么关系
?
学生操作后回答
.
< br>师
:
同学们思考一下一个三角形中最多有几个钝角
?
学生计论后回答
:
一个
.
师
:
你是怎样得出的结论
?
生
:
因为一个三角形的内
角和是
180°
,
钝角是大于
90°
的角
,
若有两个
钝角
,
三个内角的和
就超过
180°
了
,
所以至多有
一个钝角
.