三角形外接内切圆半径与边长关系
别妄想泡我
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2021年02月09日 05:24
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一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为
a,b,c
外接圆半径为
R
，
（如右图所示）
a
2
b
2
c
2
cos
cos
sin
sin
则
cos(
)
2
ab
c
R
b
（余弦定理）
b
b
而
cos
2
，
sin
R
2
R
a
a
cos
2
，
sin
R
2
R
b
2
2
R
4
R
a
2
R
< br>4
R
2
2
α
β
a
b
2
a<
/p>
2
2
R
R
a
2
b
2
c
2
b
a
4
4
即有：
2
ab
2
R
2
R
R
R
2
2
2
2
a
2
b
2
c
2
ab
(
4
R
b
)(
4
R
a
)
即
有：
ab
2
R
2
a
2<
/p>
b
2
c
2
)
(
4
R
2
b
2
)(
< br>4
R
2
a
2
)
所
以：
ab
2
R
(
ab
2
a
2
b
2
c
2
2
)
16
R
4
4
(
a
2
b
2
)
R
2
a
2
b
2<
/p>
即有：
(
ab
)
4
R
(
a
b
c
)
4
R
(
ab
2
2
2
2
2
4
a
2
b
2
c<
/p>
2
2
)
]
，即：
a
2
b
2
c
2
R
2
[
4
a
2
b
2
(
a
2
b
2
c<
/p>
2
)
2
]
所以：
c
R
[
4
(
ab
2
2
所以：
R
abc
(
a
b
c
)(
a
b
c
)(
a
c
b
)(
b
c
a
)<
/p>
而三角形面积：
4
S
(
a
b
c<
/p>
)(
a
b
c
)(
a
c
b
)(
b
c
a
)
（海伦公式）
所以，有：
R
abc
4
S
a
b
2
c
2
a
2
2
R
，而
cos
A
※
另一求法，可用正弦定理，即：
si
n
A
2
bc
所
以：
R
a
a
2
2
sin
A
2
1
(cos
A<
/p>
)
a
b
2
c
2
a
2
2
2
1
(
)
2
bc
abc
< br>4
b
2
c
2
(
b
2
c
2
a
2
)
2