中考数学直角三角形的边角关系综合经典题及答案
一生平安-
中考数学直角三角形的边角关系综合经典题及答案
一、直角三角形的边角关系
1
．
已知在平面直角坐标系中，点
A
3,0
,
B
3,0
,
C
3,8
，以线段
BC
为直径作圆，
圆
心为
E
，直线
AC
交
e
E
于点
D
，连接
OD
.
（
1
）求证：直线
OD
是
e
E
的切线；
（
2
）点
F
为
x
轴上任意一动点，连接
CF
交
e
E
于点
G
，
连接
BG
：
①
当
t
an
ACF
②
求
1
时，求所有
F
点的坐标
（直接写出）；
7
< br>BG
的最大值
.
CF
BG
1
43
,0
，
F
2
(5,0)
；
②
的最大值为
.
2
CF
31
【答案】（
1
）见解析；（
2
）
①
F
1
【解析】
【分析】
（
1
）连接
DE
，证明
< br>∠
EDO=90°
即可；
（
2
）
①
分
“
F
位于
AB
上
”
和
“
F
位于
BA
的延长线上
”
结合相似三角形进行求解即可；
②
作
GM
BC
于点
M
，证明
ANF
1
~
ABC
，得<
/p>
【详解】
（
1
）证明：连接
DE
，则：
BG
1
，从而得解
.
CF
2
∵
BC
为直径
∴
BDC
90
∴<
/p>
BDA
90
∵
OA<
/p>
OB
∴
OD
OB
OA
∴
OBD
ODB<
/p>
EB
ED
∴
EBD
EDB
∵
∴
EBD
OBD
EDB
O
DB
即：
EBO
EDO
∵
CB
x
轴
∴
EBO
90
∴
ED
O
90
∴
直线
OD
为
e
E
的切线
.
（
2
）
①
如图
1
，当
F
位于
AB
上时：
∵
ANF
1
~
ABC
AN
NF
1
AF
1
<
/p>
AB
BC
AC
∴
设
AN
<
/p>
3
x
，则
NF<
/p>
1
4
x
,
AF
1
5
x
∴
∴
CN
CA
AN
10
3
x
< br>∴
tan
ACF
∴
AF
1
5
x
F
1
N
4
x
1
10
，解得：
x
CN
10
3
x
7
31
50
31
50
4
3
OF
1
3
31<
/p>
31
43
<
/p>
,0
31
即
F
1
如图
2
，当
F
位于
BA
的延长线上时：
∵
AMF
2
~
ABC
∴
设
AM
3
x
，则
MF
2
4
x
,
AF
2
5
x
∴
CM
CA
AM
10
3
x
∴
tan
ACF
解得：
x
F
2
M
4
x
1
CM
< br>10
3
x
7
2
5
∴
AF
2
5
x
2
OF
2
3
2
5
即
F
2
(5,0)
②
如图，作
GM
BC
于点
M
，
∵
BC
是直径
∴
CGB
CBF
9
0
∴
<
/p>
CBF
~
CG
B
BG
MG
MG
C
F
BC
8
∵
M
G
半径
4
∴
BG
MG
4
1
CF
8
8
2
BG
1
∴
的最大值为
.
2
CF
∴
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟
练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和
性质和相似比计算线段的长
；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问
题．
2
．
在等腰
△
ABC
中，
∠
B=90°
，
AM
< br>是
△
ABC
的角平分线，过点<
/p>
M
作
MN
⊥
AC
于点
N
，
∠
EMF=135°
．将
< br>∠
EMF
绕点
M
旋转，使
∠
EMF
的
两边交直线
AB
于点
E
，交直线
AC
于点
F
，请解答下列问题：
（
1
）当
∠
EMF
绕点
M
旋转到如图
①
的位置时，求证：
BE+CF=BM
；
（
2
）当
∠
EMF
绕点
M
旋转到如图
②
，图
< br>③
的位置时，请分别写出线段
BE
，
CF
，
BM
之间
的数量关系，不需要证明；
（
3
）在（
1
）
和（
2
）的条件下，
tan
∠
BEM=
，
AN=
+1
，则
BM=
，
CF=
．
【答案】（
1
）证明见解析（
2
）见解析（
3
）
1
，
1+
【解析】
【分析】
或
1
﹣
(1)
由等腰
△
A
BC
中，
∠
B=90°
，
AM
是
△
< br>ABC
的角平分线，过点
M
作<
/p>
MN
⊥
AC
于点
N
，可得
BM=MN
< br>，
∠
BMN=135°
，又
∠
EMF=135°
，可证明的
△
BME
≌
△
NMF
，可得
BE=NF
，
NC=NM=BM
进而得出结论；
（
2
）
①
如图
②
时，同（
1
）可证
△
BME
≌
△
NMF
，可得
< br>BE
﹣
CF=BM
，
②
如图
③
时，同（
1
）可证
△
BME
≌
△
NMF<
/p>
，可得
CF
﹣
B
E=BM
；
(3)
在
Rt
△
ABM
和
Rt
△
ANM
中，
，
可得
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
ANM
，后分别
求出
AB
、
AC
、
CN
、
BM
、
B
E
的长，结合（
1
）（
2
）的
结论对图
①②③
进行讨论可得
CF
的长
.
【详解】
（
1
）证明：
∵
< br>△
ABC
是等腰直角三角形，
∴
∠
BAC=
∠
C=45°
，
∵
AM
是
∠
BAC
的平分线，
MN
⊥
AC
，
∴
BM=MN
，
在四边形<
/p>
ABMN
中，
∠
，
BMN=360°
﹣
90°
﹣
90°
﹣
45°
=135°
，
∵
∠
ENF=135°
，，
∴
∠
BME=
∠
NMF
，
∴
△
BME
≌
△
NMF
，
∴
BE=NF
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，<
/p>
∴
∠
CMN=
∠
C=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
CN=CF+NF
，
∴
BE+CF=BM
；
（
2
）针对图
2
，同（
1
）的方法得，
△
BME
≌<
/p>
△
NMF
，
<
/p>
∴
BE=NF
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，
∴
∠
C
MN=
∠
C=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
NC=NF
﹣
CF
，
∴<
/p>
BE
﹣
CF=BM
；
针对图
3
，同（
1
）的方法得，
△
BME
≌
△
NMF
，
∴
BE=NF<
/p>
，
∵
MN
⊥
AC
，
∠
C=45°
，
∴<
/p>
∠
CMN=
∠
C
=45°
，
∴
NC=NM=BM
，
∵
NC=CF
﹣
NF
，
∴
CF
﹣
BE=BM
；
（<
/p>
3
）在
Rt
△<
/p>
ABM
和
Rt
△
ANM
中，
∴
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
ANM
（
HL
），
∴
AB=AN=
∴
AC=
+1
，
+1
，
+1
）
=1
，
，
=1
，
=
=
，
，
﹣（
+1
﹣
CN=
在
R
t
△
ABC
中，
AC=AB=
AB=2+
∴
CN=A
C
﹣
AN=2+
∴
BM=BC
﹣
CM=
，
在
Rt
△
CMN
中，
CM=
在
Rt
△
BME
中，<
/p>
tan
∠
BEM=
∴
BE=
，
∴
①
由（
1
）知，如图
1
，
BE+CF=BM
，
∴
CF=BM
﹣
BE
=1
﹣
，
②
由（
2
）知，如图
2
，由
tan
∠
BEM=
∴
此种情况不成立；
③
由（
2
）知，如
图
3
，
CF
﹣
BE=BM
，
∴
CF=BM+BE=1+
，
故答案为
1
，
1+
【点睛】
或
1
﹣
．
本题
考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解
.
3
．
已知
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB=90°
，点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
边上，连结
BE
、
AD
交于点
P
，
设
AC=kBD
，
CD=kAE
，
k
为常数，试探究
∠
APE
的度数：
（
1
）如图
1
，若<
/p>
k=1
，则
∠
A
PE
的度数为
；
（
2
）如图
2
，若
k=
3
，试问（
1
）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成
立，求出
∠
APE
的度数．
（
3
）如图
3
，若
k=
3
，且
< br>D
、
E
分别在
< br>CB
、
CA
的延长线上，（
2
）中的结论是否成立，
请说明理由．
【答案】（
1
）
45°
；（
2
）（
1
）中结论不成立，理由见解析
；（
3
）（
2
）中结论成立，理
由见解析
.
【解析】
分析：（
< br>1
）先判断出四边形
ADBF
是
平行四边形，得出
BD=AF
，
BF=
AD
，进而判断出
△
FAE
≌
△
ACD
，得出
EF=AD=BF
，再判断出
∠
EFB=90°
，即可得出结论；
（
2
）先判断出四边形
ADB
F
是平行四边形，得出
BD=AF
，<
/p>
BF=AD
，进而判断出
△
FAE
∽
△
ACD
，再判断出
∠
EFB=90°
< br>，即可得出结论；
（
3
）先判断出四边形
ADBF
是平行四边形，得
出
BD=AF
，
BF=AD
，进而判断出
△
ACD
∽
△
HEA
，再判断出
< br>∠
EFB=90°
，即可得出结论；
详解：（
1
）如图
1
，过点
A
作
AF
∥
CB
，过点
B
作
BF
∥
AD
相交于
F
，连接
EF
，
∴
∠
FBE=
∠
APE
，
∠
FAC
=
∠
C=90°
，四边形
ADBF
是平行四边形，
∴
BD=AF
，
BF=AD
．
∵
AC=BD
，
CD=AE
，
<
/p>
∴
AF=AC
．
∵
∠
FAC=
∠
C=90°
，
∴
△
FAE
≌
△
ACD
，
∴
EF=AD=BF
，
∠
FEA=
∠
ADC
．<
/p>
∵
∠
ADC+
∠
CAD=90°
，
< br>
∴
∠
FEA+
∠
CAD=90°
=
∠
EHD
．
∵
AD
∥
BF
，
∴
∠
EFB=90
°
．
∵
EF
=BF
，
∴
∠
FBE=45°
，
∴
∠
APE=45°
．
（
2
）（
1
）中结论不成立，理由如下：
如图
2
，过点
A
作
AF
∥
CB
，过点
B
作
BF
∥
AD
相交于
F
，连接
EF
，
∴
∠
FBE=
∠
APE
，<
/p>
∠
FAC=
∠
C
=90°
，四边形
ADBF
是平行四边
形，
∴
BD=AF
< br>，
BF=AD
．
∵
AC=
3
BD
，
CD=
3
AE
，
AC
CD
3
．
BD
AE
∵
BD=AF
，
∴
AC
CD
3
．
AF
AE
∵
∠
FAC=
∠
C=90°
，
<
/p>
∴
△
FAE
∽<
/p>
△
ACD
，
<
/p>
∴
AC
AD
BF
3
，
∠
FEA=
∠<
/p>
ADC
．
AF
EF
EF
∵
∠
ADC+
∠
CAD=90°
，
∴
∠
FEA+
∠
CAD=90°
=
∠
EMD
．
∵
AD
∥
BF
，
∴
∠
EFB=90°
．
∴
在
Rt
△
EFB
中，
tan
∠
< br>FBE=
∴
∠
FBE=30°<
/p>
，
∴
∠
APE=30°
，
EF
3
，
<
/p>
BF
3
（
3
）（
2
）中结论
成立，如图
3
，作
EH
∥
CD
，
DH
∥
BE
，
EH
，
DH
相交于
H
，连接
AH
，
∴
∠
APE
=
∠
ADH
，
∠
HEC=
∠
C=90°
，四边形
EBDH
是平行四边形，
< br>
∴
BE=DH
，
EH=BD
．
∵
AC=
3
BD
，
CD=
3
AE
，
AC
CD
3
．
BD
AE
∵
∠
HEA=
∠
C=90°
，
∴
△
AC
D
∽
△
HEA
，
∴
AD
A
C
3
，<
/p>
∠
ADC=
∠
H
AE
．
AH
EH
∵
∠
CAD+
∠
ADC=90°
，
∴
∠
HAE+
∠
CAD=90°
，
∴
∠
HAD=90°
．
< br>
∴
在
Rt
△
DAH
中，
tan
∠
ADH=
∴
∠
ADH=30°
，
∴<
/p>
∠
APE=30°
．
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和
性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．<
/p>
AH
3
，
AD
4
．
问题背景
:
如图（
a
）
,
点
A
、
B
在直线
l
的同侧，要
在直线
l
上找一点
C
< br>，使
AC
与
BC
的距离之和最
小，我们可以作出点
B
< br>关于
l
的对称点
B′,
连接
A B′
与直线
l
交于点
C
，则点
C
即为所求
.
（
1
）实践
运用：
如图
(b)
，已知，
⊙
O
的直径
CD
为
4
，点
A
在
⊙
O
上，
∠
ACD=30°
，
< br>B
为弧
AD
的中点，
P
为
直径
CD
上一动点，则
BP+AP
的最小值为
．
（
2
）知识拓展：
如图
(c)
，在
Rt
△
ABC
中，
AB=10<
/p>
，
∠
BAC=45°
，
∠
BAC
的平分线交
BC
于点
D
，
E
、
F
分别是
线段
AD
和
AB
上的动点，求
BE+EF
的最小值，并写出解答
过程．
【答案】解：（
1
）
2
2
．
（
2
）如图，在斜边
AC
上截取
AB′=AB
，连接
BB′
．
∵
AD
平分
∠
BAC
，
∴
点
B
与点
B′
关于直线
AD
对称．
< br>
过点
B′
作
< br>B′F
⊥
AB,
垂足为
F
，交
AD
于
E
，连接
BE
．
则线段
B′F
的长
即为所求
(
点到直线的距离最短
)
．
在
Rt<
/p>
△
AFB
/
中，
∵
∠
BAC=45
0
,
AB
/
=
，
∴
∴
BE+EF
的最小值为
【解析】
试题分析：（
1
）找点
A
或
点
B
关于
CD
的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和
MN
的交点<
/p>
P
就是所求作的位置，根据题意先求出
∠
C′AE
，再根据勾股定理求出
AE<
/p>
，即可
得出
PA+PB
< br>的最小值：
如图作点
B
关于
CD
的对称点
E
，连接
AE
交
CD
于点
P
，此时
PA+PB
最小，且等于
A
．作直
径
AC′
，连接
C′E
，
根据垂径定理得弧
BD=
弧
DE
．
．
∵
∠
ACD
=30°
，
∴
∠
AOD=60°
，
∠
DOE=30°
．
∴
∠
AOE
=90°
．
∴
∠
C′AE=45°
．
又
AC
为圆的直径，
∴<
/p>
∠
AEC′=90°
．
< br>
∴
∠
C′=
< br>∠
C′AE=45°
．
∴
C′E=AE=
∴
AP+BP
的最小值是
2
2
．
AC′=
2
2
．
（
2
）首先在斜边
AC
上截取
A
B′=AB
，连接
BB′
，再过点
B′
作
B′F
⊥<
/p>
AB
，垂足为
F
，交
AD
于
E
，连接
BE
，则线段
B′F
的长即为所求．
5<
/p>
．
如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼
< br>AB
的高度，由于教学楼底部不能直接到
达，故兴趣小组
在平地上选择一点
C
，用测角器测得主教学楼顶端
A
的仰角为
30°
，再向主
教学楼的方向前进
24
米，到达点
E
处（
C
，
E
，
B
三点在同一直
线上），又测得主教学楼顶
端
A
的仰角
为
60°
，已知测角器
CD
的高度为
1.6
米，请计算主教学楼
AB
的高
度．（
3
≈1.73
，结果精确到
0.1
米）
【答案】
22.4m
【解析】
【分析】
首先分析图形，根据题意构
造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构
造等量关系，进而求解．<
/p>
【详解】
解
：在
Rt
△
AFG
中，
tan
∠
AFG
=
3
，
< br>∴
FG
=
AG
< br>AG
，
tan
AFG
3
AG
，
CG
在
Rt
△
ACG
中，
tan
∠
ACG
=
∴
CG
=
AG
=
3
AG
．
tan
ACG
又
∵
CG
﹣
FG
=24
m
，
AG
=24<
/p>
m
，
即
3
AG
﹣
3
∴
AG
=12
3
m
，
∴
AB
=12
3
+1.6≈
22.4
m
．
»
.
6
．
如图，已知，在
e
O
中，弦
AB
与弦
< br>CD
相交于点
E
，且
»
AC
BD
（
1
）求证：
AB
CD
；
（
2
）如图
，若直径
FG
经过点
E
，求证：
EO
平分
AED
；
»
上，连接
FP
交
AB
于点
M
，连接
MG
，若
（
3
）如图，在（
2
）的条件下，点
P
在
CG
AB
CD
，
MG
平分
PMB
，
MG
2
，
FMG
的面积为
2
，求
e
O
的半
径的长
.
【答案】（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
e<
/p>
O
的半径的长为
10
.
【解析】
【分析】
(1)
利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
（
2
）连接
AO
、
DO
，过点
O
< br>作
OJ
AB
< br>于点
J
，
OQ
< br>
CD
于点
Q
< br>，证明
AOJ
DOQ
得出
OJ
OQ
，根据角平分线的判定定理可得结论；<
/p>
（
3
）如图，
延长
GM
交
e
O
于点
H
，连接
HF
，求出
FH
< br>2
，在
HG
上取点
L
，使
HL
FH
，延长
FL
交
e
O
于点
K
，连接
KG
，求出
FL<
/p>
2
2
，设
HM
n
，则有<
/p>
LK
KG
<
/p>
2
2
n
，
FK
FL
LK
2
2
n
，再证明
2
2
KFG
EMG
HMF
，从而得到
tan
KFG
tan
HMF
，
LK
和
FK
的值可得
n=4,<
/p>
再求得
FG
的长，最后得到圆的半径为<
/p>
10
．
【详解】
KG
HF
，再代入
FK
HM
»
，
∴
< br>»
»
BD
»
CB
»
，
解：（
1
）证明：
∵
»
AC
< br>
BD
AC
< br>CB
∴
»
AB
< br>
»
CD
，
∴
AB
CD
.
（
2
）证明：如图，连接
AO
、
DO
，过点
O
作
OJ
AB
于点
J
，
OQ
CD
于点
Q
，
∴
AJO
DQO
90
，
AJ
又
∵
AO
DO
，
∴
AOJ
DOQ
，
∴
OJ
OQ
，
又
∵
OJ
AB
，
OQ
CD
，
∴
EO
< br>平分
AED
.
1
1
AB
< br>
CD
DQ
< br>，
2
2
（
3
）解：
∵
CD<
/p>
AB
，
∴
AED
90<
/p>
，
1
AED
45
，
2
如图，延长
GM
交
e<
/p>
O
于点
H
，连接
HF
，
由（
2
）知，
A
EF
∵
F
G
为直径，
∴
H
90
，
S
MFG
∵
MG
2
，
∴
FH
<
/p>
2
，
1
MG
FH
2
，
2
在
HG
上取点
L
，使
HL
FH
，延长
FL
交
e
O
于点
K
，连接
KG
，
∴
HFL
HLF
45<
/p>
，
KLG<
/p>
HLF
<
/p>
45
，
∵
FG
为直径，
∴
K
90<
/p>
，
∴
KGL
90
KLG
4
5
KL
G
，
∴
LK
KG
，
在<
/p>
Rt
FHL
中
，
FL
2
F
H
2
HL
2
，
FL
2<
/p>
2
，
设
HM
n
，
HL
MG
2
，
∴
GL
LM
MG
HL
LM
HM
n
，
在
< br>Rt
LGK
中，
LG
2
LK
2
KG
2
，
LK
KG
2
n
，
2
FK
FL
LK
2
2
2
n
，
2
∵
GMP
GMB
，
∵
PMG
HMF
，
∴
HMF
GMB
，
∵
AEF
1
AED
45
，
<
/p>
2
∴
MGF<
/p>
EMG
MEF
45
，
MGF
KFG
HLF
45
，
∴
KFG
EMG
HMF
，
∴
tan
KFG
tan
HMF
，
∴
KG
HF
，
∴
FK
HM
2
n
2
2
2
2
n
2
2
，
n
<
/p>
4
，
n
∴
HG
HM
MG
6
，
在
Rt
HFG
中，
FG
2
FH
2
HG
2
，
FG
2
10
，
FO
10
.
即
e
O
的半径的长为
10
.
【点睛】
考查了
圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添