2021届湖南长沙市一中新高三原创预测试卷(一)数学
红楼梦妙玉-
2021
届湖南长沙市一中新高三原创预测试
卷（一）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1
、考试范围：高考范围。
2
、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别
字句印刷模糊不
清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3
、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹
模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当
马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4
、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用<
/p>
0.5
毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡
上的相应位置，
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
< br>用
2B
铅笔将答题卡上试卷
类型
A
后的方框涂黑。
< br>5
、选择题的作答：每个小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题
卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6
、
填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上
对应的答题区域内。
写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区
域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
上新答案；不准使用铅笔和
涂改液。不按以上要求作答无效。
7
、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2B
铅笔涂黑。答案用
0.5
毫米黑色签字笔写在答题卡上对应
的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选
修题答题区域的答案一律无效。<
/p>
8
、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不
破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9
、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共
60
分）
一、选择题：本大题共
12
个小题
,
每小题
5
分
,
共
6
0
分
.
在每小题给出的四个选项中，只
有一
项是符合题目要求的
.
1.
已知全集
U
R<
/p>
，集合
A
x<
/p>
x
x
5
0
，
B
x
y
3
x
，则
C
U
A
B
等于
（
）
A.
0,3
【答案】
D
【解析】
【分析】
求出
A
中不等式的解集确定出
A
，求出<
/p>
B
中
x
的范围确
定
B
，找出
A
的补集与
B
的交集即可
.
B.
0,5
C.
D.
0,3
- 1 -
【详解】由
A
中不等式解得：
x
0
或
x
≥
5
，即
A
,0
5,
，
< br>
C
U
A
0,5
，
由
B
中
y
3
x
可得
3
x
0
，解得
x
3
，即
B
,3
，
则
C
U
< br>A
B
0,3
.
故选：
D.
【点睛】本题考查了交、
并、补集
混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键
. <
/p>
2.
已知复数
z
A.
2
3
a
i
（
a
R
，
i
是虚数单位）为纯虚数，则实数
a
的值等于（
）
3
2
i
3
2
3
B.
C.
D.
2
3
2
【答案】
A
【解析】
z
a
i<
/p>
3
2
i
3
a
2
< br>3
2
a
i
，因为是纯虚数，所以
3
a
2
0
，
a
2
。
13
< br>13
故选
A
。
< br>
3.
在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：
“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描
述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共
有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的
2
倍，共有
381
盏灯
，问塔顶有几盏灯？（
）
A. 6
【答案】
D
【解析】
分析】
设塔顶有
x
盏灯，则由等比数列的前
n
项公
式列出方程可解得
x
．
7
x
(1
2
)
【详解】设塔顶有
x
盏灯，由题意得
381
< br>，解得
x
3
< br>．
1
2
B.
5
的
3
C. 4
D. 3
- 1 -
故选
D
．
<
/p>
【点睛】本题考查考查等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点
点倍加增”，说明每层灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前
n
项和公式可计算．
4.
在打击拐卖儿童犯罪的活动中
,
警方救获一名男
孩
,
为了确定他的家乡
,
警方进行了调查
:
知情人士
A
说
,
他可能是四川人
,
也可能是贵州人；
知情人士
B
说
,
他不可能是四川人；
知情人士
C
说
,
他肯定是四川人；
知情人士
< br>D
说
,
他不是贵州人
.
警方确定
,
只有一个
人的话不可信
.
根据以上信息
,
警方可以确定这名男孩的家乡是（
）
A.
四川
C.
可能是四川
,
也可能是贵州
【答案】
A
【解析】
【分析】
先确定
B,C
中必有一真一假，再分析出
A,D
< br>两个正确，男孩为四川人
.
【详解】第一步
,
找到突破口
B
和
C
的话矛盾
,
二者必
有一假
.
第二步
,
< br>看其余人的话
,
A
和
D
的话为真
,
因此男孩
是四川人
.
第三步
,
判断突破口中
B,C
两句话的真假
,
C
的话为真
,
B
的话为假
,
即男孩为四川
人
.
故选：
A
【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题
.
5.
正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
的中点为
M
，
DD
1
的中点为
N
，则异面直线
B<
/p>
1
M
与
B.
贵州
D.
无法判断
CN
所成的角为（
）
A.
30
【答案】
D
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义
，把直线
CN
平移和直线
B
1
M
相交，找到异面直线
B
1
M
与
CN
所成的
角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到
中点找中点的方法．
【详解】解：取
AA
1
的中点
E
，连接
EN
，
BE
< br>角
B
1
M
于点
O
，
则
EN
∥
BC
，且
EN
＝
BC
∴四边形
BCNE
是平行四边形
∴
BE
∥
CN
∴∠
BOM
就是异面直线
B
1
M
与
< br>CN
所成的角，
而
Rt△
BB
1
M
≌Rt△
ABE
B.
45
C.
60
D.
90
- 1 -
∴∠
< br>ABE
＝∠
BB
1
M
，∠
BMB
1
＝∠
AEB
，
∴∠
BOM
＝90°．
故选：
D
．
【点睛】此题是个基础题．考查异面直线所成的角，以及解决
异面直线所成的角的方法（平
移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．
6.
若函
数
f
(
x
)<
/p>
sin(2
x
)
的图像向左平移
（
0
）个单位，所得的图像关于
y
轴对称，
6
则当
最小时，
tan
（
）
A.
3
3
B.
3
C.
3
3
D.
3
【答案】
B
【解析】
【分析】
根据平移变换得到解析式后
,
利用所得的图像关于
y
轴对称列式
,
再求最小值
.
【
详
解
】
将
函
数
f
(
x
)
sin(2
x
)
的
图
像
向
左
平
移
< br>
（
0
）
个
单
位
后
,
得
到
函
数
6
y
sin[2(
x
<
/p>
)
]
sin(2
x
<
/p>
2
)
,
6
6
因为其图像
关于
y
轴对称
,
所以
2
6
<
/p>
k
2
,
k
Z
,
即
k
,
k
Z
,
2
3
因
为
0
,<
/p>
所以
k
0
时
,
取得最小值
故选
B
.
,
此时
ta
n
tan
3
.
3
3
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换
,
以及对称轴
,
属于中档题
.
7.
如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个
半圆和
两条线段组成，则该几何体的表面积为（
）
- 1
-
A.
17
12
B.
20
12
C.
< br>12
12
< br>
D.
16
12
【答案】
B
【解析】
【分析】
根据三视图可确定几何体为
一个底面半径为
3
的半圆柱中间挖去一个底面半径为
1
的半圆柱；
依次计算出上下底面面积、大圆柱和
小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加
和得到结果
.
【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为
3
的半圆柱中间挖去一个底面半径为
1
的半<
/p>
圆柱
1
1
1
几何体表面积：
S
2
3
2
1
2
2
3
3
2
< br>
1
3
2
2
3
12<
/p>
20
2
2
2
本题正确选项：
B
【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明
确
表面积的具体构成情况
.
8.
m
,
n
是两条不同
的直线
,
,
是两个不同的平面
,
下列命题是真
命题的是（
）
A.
若
m
/
/
，
m
/
/
，则
/
/
C.
若
m
，
m
，则
< br>
【答案】
C
【解析】
【分析】
按照线面平行，垂直等等的判定或性质逐一分析即可
【详解】对于
A
,
平行
于同一条直线的两个平面可能相交
,
故
A
不正确
;
B.
< br>若
m
，
，
则
m
/
/
<
/p>
D.
若
m<
/p>
，
，则
m
- 1 -
对于
< br>B
,
直线
m
可能在平面
内
,
故
B
不正确
;
对于
C
,
根据平面与平面垂
直的判定定理可知
,
C
正确
;
对于
D
,
直线
m
与平面
可能斜交
,
故
D
不正确
.
故选
C
.
【
点睛】本题考查了空间直线、平面的平行、垂直的位置关系
,
意
在考查线面平行，垂直的判
定或性质
.
属于基础题
.
9.
下列结论正确的是
A.
当
x
2
时，
x
<
/p>
1
的最小值为
2
x
B.
当
x
0
时，
x<
/p>
1
2
x
1
C.
当
0
x
2
时，
x
无最大值
x
【答案】
B
【解析】
【分析】
结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可。
【详解】对于
A
，
x
+
D.
当
x
0
且
x
1
时，
lg
x
1
2
lg
x
1
5
1
在
[2
，+∞）上单调增，所以
x
=
2
时，
x
的
最小值为
，故
A
错误；
x
x
2
1
2
，当且仅当
x
=1
时，等号成立，故
B<
/p>
成立；
x
对于
B
，当
x
＞<
/p>
0
时，
x
对于
C
，
x
1
1
在（
0
，
2]
上单调增，所
以
x
=2
时，
x
取得最大值，故
C
不成立；
x
x
对于
D
，当
0
＜
x
＜
1
< br>时，
lgx
＜
0
，
故选
B
1
＜
0
，结论不成立；
lg
x
【点睛】本题主要考查利用基本不等式
及函数的单调性研究最值问题，属中等难度题。
10.
下列有关命题的说法正确的是（
）
A.
命
题“若
x
2
4
，则
x
2
”的否命题为：“若
x
2
4
，则
x
2
”
B. “
x
1
”是“
x
2
x
2<
/p>
0
”的必要不充分条件
C.
命题“
x
R
使得
x
3
x
< br>2
1
0
”的否定是：“对
x
R
均有
x
3
x
< br>2
1
0
”
-
1 -
D.
命题“若
x
y
，则
cos
x
cos
y
”的逆否命题为真命题
【答案】
D
【解析】
【分析】
根据四种命题的相互关系可
得
A
错误，
D
正确，
根据存在性命题的否定的结构形式可知
C
错误，
根据充分条件与必要条件的定义可判断
B
正确与否
.
【详解】对于
< br>A
，因为命题“若
x
2
4
，则
x
2
”的否命题为：“若
x
2
4
，则
x
2
”，<
/p>
故
A
错；
对于
B
，“
x
1
”是“
x
2
x
2
0
”的充分不必要条件，故
B
错；
对于
C
，
<
/p>
命题“
x
<
/p>
R
使得
x
3
x
2
1
0
”的否定是：<
/p>
“对
x
R
均有
x
3
x
2
1
0
”，
故
C
错；
对于
D
，
<
/p>
命题“若
x
y
，则
cos
x
cos
y
”是真命题，故其逆否命题
为真命题，所以
D
正
确，故选
D.
【点睛】本题考查四种命题的逆否命题的真假判断、否命题以及存
在性命题的否定，属于中
档题
.
11
.
在
ABC
中，
角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
< br>a
,
b
,
c
，
若
a
c
b
cos
C
b
cos
A
，
则
AB
C
的
形状为
( )
A.
等腰三角形
C.
等腰三角形或直角三角形
【答案】
C
【解析】
【分析】
判断
ABC
的形状可从边或者角两个方面考虑，将
a
c
< br>b
cosC
b
cos
A
利用余弦定理将
B.
直角三角形
D.
等腰直角三角形
a
< br>2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
角化成边，
a
c
b
，整理得到
a
c
或者
b
2<
/p>
c
2
a
2
，所
b
2
ab
2
bc
以
ABC
是等腰三角形或者直角三角形。
【详解】因为
a
c
b
cosC
<
/p>
b
cos
A
，<
/p>
- 1 -
a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
< br>2
所以，
a
< br>c
b
，
b
2
ab
2
bc
a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
< br>，
a
c
2
a
2
c
2
ac<
/p>
(
a
c
)
c
(
a
2
b
2
c
2
)
a
(
b
2
c
2<
/p>
a
2
)
，
2
ac
(
a
c
)
ca
2
cb
2
< br>c
3
ab
2
ac
2
a
3
，
2
ac
(
a<
/p>
c
)
c
(
a
2
c
2
)
b
2
(
a
c
)
a
(
a
2<
/p>
c
2
)
，
（
1
）
a
c
0
，即
a
< br>
c
；
（
2
）
a
c
0
时，<
/p>
2
ac
c
(
a
c
)
b
a
(
a
< br>c
)
，
化简得：
b
2
c
2
a
2
，
所以，角
B
为直角，
所以，
ABC
为等腰三角形或直角三角形。选
C.
【点睛】此题考查解三角形，一般此类题目都会用到正弦定理和余弦定
理实现边角互换解出
答案，有一定的灵活性，属于中档题目。
2
*
12.
已
知正项数列
a
n
的前
n
项和为
< br>S
n
，且
a
1
1
，
a
n
1
<
/p>
2
S
n
n
1
n
N
，设数列
2
1
的前
n
项和为
T
n
，则
T
n
的取值范围为（
）
a
n
a
n
1
A.
0,
<
/p>
2
1
B.
(0,1)
C.
(
,1)
1
2
1
D.
[
,1)
2
【答案】
D
【解析】
【分析】
2
先由
a
n
1
2
S
n
n
1
，根据题意求出
a
n
，
再由裂项相消法求出
T
n
，进而可得出
结果
.
2
【详解】因为
a
n
1
< br>
2
S
n
n
1
，
所以
a
n<
/p>
2
S
n
1
n
n
2
，
2
2
因此
a
n
1
a
n
2
S
n
S
n
1
1
2
a
< br>n
1
，即
a
n
1
a
n
<
/p>
1
，
2
2
2
- 1 -
又
a
n
为正项数列，所以
a
n
1
a
n
< br>
1
，
*
故数列
a
n
是以
1
为首项，
1
为公差的等差数列，所以
a
n
n
，
n
N
1
1
1
1
< br>
因此
，
a
n
a
n
1
n
n<
/p>
1
n
n
1
1
1
1
1
1
1
T
1
<
/p>
1<
/p>
所以
n
，
n
1
2
< br>
2
3
n
n
1
因为
n<
/p>
N
*
，所以<
/p>
故选
D
【点睛】本题主要考查等差数列
以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和
即可，属于常考题型
.
第Ⅱ卷（共
90
分
）
二、填空题（每题
5
分，满分
20
分，将答案填在答题纸上）
13.
函数
y
1
T
n
1
.
2
x
2
2
x
3
log
3
(
x
2)
的定义域为
< br>__________
．
【答
案】
(
2,
1]
[3,
)
【解析】
【分析】
根据偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列式可解得
.
x
2
2
x
3
0
【详解】由函数有意义可得
,
,
解得
2
x
1
或
x
3
,
x
2
0
故答案
:
(<
/p>
2,
1]<
/p>
[3,
)
.
【点睛】本题考查了函数含偶次根式和对数符号的函数的定义域的求法
< br>,
属于基础题
.
14.
已知单位向量
e
1
,
e
2
的夹角为
60
，则
|
e
1
2
e
2<
/p>
|
的值为
__________
．
【答案】
7
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积公式计算可得
.
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