【好题】高中三年级数学下期中试题(带答案)
沧海一声笑原唱-
【好题】高中三年级数学下期中试题
(
带答案<
/p>
)
一、选择题
1
．
在
ABC
中
,
a
,
b
,
c
分别为角
A
,
B
,
C<
/p>
所对的边
,
若
a
2
bcos
?
C
,<
/p>
则此三角形一定是
(
)
A
．等腰直角三角形
三角形
2
．
程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠
.
次第每人多十七，
要将第八数来言
.
务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：
996
斤棉花，分别赠送给
8
个子女做旅费，从第一个
开始，以后每人依次多
17
斤，直到第八个孩子为止
.
分配时一定
要等级分明，使孝顺子女的美德外传
，则第八个孩子分得斤数为（
）
A
．
65
B
．
184
C
．
183
2
2
B
．直角
三角形
C
．等腰三角形
D
．等腰三角形或直角
D
．
176
3
．
若直线
ax
by<
/p>
1
0
a
0,
b
0
把圆
x
4
y
1
16
分成面积相等的两部分，
则
1
2
的最小值为
(
)
<
/p>
2
a
b
B
．
8
C
．
5
则
2
y
x
的最大值是
(
)
C
．
1
D
．
2
D
．
4
A
．
10
<
/p>
4
．
已知实数
x
,
y
满足
{<
/p>
A
．
-2
x
y
0
x
y
2
0
< br>B
．
-1
5
．
在
ABC
中，内角
A
,
< br>B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，且
a
cos
B
4
c
b
cos
A
，则
cos2
A
（
）
7
A
．
8
B
．
1
8
C
．
7
8
< br>D
．
1
8
2
x
y
4
y
1
6
．
设实数
x
,
y
满足
x
2
y
2
，则
的最大值是（
）
x
x
1
0
A
．
-1
B
．
1
2
C
．
1
D
．
3
2
n
2
(
n
为奇数时
)
7
．
已知函数
f
(
n
)
2
，若
a
n
f
(
n
)
f
(
n
1)
，则
n
(
n
为偶数时
)
a
1
a
2
a
3
L
a
100
A
．
0
C
．
100
B
．
100
D
．
10200
8
．
已知等差数列
a
n
的前
n
项为
S
n
，且
a
1
a
5
14
，
S
9<
/p>
27
，则使
得
S
n
取最小值
时的
n
为（
）．
A
．
1
B
．
6
C
．
7
D
．
6
或
7
9
．
等差数列
a
n
满足
a
1
0,
a
2018
a
2019
0,
a
2018
<
/p>
a
2019
0
，则使前
n
项和
S
n
0
成
立
的最大正整数
n
是（
）
A
．
2018
B
．
2019
C
．
4036
D
．
4037
1
,
q
2
，则
a
4
与
a
8
的等比中项是
（
）
8
1
1
A
．±
4
B
．
4
C
．
D
．
4
4
11
．
若
0
a
1
，
b
c
1
，则
< br>(
)
10
．<
/p>
等比数列
a
n
中，
a
1<
/p>
A
．
(
)
1
b
c
a
B
．
c
a
c
b
a
b
C
．<
/p>
c
a
1
b
a
1
D
．
log
c
a
log
b
a
12
．
已知等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，且满足
S
n
,
S
n
2
,
S
n
1
成等差数列，则
a
3
等于
( )
A
．
1
2
B
．
1
2
C
．
1
4
< br>D
．
1
4
二、填空题
< br>
a
n
3
a
n
3
n
N
*
，当
13
．
数列
a
n
满足：
a
1
a
（
a
R
且为常数），
a
n
1
4
a
< br>n
a
n
3
a
100
时
，则数列
a
n
的前
100
项的和
S
100
为
________
.
14
．<
/p>
已知函数
f
(
x
)
x
1
，数列
{
a
n
}
是公比大于
0
的等比数列，且
a
6
< br>
1
，
x
f
(
a
1
)
f
(
a
2
)
f
(
a
3
)
f
(
a
9
)
< br>
f
(
a
10
)
a
1
，则
a
1
_______
.
< br>
15
．
已知数列
{
a
n
}
< br>的前
n
项和
S
< br>n
＝
n
2
＋
2
n
＋
1
(
n
∈
N
*<
/p>
)
，则
a
n
＝
________
．
16
．
已知△
< br>ABC
中，角
A
、
B
、
C
对应的边分别为
a
、
b
、
c
，且
bcosC
﹣<
/p>
ccosB
＝
3
tanC
，则
a
＝
_____
．
17
．
已知等差数列
a
n
的公差为
2
，前
n
项和为<
/p>
S
n
，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列
.
令
1
2
a
，
tanB
4
b
n
(
1)
n
1
18
．
在
4
n
，则数列
b
n
的前
100
的项和为
______
．
a
n
a<
/p>
n
1
中，若<
/p>
，则
__________
．
19
．
已知数列
a
n
的通项
a
n
1
，则其前
15
项的和等
于
_______
.
n
1
n
20
．
正项等比数列
a
n
满足
a
4
< br>a
2
18
，
a
6
a
2
90
，
则
a
n
<
/p>
前
5
项和为
__
______
.
三、解答题
21
．
解关于
x
的不等式
ax
2
2
x
ax
< br>
a
R
.
2
2
2
．
设
V
AB
C
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
< br>a
，
b
，
c
.
若
2
c
cos
C
a
cos
B
b
cos
A
.
（
1
）求角
C
.
2
2
（
2
）若
V
ABC
的面积为
S
，
且
4
S
b<
/p>
(
a
c
)
，
a
2
，求
S
.
23
．
在
ABC
中，
3
a
sin
C
c
cos
A
．
（
Ⅰ
< br>）求角
A
的大小；
（
Ⅱ
）若
S
ABC
3
，
b
c
< br>
2
2
3
，求
a
的值．
24
．
D
为
V
ABC
的边
BC
的中点．
AB
2
AC
2
AD
2
．
< br>
（
1
）求
BC
的长；
（
< br>2
）若
ACB
的平分线交
AB
于
E
，求
S
V
ACE
．
25
．
各项均为整数的等差数列
{
a
< br>n
}
，其前
n
< br>项和为
S
n
，
< br>a
1
1
，
a
2
，
a
3
，
S
4
1
成等比
数列．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
n
（
2
）求数列
{(
1)
•
a
n
}
的前
2
n
项和
T
2<
/p>
n
．
26
．
已知数列
a<
/p>
n
满足
a
1
a
n
1
,
a
n
1
.
< br>
2
2
a
n
1
（
1
）证明数列
1
是等差数列，并求
a
n
的通项公式；
a
n
1
，求数列
b
n
的前
n
项和
S
n
.
2
n
g
a
n
（
2
）若数列
< br>b
n
满足
b
n
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1
．
C
解析：
C
【解析】
a
2
b
2
<
/p>
c
2
a
2
b
2
c
2
在
ABC
中，
Q
cos
C
，
,
a
2
< br>b
cos
C
< br>2
b
2
ab
2
ab
a
2
a
2
b
2
c
2
，
b
c
,
此三角形一定是等腰三角形，故选
C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题<
/p>
.
判断三角形状的常
见方法是：（
1
）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内
角之间
的关系进行判断；
(2)
利用正
弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与
边之间的关系进行判断；（
3
）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形<
/p>
.
2
．
B
解析：
B
【解析】
分析：将原问题转化为等差
数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最
终结果
.
详解：由题意可得，
8
个孩子所得的棉花构成公差为
17
的等差数列
，且前
8
项和为
996
，
设首项为
a
1
，结合等差数列前
n
项和
公式有：
S
8
8
a
1
8
7
d
8
a
1
28
17
996
，
2
解得：
a
1
65
，则
a
8
a
1
7
d
< br>65
7
17
184
.
< br>
即第八个孩子分得斤数为
184
.
本题选择
B
选项
.
点睛：本题主要考查等差
数列前
n
项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.
3
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
由于直线将圆平分，故直线
过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“
1
”的代换的方
法以及基本不等式，求得所求和的最小值
.
【详解】
圆的圆心为
4,
1
，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即
4
a
b
1
0
，即
4
a
b
1
，故
当
1
2
1
2
b
8
a
b
8
a
4
a
b
< br>
4
4
2
8
，当且仅
2
a
b
2<
/p>
a
b
2
a
b
2
a
b
1
1
b
8
a
，即
< br>a
,
b
时，取得最小值为
8
.
故选
B.
2
a
b
8
2
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查
利用“
1
”的代换和基本不等式求解和式的最小
值问题
.
直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这
条直线是经过圆心的
.
要注意的是，圆
的标准方程是
x
< br>a
y
b
r
2
，圆心是
a
,
b
<
/p>
，所以本题的圆心是
4,
1
< br>，而不是
2
2
4,1
.
4
．
C
解析：
C
【解析】
作出可行域，如图
BAC
内部（含两边），作直线
l
:
2
y
< br>
x
0
，向上平移直线
l
，
z
2
y
< br>x
增加，当
l
过点
A
(1,1)
时，
z
2
1
1
1
是最大值．故选
C
．
5
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
根据题目条件结合三角形的
正弦定理以及三角形内角和定理可得
sin
A
< br>，
进而利用二倍角余
弦公式得到结果
.
【详解】
< br>∵
a
cos
B
< br>
4
c
b
cos
A
．
∴
s
in
A
cos
B
＝
4sin
C
cos
A
﹣
sin
B
cos
A
即
sin
A
cos
B
+sin
B
cos
A
＝
4cos
A
si
n
C
∴
si
n
C
＝
4cos
A
sin
C
∵
0
＜
C
＜
π
，
sin
C
≠
0
．
∴
1
＝
4cos<
/p>
A
，即
cos
A
2
1
，
4
7
．
8
那么
cos2
A
2
cos
A
1
故选
C
【点睛】
本题考查了正弦定理及二倍
角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
6
．
D
解析：
D
【解析】
【分析】
由约束条件确定可行域，由
的斜率求得答案．
【详解】
y
1
的几何意义，即可行域内的动点与定点
P
（
0
，
-
1
）连线
x
2
x
y<
/p>
4
由约束条
件
x
2<
/p>
y
2
，作出可
行域如图，
x
1
0
x
<
/p>
1
0
1
联立
，解得
A
（
1
，
），
2
x
2
y
2
0
y
1
的几何意义为可行域内的动点与定点
< br>P
（
0
，
-
1
）连线的斜率，
x
由图可知，
k
PA
1
1
3
最大．
2
1
2
故答案为
【点睛】
3
．
2
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
7
．
B
解析：
B
【解析】
试题分析：由题意可得，当
n
为奇数时，
a
n
f
(
n
)
f
(
n
1)
n
2
n
1
2
n
1
;
当
2
n
为偶数时，
a
n
f
(
n
)
f
(<
/p>
n
1)
n
2
n
1
2
2
< br>n
1
;
所以
a
1
a
2
a
3<
/p>
L
a
100
a
1
a
3
L
a
99
< br>a
2
a
4
L
a
100
2
1
3
5
L
99
99
2
2
4
< br>
6
L
100
99
100
，
故选
B.
考点：数列的递推公式与数列求和
.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
n
2
(
当
n
为奇数时
)
运算
能力，属于中档题
.
本题解答的关键是根据给出的函数
f
n
{
2
及
< br>
n
(
当
n
为偶数时
)
a
n
f
(
n
)
f
(<
/p>
n
1)
分别写
出
n
为奇数和偶数时数列
a
n
的通项公式，然后
再通过分
组求和的方法得到数列
a<
/p>
n
前
100<
/p>
项的和
.
8
．
B
解析：
B
【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，所以
的通项公式为
，解得
所以使得
取最小值时的
< br>为
，令
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数
，
，故选
B
．
，又
，所以数列
考点：等差数列的性质
.
9
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
根据等差数列前
n
项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前
n
项和
S
n
0
成立
的最大正整数
n
.
【详解】
由于等差数列
a
n
< br>满足
a
1
0,
a
2018
a
2019
0,
a
2018
a
2019
0
，所以<
/p>
d
0
，且
a
2018
<
/p>
a
2019
a
1
a
403
6
S
<
/p>
4036
a
2018
a
2019
2018
0
0
4036
2
< br>，所以
，所以使前
n
项和
a
a
2
a
0
1
4037
S
4037
2019
4037
0<
/p>
4037
2
2
S
n
0
成立的最大正整数
n
是
4036
.
< br>
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查等差数列前
n
项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题
.
10
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
利用等比数列
a
n
< br>的性质可得
a
6
＝
a
4
a
8
< br>
，即可得出．
2
【详解】
设
a
4
与
a<
/p>
8
的等比中项是
x
．
由等比数列
< br>a
n
的性质可得
a
6
＝
a
< br>4
a
8
，
x
a
6
．
2
∴
a
4
与
a
8
的等比中项
x
a
6
2
4
< br>．
故选
A
．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
< br>1
8
5
11
．
D
解析：
D
【解析】
【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析
【详解】
a
b
b
对于
A
，
Q
b
c
1
，
1
，
Q
0
< br>a
1
，则
1
，故错误
c
c
对于
B
，若
误
对于
C
，
Q
0
<
/p>
a
1
，
a
1
0
，
Q
b
c
1
，则
c
a
1
b
a
1
，故错误
对于
D
，
Q<
/p>
b
c
1
，
log
c
a
log
b
a
，故正确
故选
D
【点睛】
本题考查了不等式的性质，
由未知数的范围确定结果，属于基础题．
c
< br>
a
c
，则
bc
ab
cb
ca
，即
a
c
b
0
，这与
b
c
1
矛盾，故错
b
a
b
1
2
．
C
解析：
C
【解析】
试题分析：由
S
n
,
S
< br>n
2
,
S
n
1
成
等差数列可得，
S
n
2
S
n
S
n
1
S
n
<
/p>
2
，即
1
1
a
n
1
a
n
2
a
< br>n
2
，也就是
a
n
2
a
n
1
，所以等比数列
a
n
的公比
q
，从而
2
2
1
1
a
3
a
1
q
2
1<
/p>
(
)
2
，故选
C.
2
4
考点：
1.
等差数列的定义；
2.
等比数列的通项公式及其前
n
项和
.
二、填空题
13
．
【解
析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】
数列满足：（且为常
数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差
为的等差数列从项开始由于所以
奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】
解析：
1849
【解析】
【分析】
直接利用分组法和分类讨论
思想求出数列的和
.
【详解】
a
n
3<
/p>
a
n
3
n
N
*
，
数列
a
n
< br>
满足：
a
1
< br>
a
（
a
R
且为常数），
a
n
1
4
a
n
a<
/p>
n
3
当
a
100
时，则
a
1
100
，
所以
a
n
1
a
n
3
< br>（常数），
故
a
n
100
3
n
< br>1
，
所以数列的前
34
项为首项为
100
，公差为
3
的等差数列
.
从
< br>35
项开始，由于
a
34
1
，所以奇数项为
3
、偶数项为
1
，
所以
S
100
< br>
100
< br>1
34
66
2
2
3
1
1849
，
故答案为：
1849
【点睛】
本题考查了由递推关系式求
数列的性质、等差数列的前
n
项和公式，需熟记公式，同时也<
/p>
考查了分类讨论的思想，属于中档题
.
14
．
【解析】【分析】由于是等比数
列所以也是等比数列根据题目所给条件列
方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则
是首项为公比为的等比数列由
得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数
列的性质考查等
解析：
2
2
【解析】
【分析】
由于
a
n
是
等比数列，所以
的值
.
【详解】
设数列
a
n
的公比为
q
0
，则
1
也是等比数列
.
根据题目所给条件列方程，解方程求得
a
1
a
n
1
1
1
是首项为
，公比为
的
等比数列，由
a
q
< br>1
a
n
f
a
1
f
a
2
f
a
3
f
a
9
f
a
10
a
1
得