长绳测井深
ie8浏览器-
长绳测井深
“
长绳测井深
”
是一道好题。近
20
年来它经常出现在各种小学数学竞
赛试卷及数学
思维训练的辅导书中，
过去它还曾入选国家教育部审定
的初中一
年级的代数教科书。张奠宙教授在其所著的《数学教育学》
中谈到：数学抽象性的第一个
特点在于它研究思想材料，
“
长绳测井
深
”
就可认为是古代数学中留存下来的宝贵的思想材料。
其实，
早
在四百多年前，
“
长绳测井深
‟
就被我国明朝数学家程大位
写进了他的著作《算法统宗》中：
假如井不知深，先将绳三折入井，绳
长四尺，后将绳四折入井，
亦长一尺，问井深及绳长各若干。答曰：井深八尺，绳长三丈
六尺。
下面介绍我给低年级
小学生讲这道我国古算趣题的情况。不惮孤
陋，抛砖引玉，以期共勉。
< br>
正话反说为激趣
每当讲及此题时，
我都会先指
出它的
“
荒谬
”
之处：
“
唉呀
!
同学们想
想，
这太可笑了！
我猜古
代那个拿绳测井之人不是
„
大傻帽
‟<
/p>
就是个
„
神
经病
‟
！
”
同学们
听我这样说，有的呆、有的笑，但大家的精神都提起
来了，
听着
我说、
看着我表演。
我左手拿个玻璃杯，
右手拿把塑料尺，
1
/
13
<
/p>
比划着说：
“
大家看，假如要测这个杯子
的深度，人们都是用尺子直
接去量一量，就像我这样
,
把这尺子伸到杯子里去，看一下杯口处尺
子的刻度就知道杯子有多深了。
可是那个人拿着一根既无刻度又不知
长度的绳，去测一个不知深
度的井，能测出来吗
?!
更加可笑的是，他
也不是去量进入井里的那段绳子，
反而是去量井外余下的绳长，
你说
他不是发疯吗
!”
听我如此一
说，学生们都愣住了，越发迷惑了。我又
进一步说：
“
可是数学家程大位为什么要编这样的题呢
?”
[
评注
]
美国著名数学家和数学教育家乔治〃
波利亚在其所著的
《数学的发现》
中谈到：教不是一门科学，而是一种艺术。教学与唱戏显
然有不少共同之处。比
如，
你要给你这个班去讲一个很熟的证明
，
在过去多年中你已在同一课程中讲过
它多遍了，
你对此实际已无多大兴趣——但请千万不要在课堂上显露出来；
你要
摆出一副兴奋的样子，
还要表示出惊奇和得意，
你多少应当作些表演，
因为有时
候候你的学生也许从你的举止中
比从你所讲的主题中学学到的更多。
﹙
重点号为
本文作者所加
﹚
他的这些话，是我的课堂授课行为的绝
好解释。
一年级：诱发“顿悟”
记得十几年前，我首次选这个题目是给海淀区西苑小学的一年级
暑期
班的孩子们讲。
一天，
我无意中看到了华罗庚数学学校招二年级
新生的入学试卷上有
“
长绳测井深
”
的题，先是惊讶，继而就想大着胆
子试着
讲一讲。当然我事先做了适当的教学处理，简化数据、边说边
画示意图﹙如右图﹚：
2
/
13
小
明用一根长绳测量一口枯井的深度，
他把绳子的一端放至井底，井口外留下的绳
子长
3
米，
他把这根绳
子对折后再放至井底，
井口外绳子还余
1
米。求井深几米。
记得当
时我刚刚在黑板上画好图，就有个
小个子学生站起喊：
“
我知道，
井是
1
米深
。
”
我惊讶万分，
情不自禁地脱口而出
：
“
对
!
你是
怎么知道的？
”“
我是看出来的。
”“
你是怎么看
出来的
?”
他却吱吱唔唔说不出来了。噢
!
我明
白了，我不该问这么多
!
这是孩
子的
“
顿悟
”
。接下来的事情本该由我
讲给学生们听了。
[
评注
]
此事例使我认识到，
老师在讲课时要随时注意捕捉学生产生
的
“顿悟”
，
鼓励它，
释放它，
从而可得到好的教学效果，
千万不要把它与<
/p>
“瞎猜”
混淆起来，
加以申斥。英国
S.I.
罗伯逊教授在新著《问题解决心理学》一书中对“顿悟”<
/p>
案例进行了深入的解释，值得一读。书中说：“顿悟
﹙
insight
﹚
是一种现象，
< br>依靠它，
不需要什么明显的、
有意识的运算就能想出解决
办法。
解决办法就像是
突然闯入意识之中。”美国数学家
P.J.
戴维斯等在所著《数学经验》中写道：
“顿悟的闪现，……象征着某些真正的新事物、个人的新理解。”
我又重新画了图，并做了标记，然后就指着图讲：
3
/
13
“
同学们，大家看！我猜他是
这样看出来的：当小明把绳子对折后
再放入井中时，
”
此时我在图上做了个对折的动作，
“
绳的一半就
等于
3-1=2
米，
也就是说，
虚线的长是
2
米，
显
然放入井里边那段长
2-1=1
米，即井深
1
米。
”
讲完我问大家：
“
听懂了吗？
”“
懂了。
”
学
生齐声回答。
“
老师！
我想的和你讲的不一样
!”
突然那个
“
顿悟
”
的孩子又站来说，这又有点
出乎我的
意料。
“
那你是怎样想的，
说说看
!”
教室鸦雀无声，
显出了期待的气氛。我看他的胆子比刚才
大
些了，就鼓励他到黑板前照着图比划着说。
“
我想的是把弯下来的那一
半绳子拉上去，
拉直了，
像第一次不折那样，
< br>我就看出了：
3-1-l=1
﹙米﹚就是井深。
”
[
评注
]
为什么今天课上一年级的小学生也能产生
“顿悟”
呢
?
根源大概如戴
维斯所说：
“几何直觉在历史上和心理上都比算术直觉更为原始。
”
聪明的孩子，
看着示意图，来了灵感。波
利亚在《怎样解题》中写道：
“图形不仅是几何题目
的对象，<
/p>
而且对任何一开始跟几何没什么关系的题目，
图形也是一个重要的
帮手。
”
依题目画个示意图，可称之为进行以“信息可视化”为
目的的“表述转换”，它
4
/
13
<
/p>
把自然语言
﹙
属符号系统
﹚
所表述的内容
﹙
信息
﹚
转换成看得见、
摸得着的形象
化的具体图形，从而有利于思维操作。
<
/p>
我赶紧画了示意图，把他的话大声重述了一遍后问大家：
“
他说的
对不对
?”“
对
!”
同学们大声回答，
我带头鼓掌，
于是全班同学都鼓起掌
来
!
我意识到，今天的讲课大大地成功了。
二年级：教会猜测
“
教会猜测
”
是波利
亚对数学老师的明确要求和恳切呼吁。他在名
著《数学与猜想》中说：
< br>“
只要数学的学习过程稍能反映出数学的发
明过程的话，
那就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。
”“
要成为
一个好的数学家
……
你必须首先是一个好的猜
想家。
”
他在《数学的
发现》中文说：
“
让我们尽一切努力去教会证明，同时也教会猜想。
”
他甚至说：
“
我希望你
不要在
„
要让他们学习猜测
‟
这个问题上贻误了你
的学生。
”
看到他把话说到了这个份上，我为主动容，下决心要认真
地落实他的这种要求。
一次，我在给二年级学生讲
“
长绳测井深
”
时，机会来了。该题是：
5
/
13
小秋用一根绳子测量一口枯井的深度。他把绳子放入井
里，当绳
子一端到达井底后，井外还留有
15
< br>米；小秋又把这根绳子对折后再
放入井里，井外还留有
1
米。问井深和
绳长各多少米。
这次我遇到了不动脑子、喜欢
“
瞎猜
”
的学生。我还在黑板上画图的
时候，就
听到一声大喊：
“
绳子长
20
米。
”
我一愕
，
下意识地刚要喊
“
不许瞎猜
”
，但转念一
想又改变了主意。
我想到了波利亚的话：
“
无知的、不经心的学生常常是
„
瞎猜
”
一<
/p>
通，
我们必须教给他们的当然不是瞎猜、
而是
„
合理
‟
的猜测。
”
我意识到这正是教
猜想的好
机会。我开始和同学们一起猜
——
教学生学习
< br>“
逐步逼近法
”
，即
“
试算
与改进误差
”
的方法：试猜
→
检验，﹙若不对﹚再猜
→
再检验
……
逐<
/p>
渐接近目标值，一直到得出最终答案。略述如下。
猜绳长﹙米﹚
→
用两种方法计算井深﹙米﹚
→
检验﹙误差﹚
6
/
13