2020-2021长沙市湖南师大附中高三数学上期末一模试卷含答案
冬运会-
2020-2021
长沙市湖南师大附中高三数学上期末一模试卷含答案
一、选择题
n
1
．
数列
a
n
满足
a
n
a
n
1
1
n
，则数列
a
n
的前
20
项的和为
( )
A
．
100
B
．
-100
C
．
-110
D
．
110
2
．
程大位《算法统宗》里有诗云“九
百九十六斤棉，赠分八子做盘缠
.
次第每人多十七，
要将第八数来言
.
务要分明依次弟，孝和休惹外人
传.”意为：
996
斤棉花，分别赠送给
8
个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多
17
斤，直到第八个孩子为止
.
分配时一定
要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（
）
A
．
65
B
．
184
C
．
183
2
2
D
．
176
3
．
若直线
ax
by
1
0
a
0,
b
0
把圆
x
4
< br>y
1
16
分成面积相等的两部分，
则<
/p>
1
2
的最小值
为
(
)
2
a
b
B
．
8
C
．
5
D
．
4
A
．
10
<
/p>
4
．
若
S
n
是等差数列
a<
/p>
n
的前
n
项和，其首项
a
1
0
，
a
99
a
100
0
，
a
99<
/p>
a
100
<
/p>
0
，则
使
S
n
0
成立的最大自然数
n
是（
）
A
．
198
B
．
199
C
．
200
D
．
201
5
．
已知等差数列
a
n
满足
a
2
a
4
4
，
a
3
a
5
10
，则它的前<
/p>
10
项的和
S
1
0
（
）
A
．
138
6
．
若直线
B
．
135
C
．
95
D
．
23
<
/p>
x
y
1
a
0,
b
0
过点
(1,1)
，则
4
a
b
的最小值为（
）
a
b
A
．
6
B
．
8
C
．
9
D
．
10
<
/p>
a
10
1
，且它的前
n
项
和
S
n
有最大值，则使
S
n
0
成立的正
7
．
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
9
整数
n
的最大值是（
）
A
．
15
B
．
16
C
．
17
D
．
14
<
/p>
8
．
已知
a
,
b
R
,
且
a
b
A
< br>．
[1,4]
1
1
5
< br>,
则
a
b
的取值范围是（
）
a
b
C
．
(2,
4)<
/p>
D
．
(4,<
/p>
)
B
．
2,
x
y
0,
9
．
设
x
,
y
满足约束条件
x
y
2
0,
则
z
x
2
y
的最大值为（
）
2
x
y
4
0,
< br>
A
．
2
B
．
3
C
．
12
D
．
13
<
/p>
1
2
a
,0
a
,
n
n
3
2
10
．
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
若
a
1
，则数列的第
2018
项为
5
2
a
1,
1
a
1,
n
n
2
（
）
A
．
1
5
B
．
2
5
C
．
3
5
D
< br>．
4
5
11
．
ABC
中有：①若
A
B
，则
sin
A>
sin
B
；②若
sin
2<
/p>
A
sin
2<
/p>
B
，则
ABC
—
定为
等腰三角形；③若
acosB
b
cos
A
c
，则
ABC
—
定为直角
三角形
.
以上结论中正确的
个数有（<
/p>
）
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
12
．
在直角梯形
ABCD
中，
AB
//
CD
，
ABC
90
o
，
AB
2
BC
2
CD
，则
cos
DAC
（
）
A
．
2
5
5
B
．
< br>5
5
C
．
3
10
10
D
．
10
10
二、填空题
13
．
在
ABC
中，角
A
，
< br>B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.
C
A
2
，
sin
A
1
，
3
a
<
/p>
3
，则
b
______
.
14
．
已知数列
{
a
n
}
，
a
1
1
，<
/p>
na
n
1
(
n
1)
a
n
1
，若对于任意的
a
<
/p>
[
2,
2]<
/p>
，
n
N
*
，
不等式
a
n
1
3
a
2
t
恒成立，则实数
t
的取值范围为
________
n
1
x
y
1
15
．
已知
x
、
y
满足约束条件
{
x
y
< br>
1,
若目标函数
z
ax
by
a
0,
b
0
< br>的最大值为
2
x
y
2
7
< br>，则
3
4
的最小值为
_______
．
<
/p>
a
b
6
，则
BC
的长为
2
16
．
在钝角
V
A
BC
中，已知
AB
< br>7,
AC
1
< br>，若
V
ABC
的面积为
______
．
17
．
若关于
x
的不等式
2
x
1
ax
2
的解集中的整数恰有
3
个，则实数
a
的取值范
围是
________________
．
18
．
已知
a
、
b
、
c
R
，
c<
/p>
为实常数，则不等式的性质
“
a
b
a
c
b
< br>
c
”
可以用一个
函数在
R
上的单调性来解析，这个函数的解析式是<
/p>
f
(
x
)
=
_________
1
2
n
2
n
19
．
设
(
1
x
)
<
/p>
(1
x
)
L
(1
x
)
a
0
a
1
x
a
2
x
L
a
n
x
，其
中
n
N
<
/p>
，且
2
n
2
，若
a
0
a
1
a
2
L
a
n
1022
，则
n
=
_____
20
．
在数列
a
n
中，
a
1
1
，且
a
n
是公比为
1
的等比数列．设
3
T<
/p>
n
__________
．
(
n
< br>N
*
)
T
n
a
1
a
3
a
5
L
a
2
n
1
，则
lim
n
三、解答题
21
．
设
a
n
是等差数列，公差为
d
，前
n
项和为
< br>S
n
.
（
1
）设
a
1
40
，
a
6
38
，求
S
n
的最大值
.
（
2
）设
a
1
1
，
b
n
2
a
(
n
N
*
)
< br>，数列
b
n
< br>的前
n
项和为
T
n
，且对任意的
n
N
*
，都有
n
T
n
20
，求
d
的取值范围
.
22
．
已知在
ABC<
/p>
中，角
A
，
B<
/p>
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
且
2
a
cos
C
c
2
b
.
（
1
）求角
A
的大小；
（
2
）若
a
1
，求
ABC
面积的最
大值。
23
．
在
△
ABC
中，
A
,
B
,
C
对应的边为
a
,
b
,
c
.
已知
a
cos
C
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）若
b
< br>4,
c
6
，求
cos
B
和
< br>cos
A
< br>2
B
的值
.
24
．
某企业生产
A
、
B
< br>两种产品，生产每
1
t
产品所需
的劳动力和煤、电消耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤
t
电
kW
h
1
c
b
.
2
A
B
3
10
9
4
4
5
已知生
产
1
t
A
产品
的利润是
7
万元，生产
1
t
B
产品的利润是
12
万元
.
现因条件限制，企业
仅有劳动力
300
个，煤
36
0
t
，并且供电局只能供电
200
kW
h
，则企业
生产
A
、
B
两
种产
品各多少吨，才能获得最大利润？
25
．
在等比数列
a
n
中，
< br>a
1
a
2
5
，且
a
2
a
3<
/p>
20
.
（
1
）求
a
n
的通项公式；
（
2
）求数
列
3
a
n
<
/p>
a
n
的前
n
项和
S
n
.
26
．
已知
a
0
，
b
0
，且
a
b
< br>1
.
（
1
）若
ab
m
恒成立，求
m
的取值范围；
（
2
）
)
若
4
1
2
x
1
x
2
恒成
立，求
x
的取值范围
.
a
b
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
n
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
(
1)
n
，可得
a
2
k
﹣
1
+
a
2
k
< br>＝﹣（
2
k
﹣
< br>1
）．即可得出．
【详解】
n
∵数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
(
1)
n
，∴
a
2
k
﹣
1
+
a
2
k
< br>＝﹣（
2
k
﹣
< br>1
）．
则数列
{
a
n
}
的前
20
项的和＝﹣（1+3+……+19）
故选：
B
．
【点睛】
10
1
19
2
100
．
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，
属于中档
题．
2
．
B
解析：
B
【解析】
分析：将原问题转化为等差
数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最
终结果
.
详解：由题意可得，
8
个孩子所得的棉花构成公差为
17
的等差数列
，且前
8
项和为
996
，
设首项为
a
1
，结合等差数列前
n
项和
公式有：
S
8
8
a
1
8
7
d
8
a
1
28
17
996
，
2
解得：
a
1
65
，则
a
8
a
1
7
d
< br>65
7
17
184
.
< br>
即第八个孩子分得斤数为
184
.
本题选择
B
选项
.
点睛：本题主要考查等差
数列前
n
项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.
3
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
由于直线将圆平分，故直线
过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“
1
”的代换的方
法以及基本不等式，求得所求和的最小值
.
【详解】
圆的圆心为
4,
1
，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即
4
a
b
1
0
，即
4
a
b
1
，故
当
1
2
1
2
b
8
a
b
8
a
4
a
b
< br>
4
4
2
8
，当且仅
2
a
b
2<
/p>
a
b
2
a
b
2
a
b
1
1
b
8
a
，即
< br>a
,
b
时，取得最小值为
8
.
故选
B.
2
a
b
8
2
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查
利用“
1
”的代换和基本不等式求解和式的最小
值问题
.
直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这
条直线是经过圆心的
.
要注意的是，圆
的标准方程是
x
< br>a
y
b
r
2
，圆心是
a
,
b
<
/p>
，所以本题的圆心是
4,
1
< br>，而不是
2
2
4,1
.
4
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
先根据
a
1
0
，
a
99
a
100
0
，
a
99
a<
/p>
100
0
判断
出
a
99
0
,
a
100
0
；然后再根据等差数列
前
n
项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．
【详解】
∵
a
99
a
1
00
0
，
∴
a
99
和<
/p>
a
100
异号；
∵
a
1
0,
a
99
a
100
0
，
a
99
0,
a
100
0
，
有等差数列的性质可知，等差数列
a
n
的公差
d
0
，
当
n
99,
n
N
*
< br>时，
a
n
0
；当
n
100,
n
N
*
时，
a
n
0
；
又
S
198
a
1
a
198
198
a
99<
/p>
a
100
<
/p>
198
0<
/p>
，
2
2
2
100
S
199<
/p>
a
1
a
199
199
199<
/p>
a
0
，
由等差数列的前
n
项和的性质可知，使前
n
项和
S
n
0
成立的最大自
然数
n
是
198
.
故选：
A
．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的
性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
5
．
C
解析：
C
【解析】
a
1
4
a<
/p>
2
a
4
4
a
1
2
d
2
{
{
{
试题分析：∵
，∴
，∴
，
d
3
a
3
a
< br>5
10
a
1
3
d
5
∴
S
10
10
a
1<
/p>
10
9
d
40
135
95
．
2
考点：等差数列的通项公式和前
n
项和公式．<
/p>
6
．
C
解析：
C
【解析】
【详解】
因为直线
< br>1
1
x
y
1
a
0,
b
<
/p>
0
过点
1
,1
,
所以
+
1
,
因此
a
b
a
b
1
1
b
4
a
b
< br>4
a
(4
a
b
)(
+
)
5
+
5
2
9
,
当且仅当
b
2
a
3
时取等号<
/p>
,
所以选
a
b<
/p>
a
b
a
b
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要
特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
等式中“正”(即条件要求中字母为正
数
)
、“定”(不等式的另一边必须为定值
)
、
“等”(等号取得的条件
)<
/p>
的条件才能应用，否则会出现错误
.
7
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
由题意可得
a
9
0
，
a
10
0
，且
a
9
a
10
0
，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】
∵等差数列
a
n
的前
n
项和有最大值，
∴等差数列
a
n
为递减数列，
又
a
10
1
，
a
9
∴
a
9
0
，
a
10
0
，
∴
a
9
a
10
0
，
又
S
18
18
a
1
a
18
2
0
，
S
17
17
a
1
a
17
2
17
a
9
0
，
∴
S
n
0
成立的正整数
< br>n
的最大值是
17
，
故选
C
．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，
涉及等差数列的求和公式，属中档题．
8
．
A
解析：
A
【解析】
2
1
4
1
1
a<
/p>
b
a
b
5
，可得
分析：
a
,
b
R
，由
，可得
，又
2
ab
ab
a
b
a
b
2
1
4
<
/p>
1
a
b
1
5
a
b
2
，化简整理即可得出
.
ab
< br>a
b
2
1
4
a
b
详解：
a
,
b
R
，由
ab
，可得
ab
a
b
2
，
2
又
a
b
1
1
5
，<
/p>
a
b
1
4
1
可得
a
< br>b
1
5
a
b
2
，
ab
a
b
化为
a
b
5
a
b
4
0
，
解得
1
a
b
4
，
则
a
b
的取值范围是
1,4
.
故选：
A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题
.
2
9
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
1
1
x
z
在<
/p>
y
轴截距最大问题的求解；通过平
2
2
移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果
.
【详解】
< br>由约束条件可得可行域，将问题变成
y
由约束条件可得可行域如下图所示：
当
z
x
2
y
取最大值时，
y
<
/p>
平移直线
y
1
1
x
z
在
y
轴截距最大
2
2
1
1
1
x
，可知当直
线
y
x<
/p>
z
过图中
A<
/p>
点时，在
y
轴截距最大
< br>
2
2
2
y
x
由
得：
A
<
/p>
4,4
z
max
4
2
4
12
<
/p>
2
x
y
4
0
故选：
C
【点睛】
本题考查线性规划中最值问
题的求解，关键是能够将问题转化为直线在
y
轴截距最值问题<
/p>
的求解，属于常考题型
.
10
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
利用数列递推式求出前几项
，可得数列
a
n
是以
4
为周期的周期数列，即可
得出答案
.
【详解】
1
2
a
,0
a
n
n
2
，
a
3
Q
a
n
1
< br>
1
1
5
2
a
1,
a<
/p>
1
n
n
2
a
2
2
a
1
1
1
2
4
3
，
a
3
2<
/p>
a
2
，
a
4
2
a
3
，
a
5
2
a
4
1
a
1
<
/p>
5
5
5
5
1
.
5
数列
a
n
是以
4
为周期的周期数列，则
a
2018
a
4
504
2
a
2
故选
A
.
【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
.
11
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
①根据正弦定理可得到结果
；②根据
A
B
或
A
B
定理推得
a
2
b
2
c<
/p>
2
，三角形为直角三角形
.
【详解】
2
,
可得到结论不正确；③可由余弦
a
b
知
< br>sinA
sinB
，
①正确；
sin
A
si
n
B
②
si
n
2
A
si
n
2
B
，则
A
B
或
A
B
,
ABC
是直角三角形或等腰三角形；所以②错
2
①根据大角对大边得到
a>b,
再由正弦定理
a
2
c
2
b<
/p>
2
b
2
c
2
a
2
误；③由已知及余弦定理可得
a
b
c
，化简得
a
2
< br>b
2
c
2
，
2
ac
2
bc
所以③正确
.
故选
C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及余
弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题
时，正弦定理、余弦定理是
两个主要依据
,
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余
弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说
,
当条件中同时出现
ab
及
b
2
、
a
2
时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理
将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答
.
12
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
设
BC
CD
1
，计算出
ACD
< br>的三条边长，然后利用余弦定理计算出
cos
DAC
．
【详解】
如下图所示，不妨设
BC
CD
1
，则
AB
2
，过点
D
作
DE
AB
，垂足为
点
D
，
易知
四边形
BCDE
是正方形，则
BE
CD
1
，
AE
AB
BE
1
，
在
Rt
ADE
中，
AD
AE
2
DE
2
2
，同理可得
AC
AB
2
BC
2
5
，
AC
2
AD
2
CD
2
5
2
1
2
3
10
在
ACD
< br>中，由余弦定理得
cos
DA
C
，
<
/p>
2
AC
AD
10
2
5
2
故选
C
．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在
利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余
弦定理来求角，考查计算能
力，属于中等题．
二、填空题
13
．
7<
/p>
【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详
解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为
钝角故
故故答案为：
7
【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以
及外
解析：
7
【解析】
【分析】
先求出
sin
C
【详解】
因为
C
A
2
2
，再利用正弦定理求
c
，最后利用余弦定理可求
b
.
3
2
，所以
C
A
，故
sin
C
sin
< br>
A
cos
A
，
2
2
且
A
为锐角，则
cos
A
2
2
2
2
.
，故
sin
C
3
3