最新人教版八年级下册数学全册教学教案
束之高阁-
义务教育课程标准人教版
科任老师
数学教案
九年级
下册
二次根式
16.1
二次根式
(1)
一、学习目标
1
、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2
、掌握二次根式有意义的条件。
<
/p>
3
、掌握二次根式的基本性质：
a
0
(
a
0
)
和
(
a
)
2
a
(
a
0
)
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质
a
0
(
a
0<
/p>
)
和
(
a
)
2
a
(
a
0
)
。
三、学习过程
（一）复习引入：
（
1
）已知
x
2
= a
，那么
a
是
x
的
_____________
; x
是
a
的
________,
记为
______,
a
一定是
__________
____
数。
4
（
2
）
4
的算术平方根为
2
，用式子表示为
=__________
；
正数
a
的算术平方根为
_______
，
0
的算术平方根为
_
______
；
式子
a
0
(
a
0
)
的意义是
_______-
。
（二）提出问题
1
< br>、式子
a
表示什么意义
?
2
、什么叫做二次根式？
3
、式子
a
0
(
a
0
)
的意义是什么？
4
、
(
a
)
2
a
(
a
0
)
的意义是什么？
5
、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第
2
页例前的内容，完成下面的问题：
1
、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
a
(
a
0
)
2
3
，
16
，
3
4
，
5
，
3
，
x
1
2
、计算
：
(1)
(
4
)
2
(2)
(
3
)
2
（
3
）
(
0
.
5
)
< br>2
（
4
）
(
1
2
)
3
根据计算结果，你能得出结论：
，其中
a
0
,
(
a
)<
/p>
2
________
< br>(
a
)
2
a
(
a
0
)
的意义是
。
3
、当<
/p>
a
为正数时
指
a
的
，
而
0
的算术平方根是
，负数
，只有非负
数
中，字母
a
必须满足
,
a
才有算术平方根。所以，在二次根式
才有意义。
（三）合作探究
1
< br>、学生自学课本第
2
页例题后，模仿例题的解答过程合作
完成练习
：
x
取何值时，下列各二次根式有意义？
①
3
x
4
②
2
2
1
x
③
3
2
< br>
x
2
、
（
1
）若
a
3
3
<
/p>
a
有意义，则
a
的值为
___________
．
<
/p>
x
在实数范围内有意义，则
x
为（
）
（
2
）若
。
A.
正数
B.
负数
C.
非负数
D.
非正数
（四）展示反馈
(
学生归纳总结
)
1
．非负数
a
的算术平方根
a<
/p>
(a
≥
0)
叫做
二次根式
.
二次根式的概念有两个要点：
一是从形式上看，
应含有二次根号；
二是被开方数的取值范
围有限制：
被开方数
a
必须是非负数。
2
．式子
a
(
a
0
)
的取值是非负数。
（五）精讲点拨
1
< br>、
二次根式的基本性质
(
a
)
2
=a
成立的条
件是
a
≥
0
，
利用这个性质可以求二次根式的平方，
如
(
5
)
2
=
5
；
也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如
5=(
5
)
2
.
2
、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，
实际上是解所含字母的不等式。
（五）拓展延伸
1
< br>
2
x
1
、
(1)
在式子
中，
x
的取值范围是
____________.
1
x
(2)
已知
x
2
4
+
2
x
y
＝
0
< br>，则
x-y
＝
_____________.
(3)
已知
< br>y
＝
3
x
+
x
3
2
,
则
y
x
=
_____________
。
2
、由公式
(
a
)
2
a
(<
/p>
a
0
)
，我们可以得到公式
a=
(
< br>a
)
2
,
利用此公式可以把任意一个非负数写成一个
数的平方的形式。
(1)
把下列非负数写成一个数的平方的形式：
5
0.35
(2)
在实数范围内因式分解
x
2
7
4a
2
-11
（六）达标测试
A
组
(
一
)
填空题：
3
5
2
1
、
=________;
2
、
在实数范围内因式分解：
（
1
）
x
2
-9= x
2
-
（
）
2
=
（
x+
____
）
(x-____)
（
2
）
x
2
- 3 =
x
2
- ( )
2
= (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题：
1
、计算
(
13
)
2
的值为<
/p>
（
）
A. 169
B.-13
C±13 D.13
2
、已知
x
3
0,
则
x
为（
）
A. x>-3 B. x<-3
C.x=-3 D x
的值不能确定
3
、下列计算中，不正确的是
（
）
。
A.
3=
(
3
)
2
B 0.5=
(
0
.
5
)
2
C .
(<
/p>
0
.
3
)
2
=0.3
D
(
5
7
)
2
=35
B
组
（一）选择题：
1
、下列各式中，正确的是（
）
。
4
9
9
4
A.
9
B
4
=
9
4
25
5
C
D
4
2
4
2
36
6
2
、
如果等
式
(
x
)<
/p>
2
= x
成立，那么
x
为（
）
。
A
x
≤
0; B.x=0 C.x<0;
D.x
≥
0
（二）填空题
:
1
、
若
a
2
b
3
0
，则
a
2
b
=
。
2
、分解因式：
X
4
-
4X
2
+ 4= ________.
3
、当
x=
时，代数式
4
x
5
有最小值，
其最小值是
。
二次根式
(2)
一、学习目标
1
、掌握二次根式的基本性质：
a
2
a
2
、能
利用上述性质对二次根式进行化简
.
二、学习重点、难点
重点：二次根式
的性质
a
2
a
．
难点：综合运用性质
a
2
a
进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（
1
）什么是二次根式，它有哪些性质？
（
2
）二次根式
2
有
意义，则
x
。
x
5
（
3
）在实数范围内因式分解：
x
2
-6=
x
2
-
（
）
2
=
（
x+
____
）
(x-____)
（二）提出问题
1
< br>、式子
a
2
< br>a
表示什么意义
?
2
、如何用
来化简二次根式
?
< br>3
、在化简过程中运用了哪些数学思想
?
（三）自主学习
自学课本第
3
页的内容，完成下面的题目：
4
2
(
)
< br>
2
2
2
4
0
< br>.
2
5
20
a
2
a
1
、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
a
0
时
,
a
4
(
)
2
<
/p>
2
(
20
)
(
4
)
(
0
.
2
)
<
/p>
5
< br>2
2
2
、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
a
0
时
,
a
3
、计算：
0
2
< br>
当
a
0
时
,
a
（四）合作交流
1
、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
a
a
0
a
2
a
0
a
0
a
a
0
2
、化简下列各式：
(1)
0.3
______
(2)
2
0.3
2
______
(3)
5
2
_______
(
4)
(2
a
)
2
_____
（
a
<
0
）
3
、请大家思考、讨论二次根式的性质
(
a
)
2
a
(
a
0
)
与
a
2
a
有什么区别与联
系。
（五）展示反馈
1
、化简下列各式
< br>（
1
）
4
x
2
(
x
0
)
(2)
x
2
、化简下列各式
< br>（
1
）
(
a
3
)
2
(
a
3
)
（
2
）
4
2
x
3
2
（
x
＜
-2
）
（六）精讲点拨
< br>利用
a
2
a
可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简
的关键是准确确定“
a
”的取值。
（七）拓展延伸
(1)a
、
b
、
c
为三角形的三条边，则
(
a
b
c
)
2
b
a
c
< br>
____________.
(2)
把
(2-x)
1
的根号外的
（
2-x
）适当变形后移入根号内，得（
）
x
2
A
、
2
x
B
、
x
2
C
、
2
x
D
、
x
2
(3)
若二次根式
2
x
6
< br>有意义，化简│
x-4
│
-
│
7-x
│。
（八）达标测试：
A
组
1
、填空：
（
1
）<
/p>
、
(
2
x
1
)
2
-
(
2
x
3
)
2
(
x
2
)
=_________.
（
2
）
、
(
4
)
2
=
2
、已知
2
＜
x
＜
< br>3
，化简：
(
x
2
)
2
x
3
B
组
1
1
1
、
已知
0
＜
x
＜
1
，化简：
(
x
)
2<
/p>
4
－
(
x
)
2
4
x
x
a
的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个
3
新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
16.2
二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
1
、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2
、
边长为
a
的正方形桌面，正中间有一个边长为
2
、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点：
掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点：
正确依据二次根式的乘法法则
和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1
、计算：
（
1
）
4
×<
/p>
9
=______
4
9
=_______
（
2
）
1
6
×
25
=_______
16
25
=_______
（
3
）
100
×
36
=_______
100
36
=___
____
2
、根据上题计算结果，用
“
>
”
、
“<
/p>
<
”或“
=
”填
空：
（
1
）
4
×
9
___
__
4
9
（
2
）
16<
/p>
×
25
____
16
25
（
3
）
100
×
36
__
100
36
（二）提出问题
1
< br>、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2
、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3
、积的算术平方根有什么性质？
<
/p>
4
、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
（三）自主学习
自学课本第
5
—
6
页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：
1
、用计算器填空：
（
1
）
2
×
3
____
6
< br>
（
2
）
5
×
6
____
30
（
3
）
2
×
5
____
10
（
4
）
4
×
5
____
20
2
、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律
？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
3
、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
< br>1
、自学课本
6
页例
1
后，依照例题进行计算：
（
1
）
9
×
27
（
2
）
2
5
×
3
2
（
3
）
5
a
·
1
1
ab
< br>
（
4
）
5
·
3<
/p>
a
·
b
5
3
2
、自学课本第
6
—
7
页内容，完成下列问题：
（
1
）用式子表示积的算术平方根的性质：<
/p>
。
（
2
）化简：
①
54
②
12
a
2<
/p>
b
2
③
25
<
/p>
49
④
100
64
（五）展示反馈
展示学习成果后，请
大家讨论：对于
9
×
27
的运算中不必把它变成
243
后再进行计算，你有什
么好
办法？
（六）精讲点拨
1
< br>、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被
开方数之积为被开方数。
2
、化简二次根式达到的要求：
（
1
）被开方数进行因数或因式分解。
（
2
）分解后把
能开尽方的开出来。
（七）拓展延伸
1
、判断下列各式是否正确并说明理由。
（
1
）
(
4
)
(
9
)
＝
4
9
（
< br>2
）
3
a
2
b
3
=ab
3
b
（
3
）
6<
/p>
8
×（
-2
6<
/p>
）
=
6
(
2
)
8
6
=
12
48
（
4
）
4
9
9
16
=
4
16
＝
4
3
＝
12
1
6
16
2
、不改变式子的值，把根号外
的非负因式适当变形后移入根号内。
(1)
-3
2
1
(2)
2
a
2
a
3
（八）达标测试：
A
组
1
、选择题
（
1
）等式
x
1
•
x
<
/p>
1
x
2
1
成立的条件是（
）
A
．
x
≥
1
B
．
x
≥
-1
C
．
-1
≤
x
≤
1 D
．
< br>x
≥
1
或
x
≤
-1
（
2
）下列各等式成立的是（
）
．
A
．
4
5
×
2
5
=8
5
B
．
5
3
×
4
2
=20
5
C
．
4
3
×
3
2
=7
5
D
．<
/p>
5
3
×
4
2
=20
6
（
3
）二次根式
(<
/p>
2
)
2
6
的计算结果是（
）
A
．
2
6
B
．
-2
6
C
．
6
D
．
12
2
、化简：
4
（
1
）
3
60
；
（
2
）
32
x
；
3
、计算：
（
1
）
18
30
；
（
2
）
3
2
；
75
B
组
1
、选择题
（
1
）若
a
2
b
2
4
b
4
c
2
c
1
< br>
0
，则
b
2
•
a
•
c
=
（
）
4
A
．
4
B
．
2
C
．
-2
D
．
1
（
2
）下列各式的计算中，不正确的是（
）
A
．
(
4
)
(
6
)
4
6
=
< br>（
-2
）×（
-4
）
=8
B
．
4
a
4
4
a
4
< br>
2
2
(
a
2
)
2
2
a
2
C
．
3
2
4
2
9
16
25
5
< br>
D
．
13
2
12
2
(
13
12
)(
13
12
)
13
12
13
12
25
1
2
、
计算：
（
1
）
6
8
×（
-2
6
）
；
（
2
）
8
ab
6
ab
3
；
二次根式的除法
一、学习目标
1
、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2
、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点：
掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：
正确依据二次根式的除法法则
和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1
< br>、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2
、计算：
（
1
）
3
8<
/p>
×（
-4
6
）<
/p>
（
2
）
12
ab
6
ab
3
3
、填空：
（
1
）
9
9<
/p>
=________
，
=_______
__
16
16
16
< br>16
=________
，
=_
_______
36
36
4
4
=________
，
=_________
16
16
（
2
）
（
3
）
（二）提出问题
：<
/p>
1
、二次根式的除法法则是什么？如何
归纳出这一法则的？
2
、如何二次根
式的除法法则进行计算？
3
、商的算术平方根有什么性质？
<
/p>
4
、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？
（三）自主学习
自学课本第
7
页—第
8
页内容，完成下面的题目：
1
、由“知识回顾
3
题”可得规律：
9
16
4
9<
/p>
16
4
______
______
_______
36
16
16
16
36
16
2
、利用计算器计算填空
:
（
1<
/p>
）
3
2
2
=_________
（
2
< br>）
=_________
（
3<
/p>
）
=______
4
< br>3
5
规律：
3
< br>2
2
3
2
2
______
_______
_____
4
3
5
4
3
5
3
、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则
：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
（四）合作交流
1
、
自学课
本例
3
，仿照例题完成下面的题目：
计算：
（
1
）
3
1
12
（
2
）
<
/p>
2
8
3
2
、自学课本例
4
，仿照例题完成下面的题目：
64
b
2<
/p>
3
化简：
（
1<
/p>
）
（
2
）
2
9
a
64
（五）精讲点拨
1
、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法
则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开
方数之商为被开方数。
2
、化简二次根式达到的要求：
（
1
）被开方数不含分母；
（
2
）分母中不含有二次根式。
（六）拓展延伸
阅读下列运算过程：
1
3
3
2
2
< br>5
2
5
，
5
3
5
5
5
3
3
3
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作
“分母有理化”
。
利用上述方法化简
：
(1)
2
1
=_________
（２）
=_________
3
2
6
1
10
=_____ ___
(
４
)
=___ ___
12
2
5
(
３
)
（七）达标测试：
A
组
1
、选择题
1
1
2
（
1
）计算
1
2
1
的结果是（
）
．
3
3
5
A<
/p>
．
2
7
5
B
．
2
2
C
．
2
D
．
7
7
（
2
）化简
3
2
的结果是（
）
27
A
．
-
2
6
2
B
．
-
C
．
-
D
．
-
2
<
/p>
3
3
3
2
、计算：
（
1
）
（
3
）
B
组
用两种方法计算：
（
1
）
最简二次根式
一、学习目标
1
、理解最简二次根式的概念。
2
48
（
2
）
2
x
3
8
x
1
1
9
x
（
4
）
2
4
16
64
y
64
6
（<
/p>
2
）
8
4
3
2
、把二次根式化成最简二次根式．
3
、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：
会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1
< br>、化简（
1
）
96
x
4
（
2
）
2
、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的
性质化简二次根式达到的要求是什
么？
（二）提出问题
：
1
、什么是最简二次根式？
2
、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？
3
、如何进行二次根式的乘除混合运算？
< br>
（三）自主学习
自学课本第
9
页内容，完成下面的题目：
1
、满足于
,
的二次根式称为最简二次根式
.
2
、化简
:
(1)
3
3
2
27
5
(2)
x
2
y
4
x
4
y
2
12
8
20
(3)
8
x
2
y
3
(4)
（四）合作交流
2
1
2
1
、计算：
1
2
1
3
3
5
2
、比较下列数的大小
3
（
1
）
< br>2
.
8
与
2
（
2
）
7
6
与
6
7
4
A
3
、如图，在
Rt
△
ABC<
/p>
中，∠
C=90
°，
AC=3cm
，
BC=6cm<
/p>
，求
AB
的长．
（五）精讲点拨
B
C
1
、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平
方根的性质和分母有理化。
2
、判断
是否为最简二次根式的两条标准：
（
1
）被开
方数不含分母；
（
2
）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于
2
．<
/p>
（六）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
1
2
1
1
1
(
2
1
< br>)
(
2
1
)(
2
1
)
2<
/p>
1
2
1
，
2
1
3
2
3
2
，
3
2
1
(
3
2
)
(
3
2
)(
3
2
)
1
2
3
3
2
同理可得：
=
< br>2
3
，……
< br>
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
1
2<
/p>
1
1
3
2
……
+
1
2009
2008
）
（
2009
1
）的
值．
（七）达标测试：
A
组
1
、选择题
（
1
）如果
x
（
y>0
）是二次根式，化为最简二次根式是（
）
．
y
A
．
xy
x
（
y>0
）
B
．
xy
< br>（
y>0
）
C
．
（
y>0
）
D
．以上都不对
y
y
a
2
的结果是
a
2
（
2
）化简二次根式
a
A
、
a
2
B
、
-
a<
/p>
2
C
、
a
2
D
、
-
a
<
/p>
2
2
、填空：
（
1
）化简
x
4
x
2
y
2
=_________
．
（
x
≥
0
）
（
2
）已知
x
3
、计算：
3
7
1
（
1
）
1
(2)
3
3
1
(
1
1
4
)
1
4
4
2
2
8
7
4
5
1
2
1
5
< br>
2
，则
x
1
的值等于
_________
_.
x
B
组
1
、计算：
2
3
3
b
ab
5
•
(
a
b
)
3
（
a>0,b>0
）
b
2
a
x
2
4
4
x
2
1
2
、若
x
、
y
为实数，且
y=
，求
x
y
•
x
y
的值。
x
2
16.3
二次根式的加减法
二次根式的加减法
一、学习目标
1
、了解同类二次根式的定义。
2
、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1
、什么是同类项？
2
、如何进行整式的加减运算？
3
、计算：
（
1<
/p>
）
2x-3x+5x
（<
/p>
2
）
a
2
b
2
ba
2
3
ab
（二）提出问题
1
、什么是同类二次根式？
2
、判断是否同类二次根式时应注意什么？
3
、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
自学课本第
10
—
11
页内容，完
成下面的题目：
1
、试观察下列各组
式子，哪些是同类二次根式：
（
1<
/p>
）
2
2
与
3
2
（
2
）
2
< br>与
3
（
3
）
5
与
2
0
（
4<
/p>
）
18
与
12<
/p>
从中你得到：
。
2
、自学
课本例
1
，例
2
后，仿例计算：
（
1
）
8
+
18
（
2
）
7
+2
7
+3
9
7
（
3
）
3
48
-9
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。
（四）合作交流，展示反馈
小组交流
结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时
6
分钟
(1)
12
(
1
1
)
(2)
(
48
20
)
(
12
5
)
3
< br>27
1
+3
12
3
(3)
x
2
1
x
1
x
1
6
x
)
（
4
）
x
9
x
(
x
2
4
y
y
3
x
4
x
2<
/p>
y
（五）精讲点拨
<
/p>
1
、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判
断。
2
、二次根式的加减分三个步骤：
①化成最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸
1
< br>、如图所示，面积为
48cm
2
的正方形的四个角是
面积为
3cm<
/p>
2
的小正方形，现将这四个角剪掉，制
作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底
面边长分别是多少？
2
、已知
4x
2
+y
2
-4x-6y+10=0
< br>，
2
x
1
y
求（
x
9
x
+y
2
3
）
-
（
x
2
-5x
）的值．
3
y
x
x
（七）达标测试：
A
组
1
、选择题
（
1
）二次根式：①
12
；②
2
2
；③
与
3
是同类二次根式的是（
）
．
A
．①和②
B
．②和③
C
．①和④
D
．③和④
（
2
）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（
）
．
A
．
2
x
与
2
y
B
．
4
3
4
9
5
8
a
b
与
a
b
9
2
2
；④
27
中，
3
C
．
mn
与
n
D
．
m
n
与
n<
/p>
m
2
、计算：
（
1
）
7
2
+
3
8
-
5
50
（
2
）
2
x
1
9
x
6
2
x
3
4
x
B
组
1
、选择：已知最简根式
a
2
a
b
与
a
b
7
是同类二次根式，则
满足条件的
a,b
的值（
）
A
．不存在
B
．有一组
C
．有二组
D
．多于二组
2
、计算：
（
1
）
3
90
+
二次根式的混合运算
一、学习目标
熟练应用二次根式的加
减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1
、填空
（
1
）整式混合运算的顺序是：
。
（
2
）二次根式的乘除法法则是：
。
（
3
）二次根式的加减法法则是：
。
（
4
）写出已经学过的乘法公式：
①
②
2
、计算：
（
1
）
6
·
3
a
·
（
3
）
2
3
8
< br>
（二）合作交流
1
、探究计算：
1
1
1
b
（
2
）
3
< br>4
16
2
1
-
4
（
2
）
2
x
8
x
3
<
/p>
2
2
xy
2
(
x
0,
y
0)
5
40
1
1
12
50
2
5
（
1
）
（
8
3
）×
6
（
2
）
(
4<
/p>
2
3
6
)
2
2
2
、自学课本
11
页例
3
后，依照
例题探究计算：
（
1
）
(
2
3
)(
2
5
)
（<
/p>
2
）
(
2
3
2
)
2
（三）展示反馈
计算：
（限时
8
分钟）
（
1
）
(
（
3
）
< br>(
3
2
2
3
)
2
（
4
）
（
10
-
7
）
（
-
10
-
7
）
（四）精讲点拨
整式的运算法则和乘
法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根
式，所以整式
的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（五）拓展延伸
同学们，我们以前学
过完全平方公式
(
a
b
)
2
a
2
2
ab
b
2
，
你一定熟练掌握了吧
!
现在，我们
又学
习了二次根式，
那么所有的正数
（包括
0
）
都可以看作是一个数的平方，
如<
/p>
3=
（
3
）
2
，
5=
（
5
）
2
1
2
27
24
3
)
12
（
2
）
(
2
3
5
)(
2
3
)
3
3
，下面我们观察：
(
2
1)
2
(
2)
2
2
1
2
< br>1
2
2
2
2
1
3
2
2
反之
，
3
2
2<
/p>
2
2
2
1
(
2
1)
2
∴
3
2
2
(
2
1)
2
∴
3
2
2
=
2<
/p>
-1
仿上例，求：
（
< br>1
）
；
4
2
3
（
2
）你会算
4
12
吗？
（
3
）若<
/p>
a
2
b
m
n
，则
m
、
n
与
a
、
b
< br>的关系是什么？并说明理由．
（六）达标测试：
A
组
1
、计算：
（
1
）
(
80
90
)
<
/p>
5
（
2
）
24
< br>3
6
2
3
（
3
）
(
a
3
b
3
ab
ab
3
)
(
ab
)
（
a>0,b>0
）<
/p>
（
4
）
(2
6
-
5
2)(
-
2
6
-
5
2)
2
、已知
a
B
组
1
、计算：
（
1
）<
/p>
(
3
2
1
)(
3
2
1
)
（
2
）
< br>(3
10)
2009
(3
10)
2009
2
、母亲
节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积
为
8cm
2
,
另一个为
18cm
2
，他想如果再
用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为
50cm
的金
彩
带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？
《二次根式》复习
一、学习目标
1
、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2
、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3
、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算
。
4
、了解最简二次根式的定义，能
运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）自主复习
自学课本第
13
页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习：
1
．若
a
＞
0
，
a
的
平方根可表示为
___________
a
< br>的算术平方根可表示
________
2
．当
a______
时，
1
2
a
有意义
，
当
a______
时，
3
a
< br>5
没有意义。
3
．
(
< br>3)
2
________
1
2
1
,
b
1
2
1
，求
a
2
b
2
10
的值。
< br>
(
3
2)
2
______
4
．
14
48
_______;<
/p>
72
18
<
/p>
________
5
< br>．
12
27
< br>
_______;
125
<
/p>
20
_______
< br>
（二）合作交流，展示反馈
1
、式子
x
4
x
5
x
<
/p>
4
x
5
成立的条件是什么
?
1
125
x
3
2
、计算：
(1)
2
12
<
/p>
3
5
2
(2)
2
4
9
y
3
．
(1)
2
5
3
3
75
(2)
(
3
2
2
3)
2
（三）精讲点拨
在二次根式的计算、
化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（
1
）
(
a
< br>)
2
a
(
a
0)
与
a
(
a<
/p>
)
2
(
a
0)
a
a
0
0
a
0
（
2
）
a
2
a
< br>a
a
< br>0
（
3
）
a
•
b
ab
(
a
<
/p>
0,
b
0)<
/p>
与
ab
a
•
b
(
a
0,
b
0)
（
4
）
a
a
a
< br>a
(
a
0,
b
0)
与
(
a
0,
b
<
/p>
0)
b
b
b
b
（
5
）
(
a
b
)
2
< br>a
2
2
ab
b
2
与
(
a
b<
/p>
)(
a
b
)
a
2
b
2
（四）拓展延伸
< br>1
、用三种方法化简
6
6
解：第一种方法：直接约分
第二种方法：分母有理化
第三种方法：二次根式的除法
2
、已知
m
,m
为实数，满足
m
求
6m-3n
的值。
（五）达标测试：
A
组
1
、选择题：
（
1
）化简
n
2
9
9
n
2
4
，
n
3
5
2
的结果是（
）
A 5 B -5
C
士
5 D 25
（
2
）代数式
x
4
x
2
中，
x
的取值范围是（
）
A
x
4
B
x
2
C
x
4
且
x
2
D
x
4
且
< br>x
2
（
3
）下列各运算，正确的是（
）
A
2
5
3
5
6
5
B
9
< br>
1
9
25
25
3
5
C
5
125
5
125
D
x
2
y
2
x
2
y
2<
/p>
x
y
（
4
）如果
x
y
(
y
0)
是二次根式，化为最简二次根式是（
A
x
y
(
y
0)
B
xy
(
y
0)
C
< br>xy
y
(
y
0)
D
．以上都不对
（
< br>5
）化简
3
< br>2
27
的结果是（
）
A
2
3
B
<
/p>
2
6
3
C
3
D
2
2
、计算．
(1)
27
2
3
45
(2)
16
25
6
4
(3)
(
a
2)(
a
2)
(4)
(
x
3)
2
3
、已知
a
3
2
,
b
< br>3
2
2
2
求
1
a
1
b
的值
B
组
）
1
、选择：
（
1
）
a
1
5
,
b
5
5
，则（
）
A a,b
互为相反数
B
a,b
互为倒数
C
ab
5
D a=b
（
2
）在下列各式中，
化简正确的是（
）
A
5
3
3
15
B <
/p>
1
1
2
2
2
C
a
4
b
a
2
b
D
x
3
x
2
< br>x
x
1
（
3
）把
(
a
1)
1
a
1
中根号外的
(
a
1)
移人根号内得（
A
a
< br>1
B
1
a
C
a
1
D
1
a
2
、计算：
（
1
）
2
6<
/p>
3
6
54
（
2
）
0.9
121
2
0.36
100
（
3
）
(3
2
2
3
)
2
(
3<
/p>
2
2
3)
2
3
、归纳与猜
想：观察下列各式及其验证过程：
2
2
3
2
<
/p>
2
3
,
3
3
3
8
3
<
/p>
8
(1)
按上述两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想
4
4
15
的变化结果并进行验证．
(2)
针对上述各式反映的规律，写
出
n(n
为任意自然数，
且
n
≥
2)
表示的等式并进
行验证．
参考答案
）
二次根式
(
一
)
（五）拓展延伸
1
、
(1)
x
1
2
,<
/p>
且
x
1
(2)
6
(3)
8
2
、
(1)
(
5)
2
(
0.35)
2
(2)
(
x
7)(
x
7)
(2
a
11)(2
a
11)
（六）达标测试
(A
组
)(
一
)
< br>填空题：
1
、
3
2
、
（
1
）<
/p>
x
2
- 9=
x
2
-
（
3
）
2
5
=
（
x+
3
）
(x-3);
（
2
）
x
2
- 3 = x
2
-
(
3
)
2
= (x+
3
)
(x-
（二）选择题：
1
、
D
2
、
C
3
、
D
(B
组
)
（一）选择题：
1
、
B
2
、
A
（二）填空题
:
1
、
1 2
、
(
x
2
2)(
x
2)(
x
2)
< br> 3
、
5
4
，
0
。
二次根式
(
二
< br>)
（五）展示反馈
1
、
（
1
）
2x (2)
x
2
2
、
（
1
）
a
3
（
< br>2
）
2
x
3
（七）拓展延伸
(1)2a
(2)D (3)
3
（八）达标测试：
A
组
1
、
（
1
）
、
2
（
2
）
、
4
2
、
1
B
组
1
、
2x
2
、
2
2<
/p>
3
a
22.
2
二次根式的乘除法
二次根式的乘法
（七）拓展延伸
1
< br>、
（
1
）错（
< br>2
）错（
3
）
< br>
错（
4
）错
2
、
(1)
-
6
(2)
2
a
（八）达标检测：
A
组
1
、
（
1
）
A
（
2
）
D
（
3
）
A
2
、
（
1
）
6
10
（
2
）
4
2
x
2
；
3
、
（<
/p>
1
）
6
15
（
2
）<
/p>
2
5
B
组
1
、
（
1
）
B
（
2
）
A
3
).
2
、
（
1
）
48
3
< br>（
2
）
4
3
ab
2
；
二次根式的除法
（六）拓展延伸
(1)
6
2
3
2
（２）
(
３
)
(
４
)
6<
/p>
3
6
2
（七）达
标测试：
A
组
1
、
（
1
）
A
（
2
）
C
2
、
（
1
）
3
x
3
x
（
2
）
（
3
）
2
（
4
）
6
2
8
y
B
组（
1
）
2
2
（四）合作交流
1
、
1
2
、
（
1
）<
/p>
2
.
8
>
2
3
、
AB=
3
5
．
（六）拓展延伸
（
1
2
1
1
3
2
（
2
）<
/p>
2
4
最简二次根式
3
（
2
）
7
6
6
7
4
……
+
1
2009
2008
）
（
2009
1
）
=20
08
．
（七）达标测试：
A
组
1
、
（
1
）
C
（
2
）
B
2
、
（
1
）<
/p>
x
x
2
y
2
（
2
）
4
3
、
(1)
2
3
(2)
-
2
2
B<
/p>
组
1
、
a
2
b
2
ab
2
、
3
7
4
22.3
二次根式的加减法
二次根式的加减法
（四）合作交流，展示反馈
16
(1)
3
(2)
6<
/p>
3
5
9
(3)
x
3
y
（
4
）
4
x
x
2
（六）拓展延伸
< br>1
、高
:
3
底面边长
2
3
2
、
2
3<
/p>
6
4
（七）达标测试：
A
组
1
、
（
1
）
C
（
2
）
D <
/p>
2
、
（
1
）
12
2
（
2
）
3
x
< br>2
B
组
1
、
B 2
、
（
1
）
9
10
（
2
）
(2
y
x
)
2
x
二次根式的混合运算
（三）展示反馈
（
< br>1
）
6
18
2
（
2
）
2
6
6
10
< br>
15
（
3
）
30
12
6
（
4
）
3
< br>
（五）拓展延伸
（
1
）
1
3
（
2
）
3
1
（
3
）
a
m
n
,<
/p>
b
mn
（六）达标测试：
A
组
1
、
（
1
）
4
18
5
（
2
）
4
2<
/p>
（
3
）
a
b
3
ab
（
4
）
26
2
、
4
B<
/p>
组
1
、
（
1
）
2
2
（
2
）
1
2
、够用
《二次根式》复习
（一）自主复习
1
< br>．
a
,
a
2
．
a
1
5
，
a
2
3
3
．
<
/p>
3
;
2
3
4
．
4
42
;
2
5
．
5
3
;
3
5
（二）合作交流，展示反馈
1
、
x
5
2
、
(1)
3
2
5
5
x
(2)
10
3
y
3
．
(1)
2
20
3
(2)
30
12
6
（四）拓展延伸
1
、
6
2
、
5
（五）达标测试：
A
组
1
、
（
1
）
A
（
2
）
B
（
3
）
B
（
4
）
C
（
5
）
C <
/p>
5
2
、
(1)<
/p>
3
3
5
(2)
2
(3)
a
4
(4)
x
9
2
3
x
< br>
3
、
4
2
B
组
1
、
（
1
）
D
（
2
）
C
（
3
）
D <
/p>
2
、
（
1
）
9
6
11
10
3
（
2
）
（
3
）
36
2
20
4
4<
/p>
4
15
15
n
n
n
n
2
1
n
2
1
3
、<
/p>
(1)
4
(2)
n
第
17
章
勾股定理
17.1
勾股定理（
1
）
学习目标：
1
．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2
．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3
．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的
成就，激发爱国热情，勤奋学习。
学习过程：
一
.
预习新知（阅读教材第
64
至
66
页，并完成预习内容。
）
1
正方形
A
、
B
、
C
的面积有什么数量关系？
2
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
A
B
C
(1)
那么一般的直角三角形是否也
有这样的特点呢？
(2)
组
织学生小组学习，
在方格纸上画出一个直角边分别为
3
和
4
的直角三角形，
并
以其三边为边长向外作三个正方形，
并分别计算其面积。
(3)
通过三个正方形的面积关系，
你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)
对于更一般的情形将如何验证呢？
二
.
课堂展示
方法一；
如图，
让学生剪
4
个全等的直角三角形，
拼成如图图形，
利用面积证明。
D<
/p>
C
S
正方形＝
_
______________
＝
_____________
_______
b
a
方法三：
以
a
、
b
为直角边，以
c<
/p>
为斜边作两个全等的直角三角形，则
1
A
c
B
等于
2<
/p>
ab.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，
使
A
、
E
、
B
三点在
这时四边形
ABCD
是一个直角梯形，它的面积等于
____
_____________
C
D
a
c
c
b
A
b
E
a
B
归纳：勾股定理的具体内容是
。
三
.
随堂练习
1.
如图，直角△
ABC
的主要性质是：∠
C=90
°，
（用几何语言表示）
A
⑴两锐角之间的关系：
；
D
(2)
若∠
B=30
°，
则∠
B
的对边和斜边：
；
(3)
三边之间的关系：
C
B
2.
完成书上
P69
习题
1
、
2
四
.
课堂检测
1.
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
①若
a=5
，
b=12
，则
c=___
________
；
②若
a=15
，
c=25
，则
b=___________
；
③若
c=61
，
b
=60
，则
a=__________
；
④若
a
∶
b=3
∶
4
，
c=10
则
S
Rt△ABC
=________
。
2.
已知在
Rt
△
ABC
中，∠
B=90
°，
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，则
⑴
c=
。
（已知
a
、
b
，求<
/p>
c
）
⑵
a=
。
（已知
b
、
c
，求
a
）
3.
直角三角形两直角边长分别为
5
和
12
，则它斜边上
的高为
__________
。
4.
已知一个
Rt
△的两边长分别为
3
和
4
，则第三边长的平方是（
）
A
、
25
B
、
14
C
、
7
D
、
7
或
25
5.
等腰
三角形底边上的高为
8
，周长为
32<
/p>
，则三角形的面积为（
）
每个直角三角形的面积
一条直线上
.
A
、
56
五
.
小结与反思
作业：
B
、
48
C
、
40
D
、
32
17.1
勾股定理（
2
）
学习目标：
1
．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2
．树立数形结合的思想。
3
．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方
法。
4
．培养思维意识，发展数学理
念，体会勾股定理的应用价值。
一
.
预习新知（阅读教材第
66
至
67
页，并完成预习内容。
）
< br>
1.
①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件
？
②直角三角形中哪条边最长？
<
/p>
2.
在长方形
ABCD
< br>中，宽
AB
为
1
m
，长
BC
为
2
m
，求
AC
长．
问题（
1
）在长方形
< br>ABCD
中
AB
、
BC
、
AC
大小关系？
（
2
）一个门框
的尺寸如图
1
所示．
①若有一块长
3
米，宽
0.8
米的薄木板，问怎样从门框通过？
②
若薄木板长
3
米，宽
1.5
米呢？
③若薄木板长
3
米，宽
2.2
米呢？为什么？
C
2
m
A
B
1
m
图
1
二
.
课堂展示
例：
如图
2
，
一个
3
米长的梯子
AB
，
斜着靠在竖直的墙
AO
上，
这时
AO
的距
离为
2.5
米．
①求梯子的底端
B
距墙角
O
多少米？
②如果梯的顶端
< br>A
沿墙下滑
0.5
米至
C
.
算一算，底端
滑动的距离近似值（结果保留两位小数）
．
A
A
C
B
O
C
D
B
D
O
O
、
图
2
三
.
随堂练习
1.
书上
P68
练习
1
、
2
2
．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着
45
度的坡路走了
500
米，看到了一棵红叶树，
这棵红叶树的离地面的高度是
米。
3
．如
图，山坡上两株树木之间的坡面距离是
4
3
米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是
米。
C
A
30
B
B
3
题图
1
题图
2
题图
四
.
课堂检测
1
．如图，一根
12
< br>米高的电线杆两侧各用
15
米的铁丝固定，两个固定点之
间的距离
是
。
2
．如图，原计划从
A
地经
< br>C
地到
B
地修建一条高速公路，
后因技术攻关，可以打隧道
由
A
地到<
/p>
B
地直接修建，已知高速公路一公里
造价
为
300
万
元，隧道总长为
2
公里，隧道造价为
500
万元，
AC=80
公里，
A
BC=60
公里，则改建后可省工程费用是多少？
< br>
3
．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取
B
、
C
两点，
在江
对岸取一点
A
，使<
/p>
AC
垂直江岸，测得
BC=50
米
，
∠
B=60
°，则江面的宽度为
。
B
C
R
4
．有一个边长为
1
米正方形的洞口，想用一个圆
形
盖
去
盖
住
这个洞口
，
则圆形盖半径至少为
米
。
<
/p>
5
．一根
32
厘
米的绳子被折成如图所示的形状钉
在
P
、
Q
两
点，
P
Q=16
厘米，且
RP
⊥
PQ
，则
RQ=
厘
米。
P
Q
6.<
/p>
如图
3
，
分别以
Rt
△
ABC
三边为边向外作三个正方形，
其面积分别用
S
1
、
S
2
、
S
3
表示，
容易得出
S
1
、
< br>S
2
、
S
3
之间有的关系式
．
变式：书上
P71 -11
题如图
4
．
五
.
小结与反思
C
S
3
A
S
1
S
2
B
C
A
S
2
S
3
S
1
图
4
图
3
17.1
勾股定理（
3
）
学习目标
:
1
、能利用勾股定理，根据已知直角
三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2<
/p>
、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3
、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流
，并积极发表意见。
一
.
预习新知（阅读教材第
67
至
68
页，并完成预习内容。
）
<
/p>
1.
探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数
，你能在数轴上画出表示
13
的点吗？
2.
分析：如果能画出长为
_____
__
的线段，就能在数轴上画出表示
13
的点。容易知道，长
为
2
的线段是两条直角边都为
< br>______
的直角边的斜边。长为
13
的线段能是直角边为正
整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为
13
的
线段是直角边为正整数
_____
、
______
的直角三角
形的斜边。<
/p>
3.
作法：
在
数轴上找到点
A
，
使
< br>OA=_____
，
作直线
l<
/p>
垂直于
OA
，
在
l
上取点
B
，
使
AB=_____
，
以原点
O
为圆心，以
OB
为半径作弧，弧与数轴的交点
C
即为表示<
/p>
13
的点。
4
.
在数轴上画出表示
17
的点？（尺规
作图）
二
.
课堂展示
例
1
已知直角三角形的两边长分别为<
/p>
5
和
12
，求第
三边。
例
2
已知：如图，等边△
ABC
的边长是
6cm
。
⑴
求等边△
ABC
的高。
⑵求
S
△
ABC
。
C
A
D
B
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P71
< br>第
9
题
2
．填空题
⑴在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
a=8
，
b=15
，则
c=
。
⑵在<
/p>
Rt
△
ABC
，
∠
B=90
°，
a=3
，
b=4
，则
c=
。
⑶在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
c=10
，
a
：
< br>b=3
：
4
，则
a=
，
b=
。
(4)
已
知直角三角形的两边长分别为
3cm
和
5cm
，
，则第三边长为
。
2
．已知等腰三角形腰长是
10
，底边长是
16
，求这个等腰三角形面积。
四
.
课堂检测
1
．已知直角三角形中
30
°角所对的直角边长是
2
3
cm
，则另一条直角边的长是（
）
A
.
4cm
B
.
4
3
cm
C
.
6cm
D
.
6
3
cm
2
．△
ABC
中，
AB
＝
15
，
AC
＝
13
，高
AD
＝
12
，则△
ABC
的周长为（
）
A
．
42
B
．
32
C
．
42
或
32
D
．
37
或
33
<
/p>
3
．一架
25
分
米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端
7
分米
.
如果梯子
的顶端沿墙下滑
4
分米，那么梯足将滑动
(
)
A
.
9
分米
B
.
15
分米
C
.
5
分米
D
.
8
分米
4
．
如图，
学校有一块长方形花铺，有极少数人
为了避开拐角走
“
捷
径
”
，在花铺内走出
了一条
“
路
”
．他们仅仅少走了
步路（假设
2
步为
1
米）
，却踩伤了花草．
“
路
”
3m
5.
等腰△
ABC
的腰
长
AB
＝
10cm
，
底
BC
为
16cm
，
为
，面积为
.
4m
底边上的高
6.
一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
．
7
．已知
：如图，四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
⊥
DC
，
A
D
AB
⊥
AC
，∠<
/p>
B=60
°，
CD=1cm
，求
BC
的长。
B
C
五．小结与反思：
作业：
17.2
勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1
．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2
．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3
．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
一
.
预习新知（阅读教材
P73
—
75 ,
完成课前预习）
1.
三边长度分别为
3
cm
、
4
cm
、
5
cm
的三角形与以
3
cm
、
4 cm
为直角边的直角三角形
之
间有什么关系？你是怎样得到的？
2.
你能
证明以
6cm
、
8cm
、
10cm
为三边长的三角形是直角三角形吗？
3.
如图
1
8.2-2
，若
△
ABC
的三边长
a
、
b
、
c
满足
a
2
b
2
< br>
c
2
，试证
< br>△
ABC
是直角三角形，
请简要
地写出证明过程．
图
18.2-2
4.<
/p>
此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（
1
）什么叫互为逆命题
（
2
）什么
叫互为逆定理
（
< br>3
）任何一个命题都有
但任何一个定理未必都有
_
5.
说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（
1
）
两
直线平行，内错角相等；
（
2
）
如
果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（
3
）
全
等三角形的对应角相等；
（
4
）
角
的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二．课堂展示
例
1
：判断由线段
a
、<
/p>
b
、
c
组成的三
角形是不是直角三角形：
（
1
）
a
15
,
b
8
,
c
17
；
（
2
）
a
13
,
b
14
,
c
15
．
（
3
）
a
7
,
b
24
,
c
25
；
（
4
）
a
1
.
5
,
b
2
< br>,
c
2
.
5
；
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P75
< br>练习
1
、
2
< br>2.
如果三条线段长
a,b,c
满足
a
2
c
2
b
2
，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？
为什么？
3.A,B,C
三地
的两两距离如图所示，
A
地在
B
地的正东方向，
C
地在
B
地的什么方向？
C
5km
13km
B
12km
< br>A
4.
思考：我们知道
3
、
4
、
5
是一组勾股数，那
么
3k
、
4k
、
5k
（
k
是
正整数）也是一组勾股
数吗？一般地，如果
a
< br>、
b
、
c
是一组勾股数，那么
ak
、
bk
、
ck
（
k
是正整数）也是一组勾
股数吗？
四
.
课堂检测
1.
.
一根
2
4
米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角
形的形状为？
3.
已知
：
如图，
在△
ABC
< br>中，
CD
是
AB
边上的高，
求证：△
ABC
是
直角三角形。
五
.
小结与反思
17.2
勾股定理逆定理（
2
）
学习目标：
1.
进一步掌握勾股定理的逆定理，
并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直
角
B
D
A<
/p>
C
且
CD
2
=AD
·
BD
。<
/p>
三角形，
能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
一
.
预习新知
已知：如图，四边形
ABCD
，
AD
∥
BC
，
AB=4
，
BC=6
，
CD=5
，
AD=3
。
求：四边形
ABCD
的面积。
A
D
B
E
C
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
二
.
课堂展示
例
1.
“远航”号、
< br>“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，
“远航”号每
小时航行
16
海里，
“海
天”号每小时航行
12
海里，它们离开港口一个半小时后相距<
/p>
30
海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
例
2
．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，
爸爸让小明计算一
下土地的面积，
以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，
测得
AB=4
米，
BC=3
米，
CD=1
3
米，
DA=12
米，又已知
∠
B=90
°。
C
D
B
A
图
18.2-3
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P76
< br>练习
3
2.
一个三角形三边之
比为
3
：
4
：
5
，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5
B
5:4:3
C 20:15:12
D 10:8:2
3.
如果△
ABC
的三边<
/p>
a,b,c
满足关系式
a
2
b
18
+
（
b-18
）
2
+
c
30
=0
则△
ABC
是
_______
三角形。
四
.
课堂检测
1.
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，满足（
a
－
b
）
（
a
2
＋
b
2<
/p>
－
c
2
）
=0
，则△
ABC
是
（
<
/p>
）
A
．等
腰三角
形；
B
．直角三角形；
C
．等腰三角形或直角三角形；
D
< br>．等腰直角三角形。
2.
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，
满足
a
：
b
：
c=1
：
1
：
2
，试判断△
ABC
< br>的形状。
3.
已知：如图，四边形
ABCD
，
AB=1
，<
/p>
BC=
，
CD=
D
3
4
13
，
AD=3
，且
AB
⊥
BC
。求：四边
4
形
ABCD
的面积。
A
B
C
4.
小强在操场上向东走
80m
后，
又走了
60m
，
再走
100m
回到原地。
< br>小强在操场上向东走
了
80m
后
，又走
60m
的方向是
。
5.
一根
3
0
米长的细绳折成
3
段，围成一个三角
形，其中一条边的长度比较短边长
7
米，
比较长边短
1
米，请你试判断这个三角形的形状。
6.<
/p>
已知△
ABC
的三边为
< br>a
、
b
、
c
，且
a+b=4
，
ab=1
，
c=
14
，试判定△
ABC
的形状。
7.
如图，
在正方形ＡＢＣＤ中，
Ｆ为ＤＣ的中点，
Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝
ＢＣ，
求证：
∠ＥＦＡ＝
90
。
.
五
.
小结与反思
作业：
1
4
勾股定理复习（
1
< br>）
学习目标
1.
理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边<
/p>
.
2.
勾股定理的应用
.
3.
会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形
.
一
.
复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习<
/p>
了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理
的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.
勾股定理：
(1)
直角三角形两直角边的
______
和等于
_______
的平方．就是说，对于任意的直
角三角
形，如果它的两条直角边分别为
a
、
b
，斜边为
c
，那么一定有：
————————————
.
这就是勾
股定理．
a
2
c
2
b
2
,
b
2
c
2
< br>a
2
,
c
a
2
b
2
2
2
2
2
a
c
b
,
b
c
< br>
a
(2)
勾股定理揭示了直角三角形
___
之间
的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依
据．
,
．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得
出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.
勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为
______
__
.”这一命题
是勾股定理的逆定理
.
它可以帮助我们判断三角形的形状
.
为根据边的关系解决角的有关
问题提供了新的方法
.
定理的证明采用了构造法
.
利用已知三角形的边<
/p>
a,b,c(a
2
+b
< br>2
=c
2
)
，
先构造一个直角边为
a,b
的直
角三角形，由勾股定理证明第三边为
c,
进而通过“
SSS
”证
明两个三角形全等，证明定理成立
.
3.
勾股定理的作用：
(1
）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2
）在数轴上作出表示
n
< br>（
n
为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的
.
勾股定理的逆定理也可
用来证明两直线是否垂直
,
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直
角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角
是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算
来
证明，体现了数形结合的思想．
2
2
2
(3)
三角形的三边分别为
a
、
b
、
c
，其中
c
为最大边，若<
/p>
a
b
c
，则三角形是直角三角
2
< br>2
2
2
2
形；若
a
b
c
，则三角形是锐角三角形；若
a
b
c
，则三角形是钝角三角形．所
以使用勾股
定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
二
.
课堂展示
例
1
：如果一个直角三角形的两条边长
分别是
6cm
和
8cm
，那么这个三角形的周长和面积
分别是多少
?
例
2
：如图，在四边形
ABCD
中，∠
C=90
°，
AB=13
，
BC=4
，
CD=3
，
AD=12
，求证：
AD
⊥
BD<
/p>
．
三
.
随堂练习
1.
如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形
的一组数是
(
)
1
1
1<
/p>
1
1
A
．
7
，
24
，
25
B
．
3
，
4
，
5
C
．
3
，
4
，
5
D
．
4
，
7
，
8
2
2
2
2
2
2.
如果把直角三角形的两条直角边
同时扩大到原来的
2
倍，那么斜边扩大到原来的
( )
A
．
1
倍
B
．
2
倍
C
．
3
倍
D
．
4
倍
3.
三个正方
形的面积如图
1
，正方形
A
的面积为（
）
A
．
6
B
．
36
C
．
64
D
．
8 <
/p>
4.
直角三角形的两直角边分别为
5cm
，
12cm
，其中斜边上的高为（
）
60
30
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm
C
．
cm
D
．
cm
1
3
13
a
＝
n
2
－
1
，
b
＝
2
n
，
c
5.
在
△
ABC
中，三条边的长分别为
< br>a
，
b
，
c
，
＝
n
2
+1(
n
＞
1
，且
n
为整
数
)
，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角
64
A
100
图
1
四
.
课堂检测
1
．
两只小鼹鼠在地下打洞，
一只朝前方挖，
每分钟挖
8cm
，
另一只朝左挖，
每分钟挖
6
cm
，
10
分钟之后两只小鼹鼠相距（
）
A
．
50cm
B
．
100cm
C
．
140cm
D
．
80cm
2
．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多
1m
，当它把绳子的下
端拉开
5m
后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
（
）
A
．
8cm
B
．
10cm
C
．
12cm
D
．
14cm
3
．在△
ABC
中，∠
C
＝
90°
，若
a
＝
5
，
b
＝
12
< br>，则
c
＝＿＿＿
4
．等腰△
ABC
的面积为
12cm
2
，底上的高
A
D
＝
3cm
，则它的周长为＿＿＿．<
/p>
5
．等边△
ABC
的高为
3cm
，以
AB
为边的正方形面积为
＿＿＿．
6
．一个三角形的三边的比
为
5
∶
12
∶
13
，它的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿
7
．
有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，
如果把
竹竿竖放就比门高出
1
尺，
斜放就恰好
等于门的对角线长，已知门宽
4
尺．求竹竿高与门高．
8
．如图
3
，台风过后，一希望小学的旗杆在
离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部
8m
处，已知旗杆原长
16m
，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？
8m
图
3
五
.
小结与反思
勾股定理复习
(2)
学习目标
1.
掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定
理
来解决实际问题．
2.
经历反思本单
元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3.
熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培
养良好的学习态度．
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难点：应用勾股定理以及逆定理．
考点一、已知两边求第三边
1
．在直角三角形中
,
若两直角边的长分别为<
/p>
1cm
，
2cm
，则斜边长为
______
．
2
．已知直角三角形的两边长为
3
、
2
，则另一条边长是
________________
．
3
．在数轴上作出表示
10
的点．<
/p>
4
．已知，如图在
ΔABC
中，
AB=BC=CA=2cm
，
AD
是边
BC
上的高．
求
①
AD<
/p>
的长；②ΔABC
的面积．
考点二、利用列方程求线段的长
1<
/p>
．如图，铁路上
A
，
B
两点相距
25km
，
C
，
D
为两村庄，
DA
⊥
AB
于
A
，
CB
⊥
AB
于
B
，已知
DA=15km
，
CB=10km
，现在要在铁路
AB
上建一个土特产品收购站
E
，使得
C
，
D
两村到
E
站
的距离相等，则
E
站应建在离
A
站多少
km
处？
D
C
A
B
E
2.
如图，某学校（
A
点）与公路（直线
L
）的距离为
300
< br>米，又与公路车站（
D
点）的距
离为
500
米，现要在公路上建一个小商店（
< br>C
点）
，使之与该校
A
及车站
D
的距离相等，
求商店与车站之间的距离．
考点三、
判别一个三角形是否是直角三角形
1.
分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（
1
）
3
、
4
、
5
（
2
）
5
、
12
、
13
（
3
）<
/p>
8
、
15
、
17
（
4
）
4
、
5
、
6
，其中能够成直角三角形的有
2.
若三角形的三别是
a
2
+b
2
,2ab,a
2
-b
2
(a>b
>0),
则这个三角形是
.
2
3.
如图
1
，在△
ABC
中，
AD<
/p>
是高，且
AD
BD
CD
，求证：△
ABC
为直角三角形。
考点四、灵活变通
1.
在
Rt
△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是三条边，∠B=90°，已知
a=6
，
b=10
，则
边长
c=
2.
直角三角形
中，以直角边为边长的两个正方形的面积为
7
cm
2
，
8
cm
2
，则以斜边为边长
的正方形的面积为
_________
cm
2
．
B
6
8
A
3.<
/p>
如图一个圆柱，底圆周长
6cm
，高
4cm
，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从
A
点爬到
B
点，则最少要爬行
cm
4.
如图：带阴影部分的半圆的面积是
（
取
3
）
5.
一只蚂蚁从长、
宽都是
3
，
高是
8
的长方体纸箱的
A
点沿纸箱爬到
B
点，
那么它所爬行的最短路线的长是
6.
如图：在一个高
6
米，长
10
米的楼梯表面铺
地毯，
则该地毯的长度至少是
米。
考点五、能力提升
1.
已知：如图，△
ABC
中，
AB
＞
AC
，
AD
是
BC
边上的高．
求证：
AB
2
-AC
2
=BC(BD-
DC)
．
2.
如图，四边形
< br>ABCD
中，
F
为
DC
的中点，
E
为
BC
上一点，
1
且
CE
BC
．你能说明∠
AFE
是直角吗？
4
C
3.
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，现<
/p>
D
将直角边
AC
沿直线
AD
折叠，使它落在斜边
AB<
/p>
上，且与
AE
重合，
你能求出
CD
的长吗？
A
B
E
三
.
随堂检测
1
．已知△
ABC
中，∠
A=
∠
B=
∠
C
，则它的三条边之比为（
）
．
A<
/p>
．
1
：
1
：
1
B
．
1
：
1
：
2
C
．
1
：
2
：
3
D
．
1
：<
/p>
4
：
1
2
．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（
）
．
A
．<
/p>
6
，
7
，
8
B
．
5
，
6
，
7
C
．
4
，<
/p>
5
，
6
D
．
3<
/p>
，
4
，
5
3
．若等边△
ABC
的边长为
2cm
，那么△
ABC
的面积为（
）
．
2
2
2
A
．
3
cm
B
．
2
cm
C
．
3 cm
D
．
4cm
2
4.
直角三角形的两直角边分别为
5c
m
，
12cm
，其中斜边上的高为（<
/p>
）
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm C
．
30
／
13cm D
．
60
／
13 cm
5.
有两棵树，一棵高
6
< br>米，另一棵高
3
米，两树相距
4
米．一只小鸟从一棵树的树梢飞
到另一棵树的树梢，至少飞了＿
＿＿米．
6.
一座桥横跨一江，桥长
12m
，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到
达
南岸以后，发现已偏离桥南头
5m
，
则小船实际行驶＿＿＿
m
．
7.
一个三角形的三边的比为
5
∶
12
∶
13
，它的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿．
8.
已知直角三角形一个锐角
60°，斜边长为
1
，那么此直角三角形的周长是<
/p>
．
9.
有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出
1
尺，
斜放就恰好等于门的对角线长，
已知门宽
4
尺．求竹竿高与门高．
10.
如图
1
所示，梯子
AB
靠在墙上，梯子的底端
A
到墙
根
O
的距离为
2m
< br>，梯子的顶端
B
到地面的距离为
7m
．现将梯子的底端
A
向外移动到<
/p>
A′,
使梯子的底端
A′
到墙根
O
的距
离为
3m
，同时梯子的顶端
B
下降到
B′
，那么
BB′
也等于
1m
吗
?
B
B
′
O
A
′
A
图
1
11.
已知：如图△
ABC
中，
AB=AC=10
，
BC=16
，点
D
< br>在
BC
上，
DA
⊥
CA
于
A
< br>．
求：
BD
< br>的长．
四
.
小结与反思
勾股定理复习学案
一、重点：
1
、明确勾股定理及其逆定理的内容
2
、能利用勾股定理解决实际问题
二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了
三、练习：
考点一、已知两边求第三边
1
．在直角三角形中
,
若两直角边的长分别为<
/p>
1cm
，
2cm
，则斜边长为
_____________
．
2
．已知直角三角形的两边长为
3
、
2
，则另一条边长是
________________
．
3
．在数轴上作出表示
的点．
4
．
已知，如图在Δ
ABC
中，
AB=BC
=CA=2cm
，
AD
是边
BC
上的高．求
①
AD
的长；
②Δ
A
BC
的面积．
考点二、利用列方程求线段的长
5<
/p>
．如图，铁路上
A
，
B
两点相距
25km
，
C
，
D
为两村庄，
DA
⊥
AB
于
A
，
CB
⊥
AB
于
B
，
已知
DA=15km
，
C
B=10km
，现在要在铁路
AB
上建
一个土特产品收购站
E
，使得
C
，
D
两村到
E
站的距离相等，则
E
站应建在离
A
站多少
km
处？
6
．如图，某学校（
A
点）与公路（直线
L
）的距离为
300
米，
又与公路车站（
D
点）的距离为
500
米，现要在公路上建一个小商
店（
C
点）
，使之与该
校
A
及车站
D
的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
< br>7
、分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（
1
）
3
、
4
、
5
（
< br>2
）
5
、
12
、
13
（
3
）
8
、
1
5
、
17
（
4
）
4
、
5
、
6
，其中能够成直角三角形的有
-----------
8
、若三角形的三别
是
a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),
则这个三
角形是
---------------.
9
、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立
< br>即从相距
13
海里的
A
、
B
两个基地前去拦截，六分钟后同时到达
C
地将其拦截。已知甲
巡逻艇每小时航行<
/p>
120
海里，乙巡逻艇每小时航行
50<
/p>
海里，航向为北偏西
400.
那么甲巡<
/p>
逻艇的航向是怎样的？
四、灵活变通
10
< br>、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为
7
，
8
，则以斜边为边长的
正方形的面积为
_________
．
11
、如
图一个圆柱，底圆周长
6cm
，高
4c
m
，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从
A
点爬到
B
点，则
最少要爬行
cm
12
、
．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为
2.5
㎝，
高为
12
㎝，吸
管放进杯里，杯口外面至少要露出
4.6
㎝，问吸管要做多长？
13
、如
图：带阴影部分的半圆的面积是
-----------
（
取
3
）
14
、若一个三角形的周长
12
cm,
一边长为
3
cm,
其他两边之差为
cm,
则这个三角形是
_____________
_________
．
五、能力提升
15
< br>、已知：如图，△
ABC
中，
A
B
＞
AC
，
A
D
是
BC
边上的高．
< br>
求证：
AB2-AC2=BC(BD-
DC)
．
16
、
如图
，四边形
ABCD
中，
F
为
DC
的中点，
E
为
BC
上一点，
且
．你能说明∠
AFE
是直角吗？
复习第一步：
：
勾股定理的有关计算
例
1
：
（
2006
年甘肃省定西市中考题）下图阴
影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为
．
析解：图中阴影是一个正方形，面
积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股
定理得正方形边长平方为：
172-152=64
，故正方形面积为
6
勾股定理解实际问题
例
2
．
（
2004
年吉林省中考试题）
图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图
（单位：
cm
）
．
其
中矩形
ABCD<
/p>
是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分
DCEF
为矩形绸缎旗面，
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的
高度为
220cm
．在无风的天气里，
彩旗自然下垂，如图②．
求彩旗下垂时最低处离地面的最小高
度
h
．
析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形
DCEF
的对角线
DE
的长度，连接
D
E
，在
Rt
△
DEF
中，根据勾股定理，
得
DE=
h=220-150=70(cm)
所以彩旗下垂时的最低处
离地面的最小高度
h
为
70cm
与展开图有关的计算
例
3
、
（
2005
年青岛市中考试题）如图，在棱长为
1
的正方体<
/p>
ABCD
—
A
’
B
’
C
’
D
’的
表面上，求从顶点
< br>A
到顶点
C
’的最短距离．
析解：正方体是由平面图形折叠而成，
反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，
如图是正方体展开成平面图形的一部分，
在矩形
ACC
’
A
’
中，
线段
AC
’
是点
A
到点
C
’
的最短距离．而在正方体中
，线段
AC
’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点
A
到顶
点
C
’的最短距离就是在图
2
中线段
< br>AC
’的长度．
在矩形
ACC
’
A
’中，因为
AC=2
，
CC
’
=1
所以由勾股定理得
AC
’
=
．
∴从顶点
A
到顶点
C
’的最短距离为
复习第二步：
1
．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分
不清直角三角形的斜
边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这
些错误的出现，在
解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角
形是否为直角三
角形．
例
4
：在
Rt
△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是三条边，∠
B=90
°，已知
a=6
，
b=10
，求边长<
/p>
c
．
错解：因
为
a=6
，
b=10
< br>，根据勾股定理得
c=
<
/p>
剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠
B=90
°，这一条件而导致没有分清直角三
角形的斜边和直角边，错把
c
当成了斜边．
正解：
因为
a=6
，
b=10
，根据勾股定理得，
c=
温馨提示：运用勾股定理时，一定
分清斜边和直角边，不能机械套用
c2=a2+b2
例
5
：已知一个
Rt
△
ABC
的两边长分别为
3
和
4
，则第三边长的平方是
错解：因为
Rt
△
ABC
的两边长分别为
3
和
4
，根据勾股定
理得
:
第三边长的平方是
32+42=25
剖析：此题并没有告诉我们已知的边长
4
一定是直角边，而
4
有可能是斜边，因此要分
类讨论．
正解：当
4
为直角
边时，根据勾股定理第三边长的平方是
25
；当
4
为斜边时，
第三边长的平
方
为：
42-32=7
，因此第三边长的平方为：
25
或
7
．
< br>
温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．
例
6
：已知
a
，
b
，
c
为⊿
ABC
三边，
a=6
，
b=8
，
9
，由题意知则 ． 中，∠ °，那么这两个角相等 <
br> <
br>米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了
<
br>△ <
br>AB
<
br>14 <
br>靠在墙上，梯子的底端
<
br>与∠ <
br>表示，平行四边形 ，对
°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：
b
，且
c
为整
数，则
c=
．
错解：由勾股定理得
c=
剖析：此题并没有告诉你⊿
ABC
为直角三角形
，因此不能乱用勾股定理．
正解：由
b
，结合三角形三边关系得
8
，即
8
，又因
c<
/p>
为整数，故
c
边长为
、
10
、
11
、
12
、
13
．
温馨提示：只有在直角三角
形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形．
2
．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归
的思想及分类的思想；
例
7
：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠，使它落在斜边<
/p>
AB
上，且与
AE
重合，你能求出
CD
的长吗？
析解：因两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，所以由勾股定理求得
AB=10
cm
，设
CD=x
DE=x
，
AE=A
C=6
，
BE=10-6=4
，
BD=8-x
．在
Rt
△
BDE
由勾股定理得：
42+x2
=(8-x)2
，解得
x=3
，故
CD
的长能求出且为
3
运用中的质疑点：
（
1
）使用勾股定理的前提是直角三角形；
（
2
）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；
（
3
）
已知直角三角形中两
边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．
复习第三步：
选择题
1
．已知△
ABC
A=
∠
B=
∠
C
，则它的三条边之比为（
）
．
A
．
1
：
1
：
B
．
1
：
：
2
C
．
1
：
：
D
．
1
：
4
：
1
2
．已知直角三角形一个锐角
60
°，斜边长为
1
，那么此直角三角形的周长是（
）
．
A
．
B
．
3
C
．
D
．
3
．下列
各组线段中，能够组成直角三角形的是（
）
．
A
．
6
，
7
，
8
B
．
5
，
6
，
7
C
．
4
，
5
，
6
D
．
3
，
4
，
5
4
．下列各命题的逆命题成立的是（
）
A
．全等三角形的对应角相等
B
．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C
．两直线平行，同位角相等
D
．如果两个角都是
45
5
．若等边△
ABC
的边长为
2cm
，那么△
ABC
的面积为（
）
．
A
．
cm2
B
．
2 cm2
C
．
3 cm2
D
．
4cm2
6
．在<
/p>
Rt
△
ABC
中
，已知其两直角边长
a=1
，
b=3<
/p>
，那么斜边
c
的长为（
）
．
7
．直角三角形的两直角边分别为
5cm
，<
/p>
12cm
，其中斜边上的高为（
）
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm
C
．
cm
D
．
cm
8
．两只小鼹鼠在地下打洞，一
只朝前方挖，每分钟挖
8cm
，另一只朝左挖，每分钟挖
6cm
，
10
分钟之
后两只小鼹鼠相
距（
）
A
．
50cm
B
．
100cm
C
．
140cm
D
．
80cm
9
、有两棵树，一棵高
6
米，另一棵
高
3
米，两树相距
4
＿＿＿米．
10
．一座桥横跨一江，桥长
12m
，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发
现已偏离桥
南头
5m
，则小船实际行驶
＿＿＿
m
．
11
．一个三角形的三边的比为
5
∶<
/p>
12
∶
13
，它
的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿．
12
．在
Rt
ABC
中，∠
C
＝
90
°，中线
BE
＝
13
，另一条中线
AD2
＝
331
，则
＝＿＿＿．
13
．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出
1
尺，斜放就恰好等于门的对角
线长，已知门宽
4
尺．求竹竿高与门高．
．如图
3
，台风过后，一希
望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部
8m
处
，已知旗杆原长
16m
，你
能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
15
．如
图
4
所示，梯子
AB
A
到墙根
O
的距离为
2m
，梯子的顶端
B
到地面的距离为
7m
．现
将梯子的底端
A
向外移动到
A
′
,
使梯子的底
端
A
′到墙根
O
的距离为
3m
，
同时梯子的顶端
B
下降到
B
′，<
/p>
那么
BB
′
也等
于
1m
吗
?
第
18
章
平行四边形
18.1.1
平行四边形及其性质
(
一
)
学习目标：
理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
学习重点：
平行四边形的定义，平行四边形
对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
学习难点：
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
学习过程：
一、自主预习（
10
分钟）
1.
由
__
_
条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有
_
条边，
_ __
个角
,
四边形的内角和等于
_____
度；
2.
如图
AB
与
BC
叫
_ __
边，
AB
与
CD
叫
__ _
边
；∠
A
与∠
B
叫
_ __
角，∠
D
B
叫
_
__
角
;
3
多边形中
不相邻顶点的连线
叫对角线，如图四边形
ABCD
中对角线有
__
_
条，它们是
___ ___
自学课
本
P
83
～
P
84
，
1.
有两组对边
__________________
的四边形叫平形四边形，平行四边形用
“______”
ABCD
记作
__________
。
2.
如图
□
ABCD
中，
对边有
______
组，分别是
___
________________
，对角有
_____
组，分别是
_________________
角线有
______
条，它们
是
___________________
。
你能归纳
ABCD
的边、角
各有什么关系吗？并证明你的结论。
二、合
作解疑（
25
分钟）
如图，小明用一根
36
m
长的
绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边
AB
长为
8
m
，其他三条边各长多少？
个平行四边形的一个外角是
38
（
3
）
AB
CD
有一个内角等于
40
°，则另外三
个内角分别为：
（
4
）平行四边形的周长为
50cm
，两邻边之比为
2
：
3<
/p>
，则两邻边分别为：
1.
< br>ABCD
中
，
∠
A
︰
∠
B
︰
∠
C
︰
∠
D
的
值
可<
/p>
以
是
（
）
A.1
︰
2
︰
3
︰
4 B.3
︰
4<
/p>
︰
4
︰
3
C.3
︰
3
︰
4
︰
4 D.3<
/p>
︰
4
︰
3
︰
4
2.
ABCD
的周长为
40cm
，△
ABC
的周长为
2
7cm,AC
的长为
（
）
A.13cm B.3 cm C.7 cm D.11.5cm
三、综合应用拓展
1.
如图，
AD
∥
BC
，
AE
∥
CD
，
BD
平分∠
ABC
，求证
AB=CE.
三、当堂检测（
10
分钟）
1
．填空：
（
1
）在
ABCD
中，∠
A=
50
，则∠
B=
度，∠
C=
度，∠
D=
度．
<
/p>
1
．两组对边分别
______
的四边形叫做平行四边形．它用符号“
□
”表示
，平行四边形
ABCD
记作
_____
_____
。
2
．平行四边形的两组对边分别
______
且
______
；平行四边形的两组对角分别
____
__
；两邻角
______
；平行四边
形的对
角线
______
；平行四边形
的面积＝底边长×
______
．
<
/p>
3
．在
□
ABC
D
中，若∠
A
－∠
B
＝
4
0
°，则∠
A
＝
______
，∠
B
＝
______<
/p>
．
4
．若平行
四边形周长为
54cm
，两邻边之差为
5cm
，则这两边的长度分别为
______
< br>．
5
．若
□
ABCD
的对角线
AC
平分∠
DAB
，则对角线
AC
与
BD
的位置关系是
______
．
6
．如图，
□
ABCD
中，
CE
⊥
AB
，垂足为
E
，如果∠
A
＝
115
°，则∠
BCE
＝
______
．
6
题图
7<
/p>
．如图，在
□
ABCD
< br>中，
DB
＝
DC
、∠
A
＝
65
°，
CE
⊥
BD
于
E
，则∠
BCE
＝
______
．
7
题图
<
/p>
8
．若在
□
AB
CD
中，∠
A
＝
30
°，
AB
＝
7cm
，
AD
＝
< br>6cm
，则
S
□
ABCD
＝
______
．<
/p>
二、选择题
9
．如图，将
□
ABCD
沿
AE
翻折，使点
B
恰好落在
AD
上的点
F
处，则下列结论不一定成立
的是
(
)
．
．．．．．
(A)
< br>AF
＝
EF
< br>(B)
AB
＝
EF
(C)
AE
＝
AF
(D)
AF
＝
BE
10
．如图，下列推理不正确的是
(
)
．
(A)
∵
AB
∥
CD
∴∠
AB
C
＋∠
C
＝
1
80
°
(B)
∵∠
1
＝∠
2
∴
AD
∥<
/p>
BC
(C)
∵
AD
∥
BC
∴∠
3
＝∠
4
(D)
∵∠
A
＋∠
ADC
＝
180
< br>°
∴
AB
∥
CD
11
．平行四边形两邻边分别为
24
和
16
，若两长边间的距离为
8
，则两短边间的距离为
(
)
．
(A)5
(B)6
(C)8
(D)12
1.
□
ABCD
中，两邻
角之比为
1
∶
2
，则它的四个内角的度数分别是
____________.
2.
□
ABCD
的周长是
28
cm
，△
ABC
的周长是
22
cm
，则
AC
的长是
__________
.
3.
如图，在
□
< br>ABCD
中，
M
、
N
是对角线
BD
上的两点，
BN=DM
，请判断
AM
与
CN
有怎样的数量关系，并说明理由
.
它们的位置关系如何呢？
A
N
M
B
C
D
18.1.1
平行四边形的性质
2 <
/p>
学习目标：
理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角
线互相平分的性质．
能综合运用平
行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
学习重点：
平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
< br>
学习难点：
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证
和计算．
学习过程：
一、自主预习（
10
分钟）
想一想：
1.
平行四边形是一个特殊的
图形，它的边、角各有什么性质？
2.
平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？<
/p>
探一探
按
课本
85
页的“探究”方法进行操作，并画出这两个平行四边形
的对角线
.
实验后思考：
（
1
）从这个实验中你是否发现平行四边形的边、
角之间的关系？这与前面的结论一致吗？
（
2
）线段
OA
与
OC
，
OB
与
OD
有
什么关系（如下图）？由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质？
2.
猜一猜
平行四边形的对角线有什么性质？
3.
证一证
4.
结论
平行四边形是中心对称图形
.
二、合作解疑（
25
分钟）
1.
在
□
ABCD
中，
AC
、
BD
交于点
O
，
已知
AB
=8<
/p>
cm
，
BC
=6
cm
，
△
AO
B
的周长是
18
cm
< br>，
那么△
AOD
的周长是
_____________.
2.
□
ABCD
的对角线交于点
O
，
S
△
AOB
=2
cm
2
，则
S
□
ABCD
=__________.
3.
□
ABCD
的周长为
60<
/p>
cm
，对角线交于点
O
< br>，△
BOC
的周长比△
AOB<
/p>
的周长小
8
cm
，则
AB
=______
cm
，
BC
=_______
cm
.
4.
□
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于点
O
，若
AC
=8
，<
/p>
AB
=6
，
BD
=
m
，那么
m
的取值范围是
____________.
5.
□
AB
CD
中，
E
、
F
在
AC
上，四边形
< br>DEBF
是平行四边形
.
求证：
AE=CF
.
D
E
A
B
F
C
6.
如图，田村有一口四边形的池塘
，在它的四角
A
、
B
< br>、
C
、
D
处均有一棵大桃树
.
田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积
扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出
图形，说明理由
.
A
B
C
D
综合应用拓展
已知：如下图，
< br>ABCD
的对角
AC
，
BD
交与点
O.E
，<
/p>
F
分别是
OA
、
OC
的中点。
求证：△
OBE
≌△
ODF.
A
D
E
O
F
B
C
三、限
时检测（
10
分钟）
1
．平行四边形一条对角线分一个内角为
25
°和
35
°，则
4
个内角分别为
______
．
2
．
□
< br>A
B
C
D
中
，
对
角
线
A
C
和
B
D
交
于
O
，
若
A
C
＝
8
，
B
< br>D
＝
6
，
则
边
A
B
长
的
取
值
范
围
是
______
．
3
．平行四边形周长是
40cm
，
则每条对角线长不能超过
______cm
．
< br>
4
．如图，在
□
ABCD
中，
AE
、
AF
分别垂直于
BC
、
CD
，垂足为
E
、
F
，若∠
EAF
＝
30
°，
AB
＝
6
，
AD
＝
10
，则
CD
＝
______
；
AB
与
CD
的距离为
_
_____
；
AD
与
< br>BC
的距离为
______
；∠
D
＝
______
．
5
．
□
ABCD
的周长为
60cm
，
其对角线交于
O
点，
若△
AOB
的周长比△
BOC
的周长多
10cm
，
则
AB
＝
______
，
BC
＝
__
____
．
6
．在
□
ABCD
中，
AC
与
BD
交于
O
，若
OA
＝
3
x
，
AC
＝
4
x
＋
12
，则
OC
的长为
______
．
7
．在
□
ABCD
中，
CA
⊥
AB
，
∠
BAD
＝
120
°，若
BC
＝
10cm
，则
AC
＝
______
，
AB
＝
__
____
．
8
．在
□
ABCD
中，
AE
⊥
BC
于
E
，若
AB
＝
10cm
，
BC
＝
15cm
，
BE
＝
6cm
，则
□
ABC
D
的面积为
______
．
二、选择题
9
．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平
行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成
4
个面积相等
的小三角形．
其中正确说法的序号是
(
)
．
(A)
①②④
(B)
①③④
(C)
①②③
(D)
①②③④
10
．平行四边形一边长
12cm
，那么它的两条对角线的长度可能是
(
)
．
(A)8cm
和
16cm
(B)10cm
和
16cm
(C)8cm
和
14cm
(D)8cm
和
12cm
11
．以不共线的三点
A
、
B
、
C
为顶
点的平行四边形共有
(
)
个．
(A)1
(B)2
(C)3
(D)
无数
12
．在
□
ABCD
< br>中，点
A
1
、
< br>A
2
、
A
3
、
A
4
和
C
1
、
C
2
、
C
3
、
C
4
分别是
AB
和
CD
的五等分点
，点
B
1
、
B
2
、和
D
1<
/p>
、
D
2
分别是<
/p>
BC
和
DA
的三
等分点，已知四边形
A
4
B
2
C
4
D
2
的面积为
1
，则
□
ABCD
的面积为
(
)
(A)2
(C)
(B)
3
5
5
3
(D)15
13
< br>．根据如图所示的
(1)
，
(2
)
，
(3)
三个图所表示的规律，依次
下去第
n
个图中平行四边形的个数是
(
)
……
(1)
(2)
(3)
(B)3
n
< br>(
n
＋
1)
(C)6
n
(D)6
n
(
n
＋
1
课
后
作
业
1
．在平
行四边形中，周长等于
48
，
①
已知一边长
12
，求各边的长
②
已知
AB
=2BC
，求各边的长
③
已知对角线
AC
、
BD
交于点
< br>O
，
△
AOD
< br>与
△
AOB
的周长
长
2
．如图，
3
．
ABCD
中，
AE
⊥
BD
，∠
EAD=60°
，
AE=2cm
，
AC+BD=14cm
，则
△
OBC
的周长是
____
___cm
．
ABCD
的周长是
__
___
cm
．
ABCD
一内角的平分线与边相交并把这条边分成
5
cm
，
7
cm
的两条线段，则
(A)3
n
的差是
10
，求各边的
七、课后练习
1
．判断对错
（
1
）在
ABCD
< br>中，
AC
交
BD
于
O
，则
AO=OB=OC=
OD
．
（
）
（
2
）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．
（
）
（
3
）平行四边形的两组对边分别平行且相等．
（
）
（
4
）平行四边形是轴对称图形．
（
）
2
．在
AB
CD
中，
AC
＝
6
、
BD
＝
4
，则
AB
的范围是
< br>__
______
．
3
．
在平行四边形
ABCD
中，
已知
AB
、
BC
、
CD
三条边
的长度分别为
（
x+3
）
，
（
x-4
）
和
16
，
则这个四边形的周
长是
．
4
．公园
有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修
＝
15cm<
/p>
，
AD
＝
12c
m
，
AC
⊥
B
C
，求小路
BC
，
CD
，
OC
的
几条笔直的小路，
如图，
AB
长，
并算出绿地的面积．
如图，在
ABCD
中，
AB=6cm
，
BC=11cm
，对角线
AC,BD
相交于点
O
，求△
BOC
与△
AOB
的
周长的
A
D
差
.
O
B
C
18.1.2
平行四边形的判定
1
学习目标：
1
．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线
来判定平行四边形的方法．
2
．会综
合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
学习重点：
平行四边形的判定方法及应用．
学习
难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
学习过程：
一、自主预习（
10
分钟）
【活动一】
提出问题：
1.
平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2.
平行四边形具有哪些性质？
3.
平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过
来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边
形是不是平行四边形呢？
【活动二】
★探究：小
明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办
法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条，通过
观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（
1
）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边
形吗？