最新人教版八年级下册数学辅导专用教程(精品)
学以致用-
2018
年暑假数学补习班专用教材
第一讲
二次根式的概念及有意义的条件
一、二次根式的概念
形如
a
(
a
0
)
的式子叫做二次根式。
a
被称为被开方数（式）
，
“
例
1
：判断下列式子哪些是二次根式。
1
○
2
2
2
2
○
3
(
3)
○
4
3
7
○
5
a
2
○
6
a
2
1
5
○
”叫二次根号。
变式训练：
1
、下列各式中是二次根式的是。
<
/p>
1
○
2
3
2
2
a
2
○
3
a
2
1
○
4
a
1
○
5
(
a
<
/p>
b
)
○
6
a
2
3
○
2
、如果
n
m
n
是二次根式，那么
m
、
n
应满足的条件是。
二、二次根式有意义的条件
笔记：
例
2
：当
x
为何值时，下列各式有意义？<
/p>
（
1
）
x
3
(2)
3
x
x
2
(3)
1
2
x
1
变式训练：
3
、
若
x
3
<
/p>
1
有意义，则
x
的取值范围是。
5
x
1
有意义，则点
P(
a
,
b
)
所在象限为。
ab
4<
/p>
、若式子
a
b
5
、已知
实数
x
、
y
满
足等式：
y
当堂检测
1
、使代数式
x
3
3
x
5
,
求
x<
/p>
2
2
xy
y
2
的值。
x
有意义的
x<
/p>
的取值范围是（
）
2
x
1
1
1
C.
x
0
且
x
D.
一切实数
2
2
A.
x
0
B.
x<
/p>
2
、使式子
m
2
有意义的最小整数
m
的值为。
3
、下列各式中不一定是二次根式的是（
）
2
2
A.
a
B.
b
1
C.
0
D.
(<
/p>
a
b
)
4
、
y
3
x
中自变量
x
的取值范围为。
5
、已知式子
x
1
1
x
有意义，则
x
的值为。
1
用心，才能铸就成功
！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
2018
年暑假数学补习班专用教材
第二讲
a
、
a
2
与
(
a
)
2
a
具有双重非负性
a
2
=|a|
(
a
)
2
=
a
例
1
：
（
1
）已知
x
1
x
y
2
0
,
求
x
、
y
的值。
（
2
）若二
次根式
3
y
与
x
1
的值
互为相反数，求
2x+3y-1
的值。
变式：已知实数
x
< br>、
y
满足
x
2
y
3
|
2
x<
/p>
3
y
5|
0
,
求
x
8
y
的值。
例
2
：
（
1
）计算：
(<
/p>
（
3
）在实数
范围内分解因式：
x
4
4
x
2
< br>2
x
2
4
变
式：在实数范围内分解因式：
4
x
<
/p>
25
2
1
2
)
(
3
3)
2
(2)
若
(
x
2)
2<
/p>
2
x
,
求
x
。
3
2
2
例
3
：在
< br>
ABC
中，
a,b,c
是三角形的三边长，试化简：
(
a
b
c
)
2
|
c
a
b
|
2
2
变式<
/p>
1
、如图，化简：
(
p
1)
(
p
2)
=.
0
1
P
2
2
、化简求值：
< br>2
a
a
4
a
4
,
其中
a
<
/p>
3
.
当堂检测
2
2
2
1
、如图，化简：
a
b
(
a
b
)
2
a
0
b
2 <
/p>
用心，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望
！
2018
年暑假数学补习班专用教材
2
、在实数范围内分解因式：
2
x
2
4
小试牛刀
一、选择题（每题
5
分，共
35
分）
1
、使代数式
x
2
x
1
有意义的
x
的取值范围是（
）
A.
x<
/p>
0
B.
x
<
/p>
1
1
2
C.
x<
/p>
0
且
x
2
D.
一切实数
2
、实数
a,b
在数轴上的位置如图
所示，且
|a|>|b|,
则化简
a<
/p>
2
|
a
b
|
的结果为（<
/p>
A.2a+b
B.-2a+b
C.b
D.2a-b
a
< br>0
b
3
、若实数
a,b
满足
|
a
1|
b
1
0
,
则
ab
2013
为（
）
A.0
B.1
C.-1
D.
1
4
、使式子
x+1+
2
x
有意义的
x
的取值范围是【
】
A
．
x≥
－
1
B
．－
1≤x≤2
C
．
x≤2
D
．－
1<
/p>
＜
x
＜
2
5
、
已知实数
x<
/p>
，
y
满足
x
4
+
y
8=0
，
则以
x
，
y
的值为两边长
的等腰三角形的周长是
【
A
．
20<
/p>
或
16
B
．
20
C
．
16
D
．以上答案均不对
6
、下列各式正确的是（
）
A.
（
－
2
）
2
＝
2
B
.
（－
2
）
2
＝－
4
C.
（－
2
）
2
＝
2
D.
（－
x
）
2
＝－
x
7
、如果
a
是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（
）
A
、
a
B
、
2
a
C
、
a
2
D
、
1
a
2
二、填空题（每题
5
分，共
30
分）
8
、使
x
2
有意义的
x
的取值范围是．
9
、若
x
2y+9
与
|x
﹣
y
﹣
3|
互为相反数，则
x+y=
10
、当
x
=
﹣
4
时，
6
3x
的值是．
11
、
若
m
1
m<
/p>
1
有意义，则
m
的取值范围是
3 <
/p>
用心，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望
！
）
】
201
8
年暑假数学补习班专用教材
第三讲
二次根式的乘除
< br>公式：
a
b
< br>
ab
(
)
例<
/p>
1
：计算：
（
1
）
6
27
<
/p>
(
3
3)
(2)
5
27
3
125
变
式：
计算：
（
1
）
例
2
：将
a
<
/p>
变式：把
(1
x
)<
/p>
3
2
24
6
（
2
）
（
a>b>0
）
3(
2<
/p>
2
3)
(3)
3
a
b
(
2
a
b
)
4
3
1
根号外面的因式移到
根号内。
a
1
根号外面的因式移到根号内为。
x
1
公式：
a
a
(
) <
/p>
b
b
例
3
、计算（
1
）
2
变式：计算：
（
1
）<
/p>
3
1
2
（
2
）
3
6
x
y
(
6
2
xy
)
2
8
3
48
3)
（
2
）
27
(
10
2
3
4
用心
，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
2018
年暑假数学补习班专用教材
第四讲
最简二次根式
一、判断二次根式是否为最简二次根式的三条黄金法则：
二、两个公式
ab
< br>
a
b
(
)
a
a
(
) <
/p>
b
b
例
1
化简：
（
1
）
49
（
2
）
12
15
（
3
）
27
a
4
b
2
3
2
2
变式：
化简：
（
1
）
588
（
2
）
(
36)
16
(
9)
(3)
x
6
x
y
9
xy
(
x
0,
y
0)
例
2
：化简
：
（
1
）
4<
/p>
提升一下：计算：
< br>（
1
）
2
再提升一下：先化简再求值：
4
4
1
2
（
2
）
（
3
）
9
x
（
4
）
7
5
9
5
2
1
2
x
< br>2
x
3
28
(
5
2
)
(2)
x
3
2
7
x
2
x
2
x
2
< br>1
x
2
x
(
x
)
,
其中，
x
2
.
1<
/p>
x
1
x
最简二次根式巩固练习
一、填空题：
1
．把下列二次根式化成最简二次根
式．
（
1
）
120
＝
________
；
（
2
）
27
＝
< br>________
；
（
3
）
1
＝
______
__
；
（
4
）
2
________
；
（
5
）
84
＝
________
；
（
6
）
250
＝
______
__
；
（
7
）
24
＝
________
；
（
8
）
< br>8
＝
________
；
（
9
）
98
＝
________
；
（
10
）<
/p>
4
.
5
＝
________
．
1
8
1
＝
4
2
．设<
/p>
x
＜
0
，则
8
＝
_____
____
．
x
5
用心，才能铸就成功！加油，我
不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
2018
年暑假数学补习班专用教材
3
．
下列二次根式
45
a
，
30
，
2
二、选择题
1
2
，
40
b
，
54
中的最简二次根式有
_____
___
．
2
1
．在二次根式
72
，
5
a
，
3
，
9
，
3
x
中，最简二次根式的个数是（
）
．
2
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
2
．下列各式中是最简二次根式的是（
）
．
A
．
4
198
B
．
1
C
．
a
D
．
1
2
3
．下列各式中，不是最简二次根式的是（
）
．
A
．
30
B
．
x
x
C
．
x
1
D
．
363
4
．下列计算中正确的是（
）
．
A
．
2
1
3
4
2
B
．
6
12
9
3
1
2
2
8
C
．
8
18
2
2
3
2
D
．
5
．如果
|
x
2
|
y
9
0
，则
．
y
(
x
1
)
＝（
）
A
．
3
3
B
．
3
3
C
．
3
3
< br>
D
．
3
2
6
．下列
二次根式中，最简二次根式是（
）
．
A
．
a
1
2
2
B
．
a
1
< br>
C
．
4
ab
D
．
a
b
2
7
．下列二次根式中，最简二次根式
是（
）
．
A
．
m
3
2
B
．
8
m
C
．
2
m
D
．
m
16
2
8
．下列根式中，是最简二次根式的是（
）
．
2
3
3
A
．
0
.
5
x
B
．
2
xy
C
．
x
y
D
．
9
x
9
y
三、
下列根式中，哪些是最简二次根
式？哪些不是？若不是，请说明理由．
1
．
70
2
．
x
9
3
．
2
38
4
．
45
a
8
5
．
2
1
2
2
2
6
．
4
ab
7
．
17
(
a
b
)
8
．
54
2
6
用心，才能铸就成功！加油，我
不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
2018
年暑假数学补习班专用教材
第五讲
二次根式的加减
同类二次根式：
根式的加减实际上是合并同类二次根式的过程。
例
1
计算：
（
1
）
2
8<
/p>
变式：计算：
5
练习：计算：
（
1
）
(4
6
4
(3)
(
3
2
2)<
/p>
2
(4)
(4
7)(4
7)
7
用心，才能铸就成功！加油，我
不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
1
a
1
1
1<
/p>
18
32
（
2
）
(
a
4
b
)
(
b
)
< br>2
4
a
4
b
1
5
4
1
m
1
(
45)
m
4
m
6
m
2
m
2
5
4
5
< br>2
9
m
1
3
8)
2
2
<
/p>
(2)
(
10
7)(
10
7)
(
2
1)
2
2<
/p>
2018
年暑假数学补习班专用教材
第六讲
勾股定理
一、勾股定理的证明
二、勾股定理及其应用
定理：
几何语言：
例
1
在<
/p>
Rt
ABC
中
，∠
C=90
o
。
（
1
）已知
a=b=6
，求
c.
(2)
已知
c=3,b=2,
求
< br>a
。
（
3
）已知
a:b=2:1
，
< br>c=5
，求
a,b.
例
2
已知一个直角三角形的两边长分
别为
3
和
4
，
求第三边的长。
例
3
：如图，在
A
BC
中，
AB=AC,
∠
C=30
o
，
DA
⊥
AB
于点
A
，若
BC
等于
6cm<
/p>
，求
AB
。
A
B
D
8
用心
，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
C
2018
年暑假数学补习班专用教材
变式：
1
、若直角三角形的两直角边长分别为
3
和
4
，则斜边上的高为（
）
A.5
B.2.4
C.3.6
D.
以上答案都不对
2
、填空：
（
1
）在
Rt
ABC
中，∠
C=90
o
,a
=5,b=12,
则
c=
。
（
2
）在
Rt
ABC
中，∠
B=90
o
, a=5,b=12,
则
c=
。
（
3
）在
Rt
ABC
中，∠
C=90
o
,
∠
A=4
5
o
，则
BC:AC:AB=.
（
4
）在
Rt
ABC
中，∠
C
=90
o
,
∠
A=30
o
，则
BC:AC:AB=.
例
4
有两棵树，一棵高
10
米，一棵高
4
米，两树相
距
8
米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵树的树梢，求小鸟飞行的最短距离。
D
变式：
3
、
如图四边形
ABCD
，求
AD
长。
A
B
C
A
4
、如图，在
ABC
中，∠
A=60
o
，
AB=15
cm,AC=24 cm,
求
BC
的长
。
B
5
、思考
：如何作长度为
2
的线段？
10
呢？
17
呢？
6
、如图，正方形
A,B,C
的面积有着怎么
样的关系？能说说理由吗？
7
、如图，
Rt
ABC
中，∠
C=90
o
，
AD
平分∠
CAB
，
DE
⊥
AB
于点
E
，若
AC=6,BC=8,CD=3.
A
(1)<
/p>
求
DE
长。
（<
/p>
2
）求
ADB
的面积。
E
B
C
D
9
用心
，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
C