高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表
说明文-
高中数学必修
5
：等差数列与等比数列知识比较
一览表
等差数列
一般地
,
如果一个数列
{
a
n
}
从第
2
项起，每一项与它
的前一项的差等于同一个常数
d
，那么这个数列就叫
做等差数列．这个常数
d
叫公差．
等差数列的单调性：
数列
{
a
n
}
为等差数列
,
则
当公差
d
0
，则为递增等差数列，
当公差
< br>d
0
，则为递减等差数列，<
/p>
当公差
d
<
/p>
0
，则为常数列．
等比数列
一般地，如果一个数列
{
a
n
}
从第
2
项起，每一项
与
它的前一项的比等于同一个常数
q
，
那
么这个数
列就叫等比数列．这个常数
q
叫公比．
等比数列的单调性：
数列
{
a
n
}
为等比数列
,
则<
/p>
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
{
当
q
1
时，
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
；
定
义
当
0<<
/p>
q
1
时，
{
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
当
q=1
时
,
该数列为常数列，也为等差数列
;
当
q<0
时
,
该数列为摆动数列
.
等差数列的判定方法
等比数列的判定方法
（
1
）定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
（
1
）用定义：对任意
n,
都有
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
a
a
n
1
qa
n
或
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
a
n
2
a
n
a
n
-
1
a
n
1<
/p>
(
n
2
)
2
a
n
1
a
n
a
n
2
（
3
）通项公式：
a
n
kn
< br>b
（
k
,
b
是常数）
{
a
n
}
为等比数列
数列
a
n
是等差数列
2
< br>（
2
）等比中项：
a
n
a
n
1
a
n
1
（
a
n
1
a
n<
/p>
1
0
）
（
4
）前
n
项和公式：数列
a
n
是等差
数列
{
a
n
}
为等比数列
S
n
An
2
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
（
3
）通项公式：
a
n
A
B
n
A
B
0
<
/p>
{
a
n
}
为等比数列
<
/p>
（
4
）前
n
项和公式：
S
n
A
A
B
n
或
S
n
A
'
B
n
< br>A
'
A
,
B
,
A
'
,
B
'
为常数
{
a<
/p>
n
}
为等比数列
等差数列的证明方法：只能依据定义：
等比数列的证明方法：只能依据定义：
定义法：若
a
n
< br>a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
判定
方法
证明
方法
若
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
或
a
n
1
qa
n
a
n
1
{
a
n
}
为等比数列
①
a
n
1
a
n
a
2
a
< br>1
（
n
N
）
递推
关系
②
a<
/p>
n
1
a
n
d
（
n
N
）
③
a
n
1
a
< br>n
a
n
a
n
1
（
n
2,
n
N
）
*
*
*
①
a
n
1
a
2
（
n
N
）
*<
/p>
a
n
a
1
②
a
n
1
*
q
（
q
0,
< br>n
N
）
a
n
*
③
a
n
1
a
n
（
n
2,
n
N
）
a
n
a
n
1
①
a
n
a
1<
/p>
(
n
1)
d
dn
a
1
d
=
kn
b
推广：
a
n
a
m
< br>
n
m
d
（
m
、
n
N
）
*
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等差数列的通项公式．
此公式比等差数列的通项公式更具有一般性．
通项
公式
a
1
n
q
A
B
n
A
B
0
< br>
q
*
n
m
推广：
a
n
a
m
q
（
m
、
n
N
）
①
a
n
a
1
q
< br>n
1
a
n
a
m
a
a
1
，
d
n
，
a
1
a
n
< br>n
1
d
n
m
n
1
*
②
a
n
pn
q
（
p
,
q
为常数
,
n
N
）
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
d
S
1
(
n
1
)
③
由
S
n
的定义，
a
n
=
S
n
S
n
1
(
n
2
)
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等比数列
的通项公式．
,
此公式比等比数列的通项公式更具有一般性．<
/p>
q
n
m
a
a
n
n
1
，
q
n
，
a
1
a
n
q
1<
/p>
n
a
m
a
1
n
②
a
n
p
q
（
p
,
q
是常数
,
q
0,
p
0,
n
N
*
）
<
/p>
③
由
S
n
的定义，
S
1
n
1
*
（
n
N
）
< br>
a
n
S
n
S
n
2
n
1
（
n
N
）
*
1
等差中项：
等差
中项
等比
中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
< br>a
与
a
b
b
的等差中项．即：
A
或
2
A
a
b
2
等比中项：
（
1
）
如果
< br>a
,
A
,
b
成等比数列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
ab<
/p>
或
A
ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并
且它们的
等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（
2
）数列
a
n
是等比数列<
/p>
a
n
2
a
n
1
a
n
1
若
{
a
n
}
为等比数列
,
①
当
< br>q
1
时，等比数列通项公式<
/p>
2
（
2
）等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>
2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>
a
n
a
n
2
若
a
n
等差数列：
①
当公差
d
0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
< br>1)
d
dn
< br>
a
1
d
是关于
n
的一次函数，
且斜率为公差
d
.
②
a
n
1
a
n
1
2
< br>a
n
,
n
N
*
,
n
2
.
③<
/p>
当
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
< br>
a
p
a
q
（
m
、
n
p
、
q
N
*
）
特别地，
a
1
<
/p>
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
当
m
n
2
p
时，
则有
a
m
a
n
2
a
p
.
（注：扩充
到
3
项、
4
项
„„都可以，但要保证等号
两边项数相同，下标系数之和相等
.
）
④
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
n
，
主要
性质
a
1<
/p>
n
q
A
B
n
A
B
0
是关于
n
q
的带有系数的类指数函数，底数为公比
q
a
n
a
1
q
n
1
2
a
n
1
a<
/p>
n
1
a
n
,
n
N
,
n
2
②
若
p+q=s+r, p
、
q
、
s
、
r
N
*
,
则
a
p
a
q
a<
/p>
s
a
r
.
特别地，
a
1
<
/p>
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
当
m
n
2
k
时
,
得<
/p>
a
n
a
m
a
k
2
，
③
对任意
c>0,c
1, <
/p>
若
a
n
恒大于<
/p>
0
，
则
log
c
a
n
为
等差数列
. <
/p>
④
若
a
n
、
b
n
为两等比数列，<
/p>
a
n
b
，
1
a
n
2
b
n
都为等差数列
.
a
< br>⑤
若
a
n
为等差数列，
对任意
c>0,c
1,
c
为等比
n
数列
.
⑥
若
b
n
为正项等差自然数列，
则
a
b
n
为等差数列
.
⑦
每隔
k(k
N
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,<
/p>
)
仍为等差数列
< br>.
⑧
等差数列依次
n
项之和仍是等差数列
.
即
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
,
为等差数列，
且公差为
k
d
.
⑨
若
a
p
q
,
a
q
p
,
，且
p
< br>q
,
则
a
p
q
0
（
p
、
q<
/p>
N
）
.
*
a
k
则
a
n
b
n
{
}
,
< br>{
k
a
n
}
,
{
a
n
k
}
,
{
k
a
n
b
n
}
{
n
}
< br>
b
n
a
n
(k
为非零常数
)
均为等比数列
.
⑤
如果
{
a
n
}
是各项均为正数的等比数列
,
⑥
b
n
< br>
为正项等差自然数列，
则
a<
/p>
b
n
为等比数列
.
⑦
数列
{
a
n
}
为等比数列
,
每隔
k(k
< br>N
)
项取出一
项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2<
/p>
k
,
a
m
3
k
,
)
构成公比是
q<
/p>
等比数列
⑧
等
比数列依次
n
项之积，构成公比是
q<
/p>
n
的等比
数列
.
即数列
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
, <
/p>
2
*
则数列
{l
og
a
a
n
}
是等差数列
.
*
2
k
1
的
a
2<
/p>
n
1
a
2
n
2
a
3
n
为公比是
q
k<
/p>
的等比数列
.
⑨
等比数列依次
n
项和，是公比为
q<
/p>
n
的等比数列
.
n
即
S
n
,<
/p>
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
,
是公比为
q
的等差
数列
.
①
2
S
n
n
(
< br>a
1
a
n
)
，即
S
n
②
S
n<
/p>
na
1
2
n
(
a
1
a
n
)
2
< br>①
当
q
1
时，
S
n
na
1
n
(
n
1)<
/p>
d
d
a
1
1
q
n
a
1
a
n
q
d
n
2
(
a
1
<
/p>
)
n
②
当
q
1
时，
S
n
2
2
< br>2
1
q
1
q
*
2
③
S
n
An
Bn
(
A
,
B
是常数
,
n
N
)
是关于
n
的
a
a
前
n
项
1
< br>1
q
n
A
A
B
n
A
'
B
n
A
'
二次函数且常数项为
0
.
和公式
④
1
q
1
q
求
S
n
的最值：
法
1
：因等差数列前
n
项和是关于
n
的二次函数，故
*
可转化为
求二次函数的最值，但要注意数列特殊性
.
< br>（
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数，
n
N
）
法
2
：
（
1
）
“首正”的递减等差数列中，
前
n
项和的最
大值是所有非负项之和，
2