等比数列及n项和(含答案))
鸽子汤的功效与作用-
高
2011
级数学定时训练之
< br>
等比数列
1.
（
2008
·海南、宁夏理，
4
）
设等比数列
{
< br>a
n
}
的公比
< br>q
=2,
前
n
< br>项和为
S
n
,
< br>则
S
4
a
等于
2
（
）
A
.2
B
.4
C
.
15
2
答案
C
2.
等比数列
{
a
n
}
中
,
a
3
=7,
前
3
项之和
S
3
=21
，则公比
q
的值为
（
）
A
.1
B
.-
1
2
C
.1
或<
/p>
-
1
2
答案
C
3.
如果
-1,
a
,
b
,
c
,-9
成等比数列
,
< br>那么
（
）
A
.
b
=3
，
ac
=9
B
.<
/p>
b
=-3
，
ac
=9
C
.
b
=3
，
ac
=-9
`
D
.
b<
/p>
=-3
，
ac
=
-9
答案
B
4.
在等
比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
a
3
a
11
=8
，则
a
2
a
8
等于
（
）
A
.16
B
.6
C
.12
答案
D
例
1
已知
{
a
n
}
为等
比数列，
a
20
3
=2
，
a
2
+
a
4
=
3
，求
{
a
n<
/p>
}
的通项公式
.
解
方法一
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则
q
≠
0
，
a
=
a
3
q
=
2<
/p>
q
，
a
4
=
a
3
q
=2
q
，
∴
2
q
+2
q
=
20
3
< br>.
解得
q
1
< br>1
=
3
，
q
2
=3.
①当
< br>q
=
1
3
时，
a
1
=18
，
∴
a
n
=18
×
(
1
3
)
n
-1
=
18
3-
3
n
1
=2<
/p>
×
3
n
.
②当
q
=3
时，<
/p>
a
2
1
=
9
，
∴
a
n
=
2
×
3
n
-1
< br>=2
×
3
n
-3
9
.
∴
a
n
=2
×
3
3-
n
或
a
n
=2
×
3
n
-3
.
方法二
由
a
3
=2,
得
a
2
a
4
=4
，
D
.
17
2
D
.-1
或
1
2
D
.4
又
a
20
2
+
a
4
=
3
，
则
a
，
a
2
2
4
为方程
x
-
20
< br>3
x
+4=0
的两根，
2
a
解得
a
2
6
2
3
或
2
.
a
4
6
a
4
3
①当
a
2
=
2
3
时
,
q
=3,
a
n
=
a
-3
×
3
n
-3
3
·
q
n
=2
.
②当
a
1
2
=
6
时，
q
=
3
,
a
n
=2<
/p>
×
3
3-
n
∴
a
n
=2
×
3
n
-3
或
a
n
=2
×
3
3-
n
.
例
2
（
12
分）已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且对任意
n
∈
N
*
有
a
n
+
S
n
=
n
.
（
1
）设
b
n
=
< br>a
n
-1,
求证：数列
{
b
n
}
是等比数列；
（
2
）设
c
1
=
a
1
且
c
n
=
a
n
< br>-
a
n
-1
(
n
≥
2)
，求
{
c
n
}
的通项公式
.
（
1
）
证明
由
a
1
1
+
S
1
=1
及
a
1
=
S
1
得
a
1
=
2
.
又由
a
n
+
S
n
=
n
及
a
n
+1
+
S
n
+1
=
< br>n
+1
得
a
n
+1
-
a
n
+
a
n
+1
=1,
∴
2
a
n
+1
=
a
n
+1.
∴
2(
a
n
+
1
-1)=
a
n
-1,
即
2
b
n
+1
=
b
n
.
∴数列
{
b
n
}
是以
b
1
1
=
a<
/p>
1
-1=-
2
为
首项，
1
2
为公比的等比数列
.
6
（
2
）
解<
/p>
方法一
由（
1
）知
2
a
n
+1
=
a
n
+1.
∴
2
a
n
=
a<
/p>
n
-1
+1
(
n
≥
2),
∴
2
a
n
+1
-2
a
n
=
a
n
-
a
n
-1
,
∴
2
c
n
+1
=
c
n
(
n
≥
2).
又
c
1
1
=
a
1
=
2
,
a
=2,
∴
a
3
2
+
a
1
< br>+
a
2
2
=
4
.
∴
c
2
=
3
1<
/p>
1
4
-
2
=
4
,
即
c
1
2
=
2
c
1
.
< br>∴数列
{
c
n
< br>}
是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列
.
10
∴
c
n
=
1
2
·
(
1
2
)
n
-1
=(
1
2
)
n
.
12
方法二
由（
< br>1
）
b
n
=(-
1
2
)
·
(
1
2
)
n
-1
=-(
1
2
)
n
.
∴
a
n
=-(
1
2
)
n
+1.
∴
c
n<
/p>
=-(
1
n
<
/p>
1
n
1
2
)
+1-
1
2
分
分
分
分
8
1
=
2
n
1
1
< br>1
-
=
2
2
n
n
1
1
1
< br>
2
1
=
（
n
≥
2
）
.
10
分
2
1
1
又
c
1
=
a
1
=
也适合上式，∴
c
n
=
.
12
分
2
2
n
n
例
3
在等比数列
{
a
n
}
中
，
a
1
+
a<
/p>
2
+
a
3
+
a
4
+
a
5
=8
且
解
方法一
设公比为
q
,
显然
q
≠
1,
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=2,
求
a
3
.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
1
1
∵
{<
/p>
a
n
}
是等比数
列，∴
也是等比数列，公比为
.
q
a
n
a
1
(
1
q
5
)
8
1
q
2<
/p>
由已知条件得
1
(
1
1
)
,
解得
a
1<
/p>
q
4
=4,
5
q
a
1
2
1
1
q
2
∴
< br>a
3
=
（
a
1
q
）
=
4
，
2
2<
/p>
∴
a
3
=
±
2.
方法二
由已知得：
a
a
a
a
4
a
3
1
1
1
1
1
1
5
+
< br>2
+
2
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
1
a
5
a
2
a
4
a
3
=
< br>a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
2
a
3
=
8
2
a
3
=2.
2
∴
a
3
=4.
∴
a
3
=
±
2.
例
4
某林场有荒山
3 250
亩，每年春季
在荒山上植树造林，第一年植树
100
亩，计划每年比上一年多
植
树
50
亩（全部成活）
（
1
）问需要几年，可将
此山全部绿化完？
（
2
）已知新种树苗每亩的木材量是
2
立方米，树木每年
自然增长率为
10%
，设荒山全部绿化后的年底的
木材总量为
S
.
求
S
约为多少万立方米？（精确到
0.1
）
解
（
1
）每年植树的亩数构成一个以
a
1
=100
，
d
=50
的等差数列，其和即为荒山的总亩数
.
设需要
n
年可将
此山全部绿化，则
S
n
=
a
1
n
< br>+
n
(
n
1
)
n
(
n
-1)
d
=
100
n
+
×
50=3 250.
2
2
解此方程，
得
n
=10
（年）
.
（
2
）第一年种植的树在第<
/p>
10
年后的木材量为
2
< br>a
1
（
1+0.1
）
，第二年种植的树在第
10
年后的木材量为
2
a
2
（
1+0.1
）
，
……，
第
10
年种植的树在年底的木材量为
2
a
10
(1+0.1),
第
10
年后的木材量依次构成数列
{
b
n
}
，则其
和为
T
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
10
=200
×
1.1
+300
×
1.1
+
…
+1
100
×
1.1
10
9
9
10
≈
< br>1.0
（万立方米）
.
答
需要
1
0
年可将此山全部绿化，
10
年后木材
总量约为
1.0
万立方米
.
1.
已知等比数列
< br>{
a
n
}
中，
a
3
=
解
当
q
=
1
时，
a
1
=
a
2
=
a
3
=
3
1
,
S
3
=4
,
求
a
1
.
2
2
3
< br>1
,
满足
S
3
=4
,
2
2
2
3
a
1
q
<
/p>
2
当
q
≠
1
时，依题意有
,
3
a
(<
/p>
1
q
)
1
1
4
2
1
q
解得
< br>q
=
2
1
3
,
a
1
=
6.
综上可得：
a
1
< br>=
或
a
1
=6.
4
2
2.
< br>设数列
{
a
n
< br>}
是等差数列，
a
5
=6.
（
1
）当
a
3
=3
时，请在数
列
{
a
n
}<
/p>
中找一项
a
m
,
使得
a
3
,<
/p>
a
5
,
a
m
成等比数列；
（
2
）
当
a
3
=2
时
，
若
自
然
数
n
1
,
n
2
,
…
,
n
t
,
…
（
t
∈
N
）
满
足
5
＜
n
1
＜
n
2
＜
…
< br>＜
n
t
＜
…
使
得
a
3
,
a
5
,
a
n
1
,
a
n
2
,
…
,
a
n
< br>t
,
…是等比数列，求数列
{<
/p>
n
t
}
的通项公
式
.
解
（
1
）设
{
a
n
}
的公差为
d
,
则由
a
5
=
a
3
+2<
/p>
d
,
得
d
=
6
3
3
=
,
由
a
m
a
3
< br>=
a
5
2
,
2
2
*
3
2
即<
/p>
3
3
(
m
3
)
=6
，解得
m
=9.
2
即
a
3
,
a
5
,
a
9
成等比数列
.
（
2
）∵
a
3
=2
，
a
5
=6
，∴
d
=
a
5
< br>
a
3
=2
，
2
∴当
n
≥
5
时，
a
n
=
a
5<
/p>
+(
n
-5)
d
=2
n
-4,
又
a
3
,
a
5
,
a
n
1
,
a
n
2
,
…
,
a
n
t
< br>,
…成等比数列，
则
q
=
a
5
6
=
=3,
a
n
t
=
a
< br>5
·
3
t
,
t
=1,2,3,
…
.
a
3
2
又
a
n
=2
n
t
-4,
∴
2
n
t
-4=
a
5
·
3
t
=6
·
3
t
,
t
∴
2
n
t
=2
·
3
t
+4.
+1
即
n
t
=
3
t
+2,
t
=1,2,3,
…
.
+1
3.
（
1
）在等比数列<
/p>
{
a
n
}
中，
a
1
+
a
2
=324
，
a
3
+
a
4
=36
，求
a
5
+
a
6
的值；
（
2
）在等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
3
a
4
a
5
=8
，求
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
< br>的值
.
解
（
1
）由等比数列的性质知
,
a
1
+
a
2
,
a
3
+
a
4
,
a
5
+
a
< br>6
也成等比数列，则
(
a
3
+
a
4
)
=(
a
1
+
a
2
)(
a
5
+
a
6
).
∴
a
5
+
a
6
=4.
3
（
2
）∵
a
3
a
5
=
a
2
4<
/p>
，∴
a
3
a
4
a
5
=
a
4
=8
，∴
a
4
=2
，
2