等比数列典型例题及详细解答
心肌梗塞-
1
．
等比数列的定义
一般地
，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一
常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
__
q
__
表示
(
q
≠
0)
．
2
．
等比数列的通项公式
设等比数列
< br>{
a
n
}
的首项为
a
1
，公比为
q
，则它的通项
a
n
＝
a
1
·
q
n
1
.
－
3
．
等比中项
若
G
2
＝
a
·
b
_(
ab
≠
0)
< br>，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．
4
．
等比数列的常用性质
(1)
通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
·
q
n
m
(
n
，
m
∈
N
*
)
．
－
(2)
若
{
a
n
}<
/p>
为等比数列，且
k
＋
l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈
N
*
)
，则
a
k
·
a
l
＝
a
m
·
a
n
.
1
a
n
仍是等比数
(3)
< br>若
{
a
n
}
，
{
b
n
}(
项数相同
)
是等比数列，则
{
λa
n
}(
λ
≠
0)
，
a
，
{
a
2
}
，
{
a
·
b
}
，
n<
/p>
n
n
b
n
n
列．
5
．
等比数列的前
n
项和公式
等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
(
q
≠
0
)
，其前
n
项和为
S
n
，
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na<
/p>
1
；
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
当
q
≠
1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－<
/p>
q
1
－
q
6
．
等比数列前
n<
/p>
项和的性质
公比不为－
1
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n<
/p>
仍成等比数列，其公
比为
__
q
n
__.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确
(
请在括号中打“√”或“×”
) <
/p>
(1)
满足
a
n
＋
1
＝
qa<
/p>
n
(
n
∈
N
*
，
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．
(
×
)
1
(
2)
G
为
a
，
b
的等比中项
⇔
G
2
＝
ab
.(
×
)
(3)
如果数列
{
a
n
}
为等比数列，
b
n
＝
a
< br>2
n
－
1
＋
a
2
n
，
则数列
{
b
n
}
也是等比数列．
(
×
)
(4
)
如果数列
{
a
n
}
为等比数列，则数列
{ln
a
n
}
是等差数列
．
(
×
)
a
1<
/p>
－
a
n
(5)
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
a
，则
其前
n
项和为
S
n
＝
.(
×
)
1<
/p>
－
a
n
(6)<
/p>
数列
{
a
n
}
为等比数列，则
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－
S
8
成等比数列．
(
×
)
<
/p>
1
．
(2015·
课标全国
Ⅱ
)
已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
21
，
则
a
3
＋
a
5
＋
a
7
等于
(
)
A
．<
/p>
21B
．
42C
．
63D
．
84
答案
B
解析
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则由
a
< br>1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
21
得
3(1
＋<
/p>
q
2
＋
q
4
)
＝
21
，解得
q
2
＝－
3(
舍去
)
或
q
2
＝
2
，于是
a
3
＋
a
5
＋
a
7
＝
q
2
(
a
1
＋
a
3
＋
a
5<
/p>
)
＝
2
×
21
＝
42
，故选<
/p>
B.
2
．设等比数列
< br>{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
S
2
＝
3
，
S<
/p>
4
＝
15
，则<
/p>
S
6
等于
(
)
A
．
31B
．
32C<
/p>
．
63D
．
64
答案
C
解析
根据题意知，等比数列
{
a
n
}
的公比不是－
1.
由等比数列的性质，得
(
S
4
－
S
2
)
2
＝
S
2
·
(
S
6
－
S<
/p>
4
)
，即
12<
/p>
2
＝
3
×
(
S
6
－
15)
，解得
S
6
＝
63.
故选
C.
3
．等比数列
{
a
n
}
中，
a
4
＝
2
，<
/p>
a
5
＝
5
，则数列
{lg
a
n
}
的前
8
项和
等于
(
)
A
．
6B
．<
/p>
5C
．
4D
．<
/p>
3
答案
C
解析
数列
{
lg
a
n
}
的
前
8
项和
S
8
＝
lg
a
1<
/p>
＋
lg
a
2
＋
„
＋
lg
a
8
＝
lg(
a
1
·
a
2
·
„
·
a
8
)
＝
lg(
a
1
·
a
8
)
4
＝
lg(
a
4
·
a
5
)
4
＝
lg(2
×<
/p>
5)
4
＝
4.
4
．
(2015·
安徽
)
已知数列
{
a
n
}
是递增的等比数列，<
/p>
a
1
＋
a
4
＝
9
，
a
2
a
3
＝
8
，则数列
{
a
n
}
的前
n
项和
等于
________
．
答案
2
n
－
1 <
/p>
a
1
a
4
＝
8
，
解析
由等比数列性质
知
a
2
a
3<
/p>
＝
a
1
a
4
，又
a
2
a
3
＝
8
，
a
1
＋
< br>a
4
＝
9
，所以联立方程
a
1
＋
a
< br>4
＝
9
，
a
1
＝
1
，
a
1
＝
8
，
解得
或
又
∵
数列
{
a
n
< br>}
为递增数列，
a
＝
8
a
＝
1
，
4
4
∴
a
1
＝
1
，
a
4
＝
8
，从而
a
1
q
3
＝
8
，
< br>∴
q
＝
2.
< br>1
－
2
n
n
∴
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝
＝
2
－
1.
1
－
2
5
．
(
教材改编
)<
/p>
在
9
与
243<
/p>
中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为
_
_______
．
2
答案
27,81
解析
< br>设该数列的公比为
q
，由题意知，
243
＝
9
×
q
3
，
q
3
＝
27
，<
/p>
∴
q
＝
3. <
/p>
∴
插入的两个数分别为
9
×
3
＝
27,27
×
3
＝
81.
题型一
等比数列基本量的运算
例
1
(1)
设
{
a
n
}
是由正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和．已知<
/p>
a
2
a
4
＝
1
，
S
3
＝
7
，则
S
5
等
于
< br>(
)
15
31
33
17
A.
B.
C.
D.
2
4
4
2
(2)
在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
4
－
a
2
＝
6
，
a
5
－
a
1
＝
15
，则
a
3
＝
________.
答案
(1)B
(2)4
或－
4
a
q
·
a
q
＝
1
，
<
/p>
1
1
3
解析
(1)
显然公
比
q
≠
1
，由
题意得
a
1
1
－
q
<
/p>
＝
7
，
1
－
q
a
＝
4
，
a
＝
9
1
1
解得
1
或
1
(
舍去
)
，
q
＝
，
q
＝－
3
2
1
< br>4
1
－
5
2
a
1
1
－
q
31
∴
S
5
＝
＝
＝
.
1
4
1
－
q
1
－
< br>2
5
3
(2)
设
等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
(
q
≠
0)
，
3
a
1
q
－
a
1
q
＝
6
，
q
2
则
4
两式相除，得
2
＝
，
1
＋
q
5
a
1
q
－
a
1
＝
15
，
1
即
2
q
2
－
5
q
＋
2
＝
0
，解得
q
＝
2
或
q
＝
.
2
1
a
1
＝
1
，
所以
或
1
q
＝
2
，
q
＝
.
a
＝－
16
，
2
故
< br>a
3
＝
4
或
a
3
＝－
4.
思维升华
等比数列基本量的运
算是等比数列中的一类基本问题，
数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
，
a
n
，
S
n
，一般可以
“
知三求二
”
，通过列方程<
/p>
(
组
)
可迎刃而
解．
a
5
(1)
在正项等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
＋
1
＜
a
n
，
a
2
·
a
8<
/p>
＝
6
，
a
4
＋
a
6
＝
5
，则
等于
(
)
a
7
3
5
A.
6
2
C.
3
6
B.
5
3
D.
<
/p>
2
(2)(2015·
湖南
)
设
S
n
< br>为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
＝
1
，且
3
S
1,
2
S
2
，
< br>S
3
成等差数列，则
a
n
＝
________.
答案
(1)D
(2)3
n
1
－
解析
(1
)
设公比为
q
，则由题意知
0
＜
q
＜
1
，
a
8
＝
a
4
·
a
6
＝<
/p>
6
，
a
2
·
由
得
a
4
＝
3
，
a
6
＝
2
，
a
4
＋
a<
/p>
6
＝
5
，
a
5
a
4
3
所以
＝
＝
.
a
7
a
6
2
(2)
由
3
S
1,
2
S
2
，
S
3
成等差数列知，
4
S
2
＝
< br>3
S
1
＋
S
3
，可得
a
3
＝
3
a
2
，所以公比
q
＝
3
，故等比数列通
项
a
n
＝
a
1
< br>q
n
1
＝
3
n
1
.
－
－
题型二
等比数列的判定与证明
例
2
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，已知
a
1<
/p>
＝
1
，
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2.
(1)
设
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式．
(1)
证明
由
a
1
＝
1<
/p>
及
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
，
有
a
1
＋
a
2
＝
S
2
＝
4
a<
/p>
1
＋
2.
∴<
/p>
a
2
＝
5
，
∴
b
1
＝
a
2
－
2
a
1
＝
3.
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2<
/p>
，
①
又
S
n
＝
4
a
n
－
1
＋
2
< br>
n
≥
2
，
②
①
－
②
，得
a<
/p>
n
＋
1
＝
4
a
n
－
4
a
n
－
1
(
n
≥
< br>2)
，
∴
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝<
/p>
2(
a
n
－
2
a
n
－
1
) (
n
≥
2)
．
∵
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，
∴
b
n
＝
2<
/p>
b
n
－
1
(
n
≥
2)
，
故
{
b
n
}
是首项
b
1
＝
3
，公比为
2
的等比数列．
(2)
解
由
(1)
知
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝
3·
2
n
1
，
－
∴
a
n
＋
1
a
n
3
＋
－
n
＝<
/p>
，
2
n
1
2
4
a
n
1
3
故
{
n
}
是首项为
，公差为
的等差数列．
2
2
4
a
n
1
3
3
n
－
1
∴
n
＝
＋
(
n
< br>－
1)·
＝
，
< br>
2
2
4
4
故
a
n
＝
(3
n
－
1)
·
2
n
2
.
－
引申探究
4
例
2
中<
/p>
“
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
”
改为
“
S
n
< br>＋
1
＝
2
S
n
＋
(
n
＋
1)
”
，其
他不变探求数列
{
a
n
}
的通项公式．
解
由已知得
n
≥
2
时，
S
n
＝
2
S
n
－
1
＋
n
.
∴
S
n
＋
1
－
S
n
＝
2
S
n
－
2
S
n
－
1
＋<
/p>
1
，
∴
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＋
1
＝
2(
a
n
＋
1)<
/p>
，又
a
1
＝
1
，
当
n
＝
1
时上式也成立，
故
{
a
n
＋<
/p>
1}
是以
2
为首
项，以
2
为公比的等比数列，
∴
a
n
＋
1
＝
2·
2
n
1
＝
2
< br>n
，
∴
a
n
＝
2
n
－
1.
－
思维升华
(1)
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、
填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即
可．
(2)
利用递推关系时要注意对
n
＝
1
时的情况进行
验证．
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
已知
a
1
＋
2
a
2<
/p>
＋
3
a
3
＋„＋
na
n
＝
(
n
－
1)
S
n
＋
2
n
(
n
∈
N
*
)
．
(1)
求
a
2
，
a
3
的值；
(2)
求证：数列
{
S
n
＋
2}
是等比数列．
(1)
解
∵
a
1
＋
2
a
2
＋
3
a
3
＋
„
＋
na
n
＝
(
n
－
1)
< br>S
n
＋
2
n
(
n
∈
N
*
)
，
∴
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
2
×
1
＝
2
；
当
n
＝
2
时，
a
1
＋
2
a
2
＝
(
a
1
＋
a
2
)
＋
4
，
∴
a
< br>2
＝
4
；
当
n
＝
3
时，
a
1
＋<
/p>
2
a
2
＋
3
a
3
＝
2(
a
1
＋
a
2
＋
a
< br>3
)
＋
6
，
∴
a
3
＝
8.
综上，
a
2
＝
4
，
a
3
＝
8.
(2)
证明
a
1
＋
2
a<
/p>
2
＋
3
a
3
＋
„
＋
na
n
＝
(
n
－
1)
S
n
＋
2
n
(
n
∈
N
*
)
，
①
<
/p>
∴
当
n
≥
2
时，
a
1
＋
2
a
2
＋
3
a
3
< br>＋
„
＋
(
n
－
1)
a
n
－
1
＝<
/p>
(
n
－
2)
S
n
－
1
＋
2(
n
－
1)
．
②
①
－
②
得
< br>na
n
＝
(
n
－
1)
S
n
－
(
n
－
2)
S
n
－<
/p>
1
＋
2
＝
n
(
S
n
－
S
n
－
1
)
－
S
n
＋
2
S
n
－
1
＋
2<
/p>
＝
na
n
－
S
n
＋
2
S
n
－
1
＋
2.
∴
－
S
n
＋
2
< br>S
n
－
1
＋
2
＝
0
，
即
S
n
＝
2<
/p>
S
n
－
1
＋
2
，
∴
S
n
＋
2
＝
2(
S
< br>n
－
1
＋
2)
．
∵
S
1
＋
2
＝<
/p>
4
≠
0
，
∴
S
n
－
1
＋
2
≠
0
，
∴
S
n
＋
2
＝
2
，
S<
/p>
n
－
1
＋
2
故
{
S
n
＋
2}
是以
4
为首项，
2
为公比的等
比数列．
题型三
等比数列的性质及应用
例
3
(1)
在等比数列
{
a
n
}
中，
各项均为正值，
且
a
6
a
10
＋
a
3
< br>a
5
＝
41
，
a
4
a
8
＝
5
，
则<
/p>
a
4
＋
a
8
＝
________.
< br>S
10
31
(2)
等比数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝－
1
，前
n
项和为
S
n
，若
＝
，则公比
q
＝
________.
S
5
32
5
1
答案
(1)
51
(2)
－
2
2
解析
<
/p>
(1)
由
a
6<
/p>
a
10
＋
a
3
a
5
＝
41
及
a
6
a
10
＝
a
2
8
，
a
< br>3
a
5
＝
a
4
，
2
得
a
2
4
＋
a
8
＝
41.
因为
a
4
a
8
＝
5
，
2
所以
(
a
4
＋
< br>a
8
)
2
＝
a
2
4
＋
2
a
4
a
8
＋
a
8
＝
41
＋
2
×
5
＝
51.
又
a
n
>0
，所以
a
4
＋
a
8
＝
51.
S
10
31
(2)
由
＝
，
a
1
＝－
1
知公比
q
≠
±
1
，
S
5
32
S
10
－
S
5
1
则可得
＝－
.
S
5
32
由等比数列前
n
项和的性
质知
S
5
，
S
10
－
S
5<
/p>
，
S
15
－
S
10
成等比数列，且公比为
q
5
，
< br>1
1
故
q
5
＝－
，
q
＝－
.
32
2
思维升华
(1)
在等比数列的基本
运算问题中，一般利用通项公式与前
n
项和公式，建立方程
组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质
“
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则有
a
m
a
n
＝
a
p
a
q
”
，可以减少
运算量
．
(2)
等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某
种性质，
例如等比数列
S
k
，
S
2
k
－
S
k
，
S
3
k
－
S
2
k
，
„<
/p>
成等比数列，公比为
q
k
(
q
≠
－
1)
．
已知等比数列
{
a
n
}
的公比为正数，且
a
3
a
9
＝
2
a
2
5
，
a
2
＝
2
< br>，则
a
1
等于
< br>(
)
1
A.
2
C.
2
B.
2
2
D
．
2 <
/p>
(2)
等比数列
{
a
n
}
共有奇数项，
所有奇数项和
S
奇
＝
255
，
所有偶数项和
S
偶
＝－
126
，
末项是
192
，
< br>则首项
a
1
等于
(
)
A
．
1
C
．
3
答案
(1)C
(2)C
2
解析
(1
)
由等比数列的性质得
a
3
a
9
＝
a
2
6
＝
2
a
5
，
B
．
2
D
．
4
a<
/p>
6
a
2
∵
q
＞
0
，
∴
a
6
＝
2
a
5
，
q
＝
＝
2
，
a
1
＝
＝<
/p>
2
，故选
C.
a
5
q
1
(2
)
设等比数列
{
a
n
}
共有
2
k
＋
1(
k
∈
N
*
)
项，
则
a
2
k
＋<
/p>
1
＝
192
，则
S
奇
＝
a
1
＋
a
3
＋
„
＋
a
2
k
－
1
< br>＋
a
2
k
＋
1
＝
q
a
1
－
a
2
k
＋
1
q
2
1
126
(
a
2
＋
a
4
＋
„
＋
< br>a
2
k
)
＋
a
2
k
＋
1
＝
S
偶
＋
a
2
k
＋
1
＝－
＋
192
＝
255
，解得<
/p>
q
＝－
2
，而<
/p>
S
奇
＝
q
q
1
－
q
2
a
1
－
192
×
－
2
2
＝
＝
255
，解得
a
1
＝
3
，故选
C.
1
－
－
2
2
6