等比数列的前n项和数列总结
谚语-
等比数列的前
n
项和
一、等比数列的前
n
项和公式
1
．乘法运算公式法
－
∵
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
< br>a
n
＝
a
1
＋
a
1
q
＋
a
1
q
2
＋
…
＋
a
1
q
n
1
－
< br>＝
a
1
(1
＋
q
＋
q
2
＋
…
＋
q<
/p>
n
1
)
－
1
－
q
1
＋
q
＋
q
2
< br>＋
…
＋
q
n
1
a
1
1
－
q
n
＝
a
1
·
＝
，
1
－
q
< br>1
－
q
a
1
1
－
q
n
∴
S
n
＝
.
1
－
q
2
．方程法
－
∵
S
n
＝
a
1
＋
a
1
q
< br>＋
a
1
q
2
＋
…
＋
a
1
q
n
1
－
＝
a
1
＋
q
(
a
1
＋
< br>a
1
q
＋
…
＋
a
1
q
n
2
)
<
/p>
－
－
＝
a
1
＋
q
(
a
1
＋
a
1
q
＋
…
＋
a
1
q
n
1
－
a
1<
/p>
q
n
1
)
－
＝
a
1
＋
q
(
S
n
－
a
1
q
n
1
< br>)
，
∴
(1
－
q
)
S
n
＝
a
1<
/p>
－
a
1
q
n
.
a
1
1
－
q
n
∴
< br>S
n
＝
.
1
－
q
3
．等比性质法
a
2
< br>a
3
a
4
a
n
∵
{
a
n
}
是等比数列，∴
< br>＝
＝
＝
…
＝
＝
q
.
a
1
a
2
a<
/p>
3
a
n
－
1
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
∴
＝
q
，
a
1
＋
a
2<
/p>
＋
…
＋
a
n
－
1
S
n
－
a
1
a
1
－
a
n
q
a
1
1
－
q
n<
/p>
即
＝
q
于是
S
n
＝
＝
.
S
n
－
a
n
1
－
q
1
－
q
二、等比数列前
n
项和公式的理
解
(1)
在等比数列的通项公式及前
n
项和公式中共有
a
< br>1
，
a
n
，
n
，
q
，
S
n
五个量，知道其中任意三个量，都
可求出其余两
个量．
a
1
1
－
< br>q
n
a
1
n
a
1
a
1
(2)
当公比
q
≠1
时，
等比数列的前
n
项和公式是
S
n
＝
，
它可以变形为
S
n
＝－
·
q<
/p>
＋
，
设
A
＝
，
1
－
q
1
－
q
1
－
q
1
－
q
上式可写成
S
n
＝－
Aq
n
＋
A
.
由此可见，非常数列的
等比数列的前
n
项和
S
n
是由关于
n
的一个指数式与
一个常数的和
构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比
q
＝
1
时，因为
a
1
≠0
，所以
S
n
＝
na
1
是
n
的正比例函数
(
常数项为
0
的一次函数
)
．
等比数列前
n
项和
性质
（
1
）
在等比数列
{
a
n
}
中，连续相同项数和也成等比数列，即：
S
k
，
S
2
< br>k
－
S
k
，
S
3
k
－
S
2
k
，
…
仍成等比数列．
S
偶
（
2
）
当
n
为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公
比，即
＝
q
.
S
奇
（
3
）
若一个非常数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和
S
n
＝－
Aq
n
＋
A
(
A
≠0
，
q
≠0
，
n
∈
N
*
)
，
则数列
{
a
n
}
为等比数列，
即
S
n
＝－
Aq
n
＋
A
⇔
数列
{
a
n
}
为等比数列．
题型一
等比数列前
< br>n
项和公式的基本运算（在等比数列
{
< br>a
n
}
的五个量
a
1
，
q
，
a
n
，
n
，
S
n
中，
a
1
与
q
是最基本的元
素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用
a
1
和
q
表示
a
n
与
S
n
，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到<
/p>
两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前
n
项和有关的问题时，
首先要对公比<
/p>
q
＝
1
或
q
≠1
进行判断，
若两种情况都有可能，则要分类讨论．
）
1
、
在等比数列
{
a
n
}
中，
(1)
若
S
n
＝
18
9
，
q
＝
2<
/p>
，
a
n
＝
96
，求
a
1
和
n
；
(2)
若
q
＝
2
，
S
4
＝
1
，求
S
8
< br>.
2
、
设等比
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＋
S
6
＝
2
S
9
，求数列的
公比
q
.
题型二
等比数列前
< br>n
项和性质的应用
3
、
一个等
比数列的首项为
1
，项数是偶数，其奇数项的和为
85
，偶数项和为
170
，
求出数列的公比和项数．
4
、
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
中，若
S
2
＝<
/p>
7
，
S
6
＝
91
，求
S
4
.
题型三
等比数列前
< br>n
项和的实际应用
5
、
借贷
10
000
元，
以月利率为
1%
，
每月以复利计息借贷，
王老师从借贷后第二个月
开始等额还贷，
分
6
个月付清，
试问每月应支付多少元？
(1.01
6
≈1.061,1.01
5
≈1.051)<
/p>
[
规范解答
]
方法一
设每个月还贷
a
元，第
1
个月后欠款为
a
0
元，以后第
n
个月还贷
a
元后，还剩下欠款
a
n
元
(1≤
n
≤6)
，则
a
0
＝
10
000
，
a
1
＝
1.01
a
0
－
a
，
a
2
＝
1.0
1
a
1
－
a<
/p>
＝
1.01
2
a
0
－
(1
＋<
/p>
1.01)
a
，
……
a
6
＝
1.01
a
5
－
a
＝
……
＝
1.01
6
a
0
－
[1
＋
1.01
＋
…
＋
1.01
5
]
a
.
由题意，可知
a
6
＝
0
< br>，
即
1.01
6
a
0
－
[1
＋
1.01
＋
…
＋
1.01
5
]
a
＝
0
< br>，
6
1.01
×
10
2
1.061×
10
2
6
a
＝
.
因为
1.01
＝
1.061
，
所以
a
＝
≈1
739.
6
1.01
－
1
1.061
－
1
故每月应支付
1
739
元．
方法二
一方面，借款
10 000
元，将此借
款以相同的条件存储
6
个月，则它的本利和为
< br>
S
1
＝
10
4
(1
＋
0.01)
6
＝
10
4
×
(1.01)
6
(
元
)
．
另一方面，设每个月还贷
a
元，分
6
个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S
2
＝
< br>a
(1
＋
0.01)
5
＋
a
(1
＋
0.01)
4
＋
…
＋
a
a
[
1
＋
0.01
<
/p>
6
－
1]
＝
＝
a
[1.01
6
－
1]×
10
2
(
元
)
．<
/p>
1.01
－
1
6
1.01
×
10
2
由
S
1
＝
S
2<
/p>
，得
a
＝
.
以下解法同法一，得
a
≈1
739.
6
1.01
－
1
故每月应支付
1 739
元．
方法技巧
错位相减法求数列的和
若数列
{
a
n
}
为等差数列，
数列
{
b<
/p>
n
}
为等比数列，
由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为
{
a
n
b
n
}
< br>，
当求该数列的前
n
项的和时，常常采用将
{
a
n
b
n
}
的各项乘以公比
q
，并向后错位一项
与
{
a
n
b<
/p>
n
}
的同次项对应相减，即可转化为特殊
数
列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
6
、已知
等差数列
{
a
n
}
的前
3
项和为
6
，前
8
项和为－
4.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
－
(2)
设
b
n
＝
(4
－
a
n
)
q
n
1
(
q
≠0
，
n
∈
N
*
< br>)
，求数列
{
b
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
.
数列归纳整合
一、数列的概念及表示方法
(1)<
/p>
定义：按照一定顺序排列着的一列数．
(2)
表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)
分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按
项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆